【自主學(xué)習(xí)】
一．點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系：
點(diǎn)P在橢圓上? ；點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部? ；點(diǎn)P在橢圓外部?
二．直線與橢圓的位置關(guān)系
直線y＝kx＋m與橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系：
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消去y得一個關(guān)于x的一元二次方程．
【小試牛刀】
思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)點(diǎn)P(2,1)在橢圓eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1的內(nèi)部． ( )
(2)過橢圓外一點(diǎn)一定能作兩條直線與已知橢圓相切． ( )
(3)過點(diǎn)A(0,1)的直線一定與橢圓x2＋eq \f(y2,2)＝1相交． ( )
(4)長軸是橢圓中最長的弦． ( )
(5)直線y＝k(x－a)與橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的位置關(guān)系是相交． ( )
【經(jīng)典例題】
題型一 點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系的判斷
已知點(diǎn)P(k,1)，橢圓eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，點(diǎn)P在橢圓外，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為____________．
【跟蹤訓(xùn)練】1 若點(diǎn)P(a,1)在橢圓eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,3)＝1的外部，則a的取值范圍為( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，＋∞))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2\r(3),3))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(4,3)))
題型二 直線與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)撥：代數(shù)法判斷直線與橢圓的位置關(guān)系
判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，通過解直線方程與橢圓方程組成的方程組，消去方程組中的一個變量，得到關(guān)于另一個變量的一元二次方程，則Δ>0?直線與橢圓相交；Δ＝0?直線與橢圓相切；Δb>0)上的兩個不同的點(diǎn)，M(x0，y0)是線段AB的中點(diǎn)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1， ①,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1， ②))
由①－②，得eq \f(1,a2)(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2))＋eq \f(1,b2)(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2))＝0，變形得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)，即kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0).
2．求弦長的兩種方法
(1)求出直線與橢圓的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求弦長．
(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到關(guān)于一個未知數(shù)的一元二次方程，利用弦長公式：|P1P2|＝·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或|P1P2|＝\r(1＋\f(1,k2))\r(?y1＋y2?2－4y1y2)))，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積后代入公式可求得弦長．
提醒：如果直線方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情況．
例3 已知斜率為1的直線l過橢圓eq \f(x2,4)＋y2＝1的右焦點(diǎn)F，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長．
【跟蹤訓(xùn)練】3 過橢圓eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1內(nèi)一點(diǎn)M(2,1)引一條弦，使弦被M點(diǎn)平分．
(1)求此弦所在的直線方程；
(2)求此弦長．
題型四 與橢圓有關(guān)的綜合問題
例4 橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)A(－2,0)，且離心率為eq \f(\r(2),2).
(1)求橢圓E的方程；
(2)過點(diǎn)P(4,0)任作一條直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠PQM＋∠PQN＝180°？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【跟蹤訓(xùn)練】4 橢圓的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(－ eq \r(3) ，0)和F2( eq \r(3) ，0)，且橢圓過點(diǎn) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(\r(3),2))) .
(1)求橢圓方程；
(2)過點(diǎn) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，0)) 作不與y軸垂直的直線l交該橢圓于M，N兩點(diǎn)，A為橢圓的左頂點(diǎn)，試判斷∠MAN的大小是否為定值，并說明理由．
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.若直線l：2x＋by＋3＝0過橢圓C：10x2＋y2＝10的一個焦點(diǎn)，則b等于( )
A．1 B．±1 C．－1 D．±2
2.直線y＝x＋1被橢圓eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(5,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(7,3))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,2)，－\f(17,2)))
3.已知橢圓的方程是x2＋2y2－4＝0，則以M(1,1)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程是( )
A．x＋2y－3＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
4.(多選)若直線與橢圓相切，則斜率的值是（ ）
A．B．C．D．
5.橢圓x2＋4y2＝16被直線y＝eq \f(1,2)x＋1截得的弦長為________。
6.設(shè)橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)過點(diǎn)(0,4)，離心率為eq \f(3,5).
(1)求橢圓C的方程；
(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為eq \f(4,5)的直線被C所截線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)．
【參考答案】
【自主學(xué)習(xí)】
eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1 eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)
兩 Δ>0 一 Δ＝0 無 Δ1，解得keq \f(3\r(3),2).
【跟蹤訓(xùn)練】1 B解析：由題意知eq \f(a2,2)＋eq \f(1,3)>1，即a2>eq \f(4,3)，解得a>eq \f(2\r(3),3)或ab>0)，
將c＝ eq \r(3) ，a2＝b2＋c2，代入橢圓方程得 eq \f(x2,b2＋3) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1，
又因?yàn)闄E圓過點(diǎn) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(\r(3),2))) ，得 eq \f(1,b2＋3) ＋ eq \f(\f(3,4),b2) ＝1，
解得b2＝1，所以a2＝4.所以橢圓的方程為 eq \f(x2,4) ＋y2＝1.
(2)設(shè)直線MN的方程為x＝ky－ eq \f(6,5) ，聯(lián)立直線MN和橢圓的方程 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ky－\f(6,5)，,\f(x2,4)＋y2＝1，))
得(k2＋4)y2－ eq \f(12,5) ky－ eq \f(64,25) ＝0，
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(－2，0)，y1y2＝－ eq \f(64,25（k2＋4）) ，y1＋y2＝ eq \f(12k,5（k2＋4）) ，
則 eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(AN,\s\up6(→)) ＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋ eq \f(4,5) k(y1＋y2)＋ eq \f(16,25) ＝0，所以∠MAN＝ eq \f(π,2) .
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.B 解析：因?yàn)闄E圓x2＋eq \f(y2,10)＝1的焦點(diǎn)F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3)，所以b＝1或－1.
2.C解析：聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))消去y，得3x2＋4x－2＝0，設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－eq \f(4,3)，故AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝－eq \f(2,3).縱坐標(biāo)y0＝x0＋1＝－eq \f(2,3)＋1＝eq \f(1,3).
3.A 解析：由題意易知所求直線的斜率存在，設(shè)過點(diǎn)M(1,1)的直線方程為y＝k(x－1)＋1，即y＝kx＋1－k.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2y2－4＝0，,y＝kx＋1－k，))消去y，得(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋2k2－4k－2＝0，
所以eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(1,2)×eq \f(4k2－4k,1＋2k2)＝1，解得k＝－eq \f(1,2)，所以所求直線方程為y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(3,2)，即x＋2y－3＝0.
4.AB 解析：已知直線與橢圓有且只有一個交點(diǎn)，由消去并整理，得，由題意知，，解得：.故選：A B.
5.eq \r(35) 解析： 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4y2＝16，,y＝\f(1,2)x＋1，))消去y并化簡得x2＋2x－6＝0.
設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦長|MN|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(\f(5,4)[?x1＋x2?2－4x1x2])＝eq \r(\f(5,4)?4＋24?)＝eq \r(35).
6.解： (1)將(0,4)代入C的方程，得eq \f(16,b2)＝1，∴b＝4.由e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,5)，得eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(9,25)，即1－eq \f(16,a2)＝eq \f(9,25)，∴a＝5，∴橢圓C的方程為eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.
(2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為eq \f(4,5)的直線方程為y＝eq \f(4,5)(x－3)．
設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
將直線AB的方程y＝eq \f(4,5)(x－3)代入C的方程，得eq \f(x2,25)＋eq \f(?x－3?2,25)＝1，即x2－3x－8＝0，
則x1＋x2＝3，∴eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(3,2)，eq \f(y1＋y2,2)＝eq \f(2,5)(x1＋x2－6)＝－eq \f(6,5)，即中點(diǎn)的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(6,5))).課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)科素養(yǎng)
1.進(jìn)一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用，會判斷直線與橢圓的位置關(guān)系．
2.能運(yùn)用直線與橢圓的位置關(guān)系解決相關(guān)的弦長、中點(diǎn)弦問題．
1、直觀想象
2、數(shù)學(xué)運(yùn)算
3、邏輯推理
位置關(guān)系
解的個數(shù)
Δ的取值
相交
解

相切
解

相離
解

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

3.1 橢圓

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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