【自主學(xué)習(xí)】
一．兩條不重合直線平行的判定
二．兩條直線垂直的判定
思考1：如果兩條直線平行，則這兩條直線的斜率一定相等嗎？
思考2：如果兩條直線垂直，則它們的斜率的積一定等于－1嗎？
【小試牛刀】
思辨解析(對的打“√”，錯的打“×”).
（1）若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行.( )
（2）若l1∥l2，則k1＝k2.( )
（3）若兩條直線中有一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率存在,則這兩條直線垂直.( )
（4）若兩條直線的斜率都不存在且兩直線不重合，則這兩條直線平行.( )
【經(jīng)典例題】
題型一 兩條直線平行的判定
點撥：判斷兩條不重合的直線是否平行的方法
注意：區(qū)分平行與重合，必須強調(diào)不共線才能確定平行，因為兩直線重合也可以推出兩條直線的斜率相等．
例1 下列直線l1與直線l2(l1與l2不重合)平行的有________.(填序號)
①l1經(jīng)過點A(2,1)，B(－3,5)，l2經(jīng)過點C(3，－3)，D(8，－7)；
②l1的斜率為2，l2經(jīng)過點A(1,1)，B(2,2)；
③l1的傾斜角為60°，l2經(jīng)過點M(1，eq \r(3))，N(－2，－2eq \r(3))；
④l1經(jīng)過點E(2,6)，F(xiàn)(2,3)，l2經(jīng)過點P(－3，－3)，Q(－3，－6).
【跟蹤訓(xùn)練】1 已知△ABC中，A(0，3)，B(2，－1)，E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點，求直線EF的斜率．
題型二 兩條直線垂直的判定
點撥：判斷兩條直線是否垂直的依據(jù)是：在這兩條直線都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否等于－1即可，但應(yīng)注意有一條直線與x軸垂直，另一條直線與x軸平行或重合時，這兩條直線也垂直.
例2 判斷下列各題中l(wèi)1與l2是否垂直.
(1)l1經(jīng)過點A(－3，－4)，B(1,3)，l2經(jīng)過點M(－4，－3)，N(3，1)；
(2)l1的斜率為－10，l2經(jīng)過點A(10,2)，B(20,3)；
(3)l1經(jīng)過點A(3,4)，B(3,10)，l2經(jīng)過點M(－10,40)，N(10,40).
【跟蹤訓(xùn)練】2已知定點A(－1,3)，B(4,2)，以AB為直徑作圓，與x軸有交點C，則交點C的坐標(biāo)是________．
題型三 平行與垂直的綜合應(yīng)用
點撥：(1)利用直線的斜率判定平面圖形的形狀一般要運用數(shù)形結(jié)合的方法，先由圖形作出猜測，然后利用直線的斜率關(guān)系進行判定.
(2)由幾何圖形的形狀求參數(shù)(一般是點的坐標(biāo))時，要根據(jù)圖形的特征確定斜率之間的關(guān)系，既要考慮斜率是否存在，又要考慮到圖形可能出現(xiàn)的各種情形.
(3)明確運算對象，探究運算思路，是對數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.
例3 已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四點，若順次連接A，B，C，D四點，試判定圖形ABCD的形狀．
【跟蹤訓(xùn)練】3 已知四邊形ABCD的頂點B(6，－1)，C(5,2)，D(1,2).若四邊形ABCD為直角梯形，求A點坐標(biāo).(A，B，C，D按逆時針方向排列)
【當(dāng)堂達標(biāo)】
1.過點A(2,5)和點B(－4,5)的直線與直線y＝3的位置關(guān)系是( )
A.相交 B.平行 C.重合 D.以上都不對
2.已知兩條直線l1,l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的兩個根,則l1與l2的位置關(guān)系是( )
A.平行 B.垂直
C.可能重合 D.無法確定
3.(多選)設(shè)點P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，則有( )
A．PQ∥SR B．PQ⊥PS
C．PS∥QS D．PR⊥QS
4.若不同兩點P，Q的坐標(biāo)分別為(a，b)，(3－b,3－a)，則線段PQ的垂直平分線的斜率為________.
5.已知平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，求頂點D的坐標(biāo)．
6.已知△ABC的頂點為A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC為直角三角形，求m的值.
【參考答案】
【自主學(xué)習(xí)】
1.k1＝k2
2.k1·k2＝－1 l1⊥l2
思考1：在兩條直線的斜率都存在的情況下，斜率一定相等．
思考2：不一定．它們的斜率也可能一個是0，另一個不存在．
【小試牛刀】
× × × √
【經(jīng)典例題】
例1 ①③④ 解析 ①∵kAB＝eq \f(5－1,－3－2)＝－eq \f(4,5)，kCD＝eq \f(－7＋3,8－3)＝－eq \f(4,5)，∴kAB＝kCD，∴l(xiāng)1∥l2.
②∵＝eq \f(2－1,2－1)＝1≠＝2，∴l(xiāng)1不平行于l2.
③∵＝tan 60°＝eq \r(3)，＝eq \f(\r(3)＋2\r(3),1＋2)＝eq \r(3)，∴＝，∴l(xiāng)1∥l2.
④l1，l2的斜率均不存在，∴l(xiāng)1∥l2.
【跟蹤訓(xùn)練】1 解 ∵E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點，
∴EF∥AB，∴kEF＝kAB＝eq \f(－1－3,2－0)＝－2.故直線EF的斜率為－2.
例2 解 (1)k1＝eq \f(3－?－4?,1－?－3?)＝eq \f(7,4)，k2＝eq \f(1－?－3?,3－?－4?)＝eq \f(4,7)，k1k2＝1，∴l(xiāng)1與l2不垂直.
(2)k1＝－10，k2＝eq \f(3－2,20－10)＝eq \f(1,10)，k1k2＝－1，∴l(xiāng)1⊥l2.
(3)l1的傾斜角為90°，則l1⊥x軸；k2＝eq \f(40－40,10－?－10?)＝0，則l2∥x軸，∴l(xiāng)1⊥l2.
【跟蹤訓(xùn)練】2 (1,0)或(2,0) 解析 設(shè)以A、B為直徑的圓與x軸的交點為P(x,0)，
∵kPB≠0，kPA≠0，∴kPA·kPB＝－1，即eq \f(0－3,x＋1)·eq \f(0－2,x－4)＝－1，
∴(x＋1)(x－4)＝－6，而x2－3x＋2＝0.∴x＝1或x＝2，∴P點坐標(biāo)為(1,0)或(2,0)．
例3 解 A，B，C，D四點在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置如圖：
由斜率公式可得
kAB＝eq \f(5－3,2－（－4）)＝eq \f(1,3)，kCD＝eq \f(0－3,－3－6)＝eq \f(1,3)，kAD＝eq \f(0－3,－3－（－4）)＝－3，kBC＝eq \f(3－5,6－2)＝－eq \f(1,2)，
∴kAB＝kCD，由圖可知AB與CD不重合，∴AB∥CD.
由kAD≠kBC，∴AD與BC不平行．又kAB·kAD＝eq \f(1,3)×(－3)＝－1，∴AB⊥AD.
故四邊形ABCD為直角梯形．
【跟蹤訓(xùn)練】3 解 ①若∠A＝∠D＝90°，如圖(1)，
由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1).
②若∠A＝∠B＝90°，如圖(2).
設(shè)A(a，b)，則kBC＝－3，kAD＝eq \f(b－2,a－1)，kAB＝eq \f(b＋1,a－6).
由AD∥BC，得kAD＝kBC，即eq \f(b－2,a－1)＝－3；①
由AB⊥BC，得kAB·kBC＝－1，即eq \f(b＋1,a－6)·(－3)＝－1.②
由①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(12,5)，,b＝－\f(11,5)，))故Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,5)，－\f(11,5))).
綜上所述，A點坐標(biāo)為(1，－1)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,5)，－\f(11,5))).
【當(dāng)堂達標(biāo)】
1. B 解析：斜率都為0且不重合，所以平行.
2.B 解析：由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立.
故方程有兩相異實根，即l1與l2的斜率k1，k2均存在.設(shè)兩根為x1，x2，則k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2.
3.ABD 解析：由斜率公式知，kPQ＝ eq \f(－4－2,6＋4) ＝－ eq \f(3,5) ，kSR＝ eq \f(12－6,2－12) ＝－ eq \f(3,5) ，
kPS＝ eq \f(12－2,2＋4) ＝ eq \f(5,3) ，kQS＝ eq \f(12＋4,2－6) ＝－4，kPR＝ eq \f(6－2,12＋4) ＝ eq \f(1,4) ，所以PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，所以PS與QS不平行．
4.－1 解析 由kPQ＝eq \f(3－a－b,3－b－a)＝1，得線段PQ的垂直平分線的斜率為－1.
5．解 設(shè)D(m，n)，由題意，得AB∥DC，AD∥BC，則有kAB＝kDC，kAD＝kBC.
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(0－1,1－0)＝\f(3－n,4－m)，,\f(n－1,m－0)＝\f(3－0,4－1)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝3，,n＝4.))∴頂點D的坐標(biāo)為(3，4)．
6.解 若∠A為直角，則AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，即eq \f(m＋1,2－5)·eq \f(1＋1,1－5)＝－1，解得m＝－7；
若∠B為直角，則AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，即eq \f(1＋1,1－5)·eq \f(m－1,2－1)＝－1，解得m＝3；
若∠C為直角，則AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，即eq \f(m＋1,2－5)·eq \f(m－1,2－1)＝－1，解得m＝±2.
綜上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2.課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)科素養(yǎng)
理解并掌握兩條直線平行的條件及兩條直線垂直的條件(重點).
能根據(jù)已知條件判斷兩直線的平行與垂直(重點).
3.能應(yīng)用兩條直線平行或垂直進行實際應(yīng)用(重、難點)．
1、直觀想象
2、數(shù)學(xué)運算
3、數(shù)形結(jié)合
類型
斜率存在
斜率不存在
前提條件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
對應(yīng)關(guān)系
l1∥l2?
兩直線斜率都不存在? l1∥l2
圖示
圖示
對應(yīng)關(guān)系
l1⊥l2(兩直線斜率都存在)?
l1的斜率不存在，l2的斜率為0?

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

2.1 直線的傾斜角與斜率

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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