人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第一冊第一章《空間向量與立體幾何》單元測試卷（標準難度）（含答案解析）

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人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第一冊第一章《空間向量與立體幾何》單元測試卷考試范圍：第一章；考試時間：120分鐘；總分150分學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________注意事項:
1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。
3.考試結束后，本試卷和答題卡一并交回。  第I卷（選擇題） 一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）已知空間中三點，，，則(    )A. 與是共線向量
B. 與向量方向相同的單位向量是
C. 與夾角的余弦值是
D. 平面的一個法向量是下列命題正確的是(    )A. 是向量，不共線的充要條件
B. 在空間四邊形中，
C. 在棱長為的正四面體中，
D. 設，，三點不共線，為平面外一點，若，則，，，四點共面如圖，已知空間四邊形，其對角線為、，、分別是對邊、的中點，點在線段上，且，現(xiàn)用基向量，，表示向量，設，則、、的值分別是(    )A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，在四面體中，，分別是，的中點，是的三等分點靠近點，若，，，則(    )A.  B.
C.  D. 已知空間三點，，若，且，則點的坐標為(    )A.  B.
C. 或 D. 或若，，，則的形狀是(    )A. 不等邊銳角三角形 B. 直角三角形
C. 鈍角三角形 D. 等邊三角形如圖所示，在正方體中，為線段上的動點，給出下列四個結論：

長度為定值；
三棱錐的體積為定值；
任意點，都有；
存在點，使得平面．
其中正確的是(    )A.  B.  C.  D. 在正方體中，點滿足若平面平面，則實數(shù)的值為(    )A.  B.  C.  D.  二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）在平行六面體中，，各棱長均為，則下列命題中正確的是(    )A. 不是空間的一個基底
B.
C.
D. 平面設是空間的一組基底，則下列結論正確的是(    )A. 可以為任意向量
B. 對空間任一向量，存在唯一有序實數(shù)組，使
C. 若，，則
D. 可以作為構成空間的一組基底多選題已知點是平行四邊形所在平面外一點，若，，，則下列結論正確的有(    )A.  B.  C.  D. 下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關系的結論中，正確的是(    )A. 兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則
B. 直線的方向向量，平面的法向量是，則
C. 兩個不同的平面，的法向量分別是，，則
D. 直線的方向向量，平面的法向量是，則第II卷（非選擇題） 三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）已知單位向量，，，，，，若空間向量，滿足，則          ．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，側棱，，分別是與的中點，點在平面上的射影是的重心，則點到平面的距離為__________．已知空間三點，，，四邊形是平行四邊形，其中，為對角線，則          給出下列命題：
直線的方向向量為，直線的方向向量，則與垂直；
直線的方向向量，平面的法向量，則；
平面、的法向量分別為，，則；
平面經過三點，，，向量是平面的法向量，則．
其中真命題的是______把你認為正確命題的序號都填上 四、解答題（本大題共6小題，共70.0分）如圖所示，已知幾何體是平行六面體．          


化簡結果用表示并在圖上標出該結果點明，的具體位置；                             
 設是底面的中心，是側面對角線上的點，且，設，試求，，的值．已知向量，．
若，求實數(shù)；
若向量與所成角為銳角，求實數(shù)的范圍．如圖，在三棱柱中，點是的中點，，，，，設，，．
 用，，表示，；求異面直線與所成角的余弦值．如圖所示，三棱柱中，，，，，，，是中點．用，，表示向量；在線段上是否存在點，使？若存在，求出的位置，若不存在，說明理由．如圖，正方形與等腰直角三角形所在平面互相垂直，，，分別是，的中點，是上的點，．試確定點的位置求，的值．如圖，四邊形是正方形，平面，，，，為的中點．
 

求證：平面．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查空間向量共線的判斷，考查單位向量和向量的數(shù)量積運算，考查平面的法向量的求解，屬于中檔題．
可根據向量的相關概念和數(shù)量積運算、以及求法向量的方法逐一驗證即可．【解答】解：，，，所以與不共線，所以A錯誤
，與向量方向相同的單位向量為，所以B錯誤
，所以，所以C錯誤
設平面的法向量是，
則，即，
令，可得，，所以平面的一個法向量是，所以D正確．
故選D．  2.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查向量加法的三角形法則，向量共線的定義，共面向量，四點共面的充要條件及空間向量的數(shù)量積，屬于中檔題．
由，可知向量，可能共線，故A不正確；根據空間向量的線性運算及向量積可判斷B正確；，不正確；由，可得，，，四點不共面，可判斷不正確．【解答】解：由，可知向量，的方向可能相同，即可能共線，故A不正確；
在空間四邊形中，

，故B正確；
在棱長為的正四面體中，，故C錯誤；
設，，三點不共線，為平面外一點，
若，由，可得，，，四點不共面，故D錯誤．
故選B．  3.【答案】 【解析】【分析】本題考查空間向量的線性運算，屬于一般題．
利用向量的三角形法則及平行四邊形法則和向量形式的中點公式即可得出．
熟練掌握向量的三角形法則及平行四邊形法則是解題的關鍵．【解答】解：、分別是對邊、的中點，
，．


，
因此，．
故選D．  4.【答案】 【解析】【分析】略【解答】略  5.【答案】 【解析】【分析】本題考查了空間向量的坐標的運算，屬于中檔題．
根據 ，可設易知，則由建立方程，解出，求出設點的坐標為，由，得到方程組，這樣求出的坐標．【解答】解：，可設．
易知，則．
又，
，解得，
或．
設點的坐標為，
則，
或
解得或
故點的坐標為或．
故選C．  6.【答案】 【解析】【分析】本題考查了向量坐標運算性質、數(shù)量積運算性質、模的計算公式，屬于中檔題．
利用向量坐標運算性質、數(shù)量積運算性質、模的計算公式即可得出．【解答】解：，，，
即，可得為銳角，
同理可得，也為銳角．
，
同理可得，．
為不等邊銳角三角形．
故選：．  7.【答案】 【解析】【分析】本題考查空間中直線與平面、直線與直線、平面與平面間的位置關系的判斷，屬于中檔題．
設正方體的棱長為，以點為坐標原點，、、，所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間中兩點間的距離公式可判斷的正誤，利用錐體的體積公式可判斷的正誤，利用空間向量法可判斷的正誤．【解答】解：設正方體的棱長為，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，如圖，

則、、、、、、、
設點，其中．
對于，不是定值，錯誤；
對于，在正方體中，且，
所以，四邊形為平行四邊形，則
又平面，平面，則平面，
又，則點到平面的距離為定值，又三角形的面積也為定值，
所以，三棱錐的體積為定值，正確；
對于，，，所以，，
因此，對任意點，都有，正確；
對于，，，，
若平面，則，這樣的不存在．
所以不存在點，使得平面，錯誤．
故答案為：．  8.【答案】 【解析】【分析】本題考查了面面平行的性質，空間向量的線性運算以及利用向量法解決空間中的線面問題，屬于中檔題．
建立空間直角坐標系，求解平面的法向量，根據平面平面則，即可求解實數(shù)的值．【解答】解：以為原點，，，為，，建立空間直角坐標系，設，
則，設平面的法向量，
則，令，則，，故，
平面平面，則，
，
故，
故選：．  9.【答案】 【解析】【分析】
本題考查空間向量的線性運算、數(shù)量積、空間向量基本定理和線面垂直的判定，屬于一般題．
利用已知條件對選項逐個判斷即可．
【解答】
解：對于、因為，所以不是空間的一個基底，故A正確；
對于、因為，故B錯誤；
對于、因為
 ，故正確；
對于、由題意，易知四邊形為菱形，故，
又，
故，即，
又平面故平面故D正確，
故選ACD．  10.【答案】 【解析】【分析】本題考查了空間向量的基本定理及應用，共線與共面向量定理及應用和空間向量的加減運算及數(shù)乘運算，屬于中檔題．
利用基底的概念對進行判斷，再利用空間向量的基本定理對進行判斷，再利用共線與共面向量定理對進行判斷，再利用共面向量定理和空間向量的基本定理，結合空間向量的加減運算及數(shù)乘運算，對進行判斷，從而得結論．【解答】解：是空間的一組基底．
對于、是不共面的三個向量，因此不正確；
對于、對空間任一向量，存在唯一有序實數(shù)組，
使，因此B正確；
對于、因為，，所以與是共面向量，
但不一定垂直，因此不正確；
對于、設，
則，
因此，無解，
因此，，不共面，
所以可以作為構成空間的一組基底，因此D正確．
故選BD．  11.【答案】 【解析】【分析】略【解答】由知，所以中結論錯誤，，所以，所以，即，故B中結論正確易知，若，則存在實數(shù)，使得，即此方程組無解，故不平行于，故C中結論錯誤，，所以，所以，所以中結論正確故選BD．  12.【答案】 【解析】【分析】本題考查利用空間向量判斷空間直線和直線、直線和平面、平面和平面的平行關系和垂直關系，屬于中檔題．
根據條件結合空間向量的平行和垂直，對各選項逐項判斷即可．【解答】解：對于，兩條不重合直線，的方向向量分別是，，且，所以，選項A正確；
對于，直線的方向向量，平面的法向量是且
，所以或，選項B錯誤；
對于，兩個不同的平面，的法向量分別是，，且
，所以，選項C正確；
對于，直線的方向向量，平面的法向量是且，
所以，選項D錯誤．
故選：  13.【答案】 【解析】【分析】本題考查了空間向量的基本概念，空間向量的垂直和空間向量的數(shù)量積及運算律，屬于中檔題．
利用空間向量的垂直得，，再利用空間單位向量得，再利用空間向量的數(shù)量積及運算律得，和，最后把條件代入，計算得結論．【解答】解：因為，，所以，．
又因為，，都是單位向量，所以．
又因為，，，，
所以由得，
即   ；
由得，即；
由得，
即  ．
由得，因此．
故答案為．  14.【答案】 【解析】【分析】本題考查了空間中的距離，空間向量的加減運算及數(shù)乘運算，空間向量的數(shù)量積及運算律，投影向量空間向量 和利用空間向量求點、線、面之間的距離，屬于中檔題．
利用題目條件，以為坐標原點，、、分別為、、軸，建立空間直角坐標系，設，利用空間向量的加減運算及數(shù)乘運算得和，再利用空間向量的數(shù)量積，結合題目條件得，解得，從而得，再利用空間向量求點面距和投影向量，計算得結論．【解答】解：因為在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，
所以以為坐標原點，、、分別為、、軸，建立空間直角坐標系，如下圖：

設，
則，，，，，
且．
因為、分別是與的中點，所以，且．
取的中點，則且．
因為是的重心，
所以
，
因此．
又因為點在平面上的射影是的重心，
所以是平面的一個法向量，
因此，解得，
所以，
因此點到平面的距離為．
   15.【答案】 【解析】【分析】設，根據，求出點的坐標，可得，即可求出，
本題考查了空間向量的運算和向量的相等，以及向量的模，屬于基礎題．【解答】解：空間三點，，，四邊形是平行四邊形，
設，
，，
又四邊形是平行四邊形，
，
，，，
解得，，，
，
，
，
故答案為．  16.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了空間向量的應用問題，也考查了直線的方向向量與平面的法向量的應用問題，屬于中檔題．
根據直線、的方向向量與垂直，得出；
根據直線的方向向量與平面的法向量垂直，不能判斷；
根據平面、的法向量與不共線，不能得出；
求出向量與的坐標表示，再利用平面的法向量，列出方程組求出的值．
【解答】
解：對于，，，
，
，
直線與垂直，正確；
對于，，，
，
，或，錯誤；
對于，，，
與不共線，
不成立，錯誤；
對于，點，，，
，，
向量是平面的法向量，
，
即；
則，正確．
綜上，以上真命題的序號是．
故答案為：．  17.【答案】解取的中點，在上取一點，使得，
連接， 則與相等的向量都對 
如圖所示：


，
所以，，． 【解析】略
 18.【答案】解：因為，，
所以，，
因為，所以，
解得：．
因為向量與所成角為銳角，
所以
，解得． 【解析】本題考查空間向量的線性運算，空間向量的坐標運算，向量的數(shù)量積，屬于基礎題．
根據條件可求得的坐標，根據向量平行的坐標關系可求出的值；
因為向量與所成角為銳角，所以，根據向量的數(shù)量積以及平行的關系可求得的取值范圍．
 19.【答案】解：，

由題意及可得

，


，
，
．
異面直線與所成角的余弦值為． 【解析】本題考查空間向量基本定理及空間向量的加減運算與數(shù)量積運算，以及利用空間向量求異面直線的夾角，屬于中檔題．
利用空間向量基本定理及空間向量的加減運算法則得出即可；
利用空間向量的數(shù)量積運算法則進行求解即可．
 20.【答案】解：

設
則
若存在，使
則，
所以，
所以，
因為，，，，，，
所以，，，，
所以，
解得：，
所以當是上靠近的三等分點時， 【解析】本題考查空間向量基本定理的運用，考查向量數(shù)量積的運算，屬于中檔題．
利用空間向量的加減，數(shù)乘運算求解即可；
利用空間向量數(shù)量積運算求解即可．
 21.【答案】解：由正方形與等腰直角三角形所在平面互相垂直，
，得平面，，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，，則，，，，，，，，，，為的中點．，，，又，，，．，． 【解析】本題考查空間向量垂直的坐標表示，空間向量夾角余弦的求法，是中檔題．
以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設，，利用，，求出的值，確定點位置；
利用空間向量夾角余弦公式能求出．
 22.【答案】證明：依題意，平面，四邊形是正方形，
如圖，以為原點，分別以、、的方向為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標系．

依題意，可得，，，
，，，．
取的中點，連接．
因為，，，
所以，所以．
又因為平面，平面，
所以平面． 【解析】本題考查線面平行的證明，考查向量法的應用，屬于中檔題．
以為原點，分別以、、的方向為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標系，取的中點，連接推導出，由此能證明平面．