人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第一章《空間向量與立體幾何》單元測試卷考試范圍：第一章；考試時(shí)間：120分鐘；總分150分學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________注意事項(xiàng):
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。
3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回。  第I卷（選擇題） 一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）已知，，三點(diǎn)不共線，是平面外一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)與點(diǎn)，，一定共面的是(    )A.  B.
C.  D. 如圖，正方體的棱長為，體對角線和相交于點(diǎn)，則有(    )A.
B.
C.
D. 四棱錐中，底面是平行四邊形，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，若，則等于(    )A.
B.
C.
D. 如圖，空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則(    )A.
B.
C.
D.
 若向量，且與夾角的余弦值為，則等于(    )A.  B.  C. 或 D. 已知向量，，且與互相垂直，則的值是(    )A.  B.  C.  D. 若直線的方向向量，平面的法向量，且直線平面，則實(shí)數(shù)的值是  (    )A.  B.  C.  D. 如圖，點(diǎn)，，分別在空間直角坐標(biāo)系的三條坐標(biāo)軸上，，平面的法向量為，設(shè)二面角的大小為，則(    )
A.  B.  C.  D.  二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）下列說法正確的是(    )A. 若為空間的一組基底，則，，三點(diǎn)共線
B. 若為四棱柱，則
C. 若，則，，，四點(diǎn)共面
D. 若為正四面體，為的重心，則設(shè)，為空間中的任意兩個(gè)非零向量，下列各式中正確的有(    )A.  B.
C.  D. 已知向量，則與共線的單位向量(    )A.  B.
C.  D. 如圖所示，在平行六面體中，點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，若平行六面體的各棱長均相等，則以下說法正確的是(    )A.
B.
C. 平面
D. 平面第II卷（非選擇題） 三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）已知，，則          ．在平行六面體中，是線段的中點(diǎn)，若，則          ．點(diǎn)，，，若的夾角為銳角，則的取值范圍為          ．如圖，在長方體中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為           ．
  四、解答題（本大題共6小題，共70.0分）如圖所示，在空間四邊形中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，請判斷向量與是否共線？
 
如圖，已知長方體，化簡下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量．；．如圖所示，在平行六面體中，，分別在和上，且，．

證明：、、、四點(diǎn)共面．
若，求．在平行六面體中，，，，，若，，．
 用基底表示向量；求向量的長度．如圖，在長方體中，，，，為棱的中點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系．
求點(diǎn)，，，，，，，的坐標(biāo)；
求點(diǎn)的坐標(biāo)．
在四棱錐中，是邊長為的等邊三角形，底面為直角梯形，，，，．證明：．求二面角的余弦值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本題考查空間向量共面定理及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)空間向量共面定理，系數(shù)和等于，判斷即可．【解答】解：已知，，三點(diǎn)不共線，是平面外一點(diǎn)，
要使點(diǎn)與點(diǎn)，，一定共面，根據(jù)空間向量共面定理，系數(shù)和等于，
結(jié)合選項(xiàng)可知，
則．
故選D．  2.【答案】 【解析】【分析】本題考查向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題．利用空間向量基本定理及數(shù)量積運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：因?yàn)?/span>，所以四邊形是平行四邊形，
 ．
，B錯(cuò)誤，   ，A錯(cuò)誤，   
，D錯(cuò)誤，   
故選C．  3.【答案】 【解析】【分析】本題考查向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算、平面向量的基本定理及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
連接，得出，結(jié)合已知式子求出，，，即可求出結(jié)果 【解答】解：連接，因?yàn)辄c(diǎn)為棱的中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)?/span>，
所以，解得，
所以．
故選B．  4.【答案】 【解析】【分析】本題考點(diǎn)是空間向量基本定理，考查了向量的線性運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形把所研究的向量用三個(gè)基向量表示出來，屬于基礎(chǔ)題．
由題意，把，，三個(gè)向量看作是基向量，由圖形根據(jù)向量的線性運(yùn)算，將用三個(gè)基向量表示出來，即可得到答案．【解答】解：由題意




又，，

故選B．  5.【答案】 【解析】【分析】由空間向量的夾角公式結(jié)合已知條件可得，解方程可得．
本題考查空間向量的夾角公式，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．【解答】解：向量，
與夾角的余弦值為，
，
解得舍去．
故選：．  6.【答案】 【解析】【分析】本題考查空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律，考查向量垂直的判斷與證明，考查簡單的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算求解即可得到答案．【解答】解：依題意，得，，
由，得，
所以，解得，
故選D．  7.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查空間向量基本定理的運(yùn)用和平面法向量的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．
因?yàn)橹本€平面，所以直線的方向向量與平面的法向量平行，即有，計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)橹本€與平面垂直，
所以直線的方向向量與平面的法向量平行，
，解得．
實(shí)數(shù)的值是．
故選C．  8.【答案】 【解析】【分析】本題考查利用法向量求二面角的余弦值的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
利用直接求解，注意為銳角．【解答】解：點(diǎn)，，分別在空間直角坐標(biāo)系的三條坐標(biāo)軸上，
，平面的法向量為，
二面角的大小為，且為銳角，
．
故選C．  9.【答案】 【解析】【分析】本題考查的知識要點(diǎn)：向量的共線問題，向量的線性運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
直接利用空間向量的基底判斷的結(jié)論，利用向量的線性運(yùn)算判斷的結(jié)論，利用共面向量基本定理的應(yīng)用判定的結(jié)論，利用向量的共線和向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用判定的結(jié)論．【解答】解：對于：若為空間的一組基底，
則不共面，與點(diǎn)、、之間共線沒有關(guān)系，故A錯(cuò)誤；
對于：只有當(dāng)是四棱柱且底面為平行四邊形時(shí)，如圖所示：

滿足，故B錯(cuò)誤；
對于：、、三點(diǎn)必定共面，和必定共面，
因?yàn)?/span>，所以也與和共面，
又、、有公共起點(diǎn)，所以、、、四點(diǎn)共面，故C正確；
對于：設(shè)為的重心，延長交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，
得到，，
所以


，
故，故D正確；
故選：．  10.【答案】 【解析】【分析】本題考查空間向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算法則，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算法則逐一檢驗(yàn)選項(xiàng)，即可．【解答】解：選項(xiàng)A，，即A正確；
選項(xiàng)B，，即B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，，，，即C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D，，即D正確．
故答案選：．  11.【答案】 【解析】【分析】本題考查空間向量共線問題和單位向量的概念，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)向量數(shù)乘的概念，可知單位向量的求法，，即可求出．【解答】解：設(shè)與共線的單位向量為，所以，因而，得到．故，而，所以或．故選：．  12.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查利用空間向量判斷空間中的線線平行以及線面平行的判定定理，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：，，
  ，所以，
由線面平行的判定定理可知，平面，平面．
ACD正確．
故選ACD．  13.【答案】 【解析】【分析】本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：，，
   14.【答案】 【解析】【分析】本題考查了空間向量基本定理的應(yīng)用，空間向量加法和加法運(yùn)算法則的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與化簡運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
利用空間向量基本定理以及空間向量的加法和減法的運(yùn)算法則進(jìn)行求解，即可得到答案．【解答】解：如圖，，
故，．
故答案為：．  15.【答案】 【解析】【分析】本題考查了向量的夾角，向量共線定理，以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
由的夾角為銳角，可得，且不能同向共線，求解即可得出答案．【解答】解：由題意知，，
的夾角為銳角，
，且不能同向共線，
解得，．
則的取值范圍為．
故答案為．  16.【答案】 【解析】【分析】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)到平面的距離．
本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．【解答】解：在長方體中，，，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

，，，
，
，，
，
設(shè)平面的法向量，
則
取，得，
點(diǎn)到平面的距離：
．
故答案為：．  17.【答案】解：取中點(diǎn)為，連接，，

因?yàn)辄c(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，
，，


，
與共線． 【解析】本題考查了空間向量共線定理，空間向量的加減運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
取中點(diǎn)為，連接，，易知，，，即可判斷．
 18.【答案】解：

．

．向量，如圖所示．
  【解析】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．
利用空間向量的加法和減法化簡即可．
 19.【答案】證明：平行六面體中，，，
，，，，且平面平面，
，
≌，
，
同理，
故AEC為平行四邊形，
、、、四點(diǎn)共面．
解：由題，



，
即，，，
． 【解析】本題考查四點(diǎn)共面的證明，空間向量基本定理及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．
由，，，，且平面平面，，知≌，進(jìn)而，同理，故AEC為平行四邊形，由此能夠證明、、、四點(diǎn)共面．
結(jié)合圖形和向量的加法和減法運(yùn)算進(jìn)行求解．
 20.【答案】解：由題意可得


，
故．
由條件得，，，
，，，，
故

． 【解析】本題考查向量的表示，空間向量的模，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
由題意可得，計(jì)算可得；
可得，即可求得
 21.【答案】解：在長方體中，，，，為棱的中點(diǎn)，
分別以，，所在直線為軸軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系．
點(diǎn)，
在軸的正半軸上，且，
，
同理得：，，
在坐標(biāo)平面內(nèi)，且，，
，
同理得，，
與點(diǎn)的坐標(biāo)相比，點(diǎn)的坐標(biāo)只有豎坐標(biāo)與點(diǎn)不同，
且，則點(diǎn)．
由知，，
的中點(diǎn)坐標(biāo)為 【解析】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)、中點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查空間直角坐標(biāo)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等，是基礎(chǔ)題．
利用空間直角坐標(biāo)系的性質(zhì)能求出點(diǎn)，，，，，，，的坐標(biāo)．
利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式能求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
 22.【答案】證明：取的中點(diǎn)，連接，，
為等邊三角形，
．
在直角梯形中，，，，
，
為等腰三角形，．
，，
平面．
平面，

解：由知，，，兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
則，，，
設(shè)平面的法向量為，
即
令，得．
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
，即
可得平面的一個(gè)法向量為，
，
又二面角為鈍二面角，故其余弦值為． 【解析】本題考查異面直線垂直的判定，考查利用空間向量求二面角余弦值的應(yīng)用，考查空間中直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
取的中點(diǎn)，連接，，由題可知在直角梯形中，
求出，可知，進(jìn)而得證平面，即可求證．
由，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)得到，，，即可求出平面的法向量平面的一個(gè)法向量為，即可求出二面角余弦值．
 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

本章綜合與測試

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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