課題
數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形
課型
新授課
設(shè)計說明
數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來進(jìn)行分析與思考的一種數(shù)學(xué)思想方法。鑒于此，本節(jié)課在教學(xué)設(shè)計上重點(diǎn)突出以下幾點(diǎn)：
1.合作探究，體會“數(shù)形結(jié)合”化繁為簡的好處。
教學(xué)時先合作探究數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生掌握分析此類題的方法，再應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律去解決相對復(fù)雜的問題，使學(xué)生充分體驗(yàn)到“數(shù)形結(jié)合”化繁為簡的好處。
2.借助“形”，體會極限思想。
在教學(xué)例2時，充分發(fā)揮“形”的作用，讓學(xué)生根據(jù)加數(shù)的特點(diǎn)動手畫一畫，借助圓或線段直觀感知：隨著加數(shù)越來越多，和越來越接近1。從而得出這些分?jǐn)?shù)不斷相加下去，總和就是1，使學(xué)生初步體會到極限的數(shù)學(xué)思想，感受到畫圖解決問題更直觀、形象。
課前準(zhǔn)備
教師準(zhǔn)備：PPT課件
學(xué)生準(zhǔn)備：圓規(guī) 直尺
教學(xué)過程
教學(xué)環(huán)節(jié)
教師指導(dǎo)
學(xué)生活動
效果檢測
一、活動激趣。(5分鐘)
1.動手實(shí)踐。
(1)請你折出長方形紙的eq \f(2,3)的eq \f(3,5)。
(2)請你求出下面圖形的面積，看看有什么發(fā)現(xiàn)。
2.導(dǎo)入新課。
數(shù)與形密不可分，本節(jié)課學(xué)習(xí)的是用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題。
1.(1)折紙復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理，匯報折法和意義。
(2)獨(dú)立列式，小組交流想法并匯報。
方法一：(a＋b)×c
方法二：ac＋bc
發(fā)現(xiàn)：(a＋b)×c＝ac＋bc
這體現(xiàn)了乘法分配律的算理。
2.認(rèn)真傾聽，明確學(xué)習(xí)內(nèi)容。
1.畫圖表示算式的意義。
(1)eq \f(1,2)×eq \f(2,3)
(2)eq \f(2,5)×eq \f(2,3)
二、探究新知。(16分鐘)
1.教學(xué)例1。
(1)引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)算式左邊加數(shù)的和與對應(yīng)圖形中小正方形的關(guān)系。
(2)引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)算式的結(jié)果與對應(yīng)圖形中每列(或每行)小正方形個數(shù)的關(guān)系。
(3)引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用規(guī)律直接寫結(jié)果。
(4)發(fā)現(xiàn)算式規(guī)律。
2.教學(xué)例2。
(1)課件出示例2。
計算：eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,8)＋eq \f(1,16)＋eq \f(1,32)＋eq \f(1,64)＋…
(2)探究解法。
①引導(dǎo)學(xué)生用喜歡的圖形表示單位“1”。
②用圖形表示eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,8)＋eq \f(1,16)＋eq \f(1,32)＋eq \f(1,64)＋…
③引導(dǎo)學(xué)生明確計算結(jié)果，向?qū)W生滲透極限思想。
3.引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題的好處。
1.小組合作，學(xué)習(xí)例1。
(1)觀察、討論、總結(jié)：算式左邊加數(shù)的和是大正方形左下角的小正方形和其他“┐”形所包含的小正方形個數(shù)的和。
(2)發(fā)現(xiàn)、總結(jié)規(guī)律。
算式的結(jié)果正好是大正方形中每列(或每行)小正方形個數(shù)的平方。
(3)應(yīng)用規(guī)律填空。
1＋3＋5＋7＝(4)2
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝(7)2
…
(4)從1開始連續(xù)奇數(shù)的和等于這些奇數(shù)個數(shù)的平方。
2.學(xué)習(xí)例2。
(1)觀察算式的特點(diǎn)：無數(shù)個單位分?jǐn)?shù)相加，且從第二個加數(shù)開始，每個加數(shù)是前一個加數(shù)的eq \f(1,2)。
(2)探究解法。
①確定表示單位“1”的圖形(圓、線段、長方形、正方形等)。
②用圖形表示后，根據(jù)圖形理解eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,8)＋eq \f(1,16)＋eq \f(1,32)＋eq \f(1,64)＋…
③明確計算結(jié)果：這些分?jǐn)?shù)不斷加下去，總和就是1。
3.自主總結(jié)：形象直觀、化繁為簡。
2.計算。
(1)1－eq \f(1,2)－eq \f(1,4)－eq \f(1,8)－eq \f(1,16)－eq \f(1,32)－eq \f(1,64)
(2)1－eq \f(1,2)－eq \f(1,4)－eq \f(1,8)－eq \f(1,16)－…
3.解決問題。
(1)下面的大三角形各是由多少個小三角形組成的？
…
①第5個圖形中有( )個小三角形。
②你能提出什么數(shù)學(xué)問題？
(2)一個正方形的一條邊減少eq \f(1,5)，另一條邊增加2 m，得到一個長方形，這個長方形的面積與原正方形的面積相等。原正方形的邊長是多少米？
三、拓展提高。(15分鐘)
1.引導(dǎo)學(xué)生完成教材109頁1題。
(讓學(xué)生掌握n2的算法，理解n2＝n×n)
2.引導(dǎo)學(xué)生完成教材110頁3題。
3.引導(dǎo)學(xué)生完成教材111頁6題。
1.在教師的指導(dǎo)下完成：第n個圖形最外圈的小正方形的個數(shù)為(1＋2n)2－(2n－1)2＝8n(個)。第5個圖形最外圈有40個小正方形。
2.獨(dú)立完成，全班訂正。
小三角形個數(shù)：1、4、9、16。
周長：3、6、9、12。
關(guān)系：大三角形包含的小三角形的個數(shù)等于大三角形的周長除以3所得的商的平方。
3.小組合作完成。
小剛一共下了2盤，分別和小林、小強(qiáng)下的。
4.下圖描述的是小紅媽媽某天散步過程中離家的距離與散步所用時間之間的關(guān)系。
下面的描述符合小紅媽媽散步情境的是( )。
A.從家出發(fā)，遇到朋友停下說了一會兒話，然后回家
B.從家出發(fā)，遇到朋友停下說了一會兒話，繼續(xù)往前走了一段，然后回家
C.從家出發(fā)，一直散步(沒有停留)，然后回家
四、課堂總結(jié)。(4分鐘)
通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？
談自己本節(jié)課的收獲。
教師批注
板書設(shè)計
數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形
1＋3＋5＋7＝(4)2
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝(7)2
eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,8)＋eq \f(1,16)＋eq \f(1,32)＋eq \f(1,64)＋…＝1

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8 數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形

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