【自主學(xué)習(xí)】
一．橢圓的定義
把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于 的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這 叫做橢圓的焦點(diǎn)， 叫做橢圓的焦距，焦距的 稱為半焦距．
思考：(1)橢圓定義中將“大于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”的常數(shù)，其他條件不變，點(diǎn)的軌跡是什么？

(2)橢圓定義中將“大于|F1F2|”改為“小于|F1F2|”的常數(shù)，其他條件不變，動點(diǎn)的軌跡是什么？

二．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【小試牛刀】
思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和等于定長的點(diǎn)的軌跡為橢圓．( )
(2)已知F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓．( )
(3)已知橢圓的焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，P是橢圓上的一動點(diǎn)，如果延長F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，則動點(diǎn)Q的軌跡為圓．( )
(4)方程eq \f(x2,b2)＋eq \f(y2,a2)＝1 (a＞0，b＞0)表示的曲線是橢圓．( )


【經(jīng)典例題】
題型一 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
點(diǎn)撥：用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟
(1)定位置：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)是在x軸上，還是在y軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能．
(2)設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq \f(x2,b2)＋eq \f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
(3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件建立關(guān)于a，b，c(或m，n)的方程組．
例1 求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，并且橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)的距離的和等于10；
(2)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，－2)，(0,2)，經(jīng)過點(diǎn)(4,3eq \r(2))；
(3)求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn)(2，－eq \r(2))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(14),2)))的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．





【跟蹤訓(xùn)練】1求與橢圓eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(3，eq \r(15))的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．


題型二 求橢圓軌跡方程
點(diǎn)撥：
1.定義法求軌跡方程
如果能確定動點(diǎn)運(yùn)動的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可以利用這種已知曲線的定義直接寫出其方程，這種求軌跡方程的方法稱為定義法．
2.代入法(相關(guān)點(diǎn)法)
若所求軌跡上的動點(diǎn)P(x，y)與另一個(gè)已知曲線C：F(x，y)＝0上的動點(diǎn)Q(x1，y1)存在著某種聯(lián)系，可以把點(diǎn)Q的坐標(biāo)用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出來，然后代入已知曲線C的方程 F(x，y)＝0，化簡即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做代入法(又稱相關(guān)點(diǎn)法)．
例2 如圖所示，已知動圓P過定點(diǎn)A(－3，0)，并且在定圓B：(x－3)2＋y2＝64的內(nèi)部與其內(nèi)切，求動圓圓心P的軌跡方程．





【跟蹤訓(xùn)練】2 已知x軸上一定點(diǎn)A(1,0)，Q為橢圓eq \f(x2,4)＋y2＝1上任一點(diǎn)，求線段AQ中點(diǎn)M的軌跡方程．





題型三 橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題
點(diǎn)撥：橢圓定義在焦點(diǎn)三角形中的應(yīng)用技巧
1.橢圓的定義具有雙向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，則點(diǎn)M的軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和必為2a.
2.涉及焦點(diǎn)三角形面積時(shí)，可把|PF1|，|PF2|看作一個(gè)整體，運(yùn)用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而無需單獨(dú)求解．
例3 已知橢圓eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1中，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點(diǎn)，且∠PF1F2＝120°，
求△PF1F2的面積；
若改為“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面積．




【跟蹤訓(xùn)練】3 已知F1，F(xiàn)2為橢圓eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．若|F2A|＋|F2B|＝12，則|AB|＝________.

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.橢圓eq \f(x2,25)＋y2＝1上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2.(多選)若方程x2＋ky2＝2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值可以是( )
A.2 B．1 C．0.5 D．0.3
3.已知橢圓eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1的左焦點(diǎn)是F1，右焦點(diǎn)是F2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么|PF1|∶|PF2|＝( )
A．3∶5 B．3∶4 C．5∶3 D．4∶3
4.若方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2m－1)＝1表示橢圓，則實(shí)數(shù)m滿足的條件是________．
5.已知P是橢圓eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1上一動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則線段OP中點(diǎn)Q的軌跡方程為_ _．
6.設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，求△F1PF2的面積．














【參考答案】
【自主學(xué)習(xí)】
常數(shù)(大于|F1F2|) 兩個(gè)定點(diǎn) 兩焦點(diǎn)間的距離 一半
思考：(1)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2.
(2)當(dāng)距離之和小于|F1F2|時(shí)，動點(diǎn)的軌跡不存在．
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0） (0，－c)與(0，c) a2－b2
【小試牛刀】
(1)× (2)× (3)√ (4)×
【經(jīng)典例題】
例1 解：(1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5，b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(25－16)＝3，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1.
(2)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．
因?yàn)樗髾E圓過點(diǎn)(4,3eq \r(2))，所以eq \f(18,a2)＋eq \f(16,b2)＝1.又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32.
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,32)＝1.
(3)設(shè)橢圓的一般方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
分別將兩點(diǎn)的坐標(biāo)(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(14),2)))代入橢圓的一般方程，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
【跟蹤訓(xùn)練】1 解：因?yàn)樗髾E圓與橢圓eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的焦點(diǎn)相同，所以其焦點(diǎn)在x軸上，且c2＝25－9＝16.
設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．
因?yàn)閏2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16 ①.
又點(diǎn)(3，eq \r(15))在所求橢圓上，所以eq \f(32,a2)＋eq \f(?\r(15)?2,b2)＝1，即eq \f(9,a2)＋eq \f(15,b2)＝1 ②.
由①②得a2＝36，b2＝20，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1.
例2 解：設(shè)動圓P和定圓B內(nèi)切于點(diǎn)M，動圓圓心P到兩定點(diǎn)A(－3,0)和B(3,0)的距離之和恰好等于定圓半徑，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，
所以動圓圓心P的軌跡是以A，B為左、右焦點(diǎn)的橢圓，
其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，其軌跡方程為eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)＝1.
【跟蹤訓(xùn)練】2 解：設(shè)中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0，y0)．
利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0＋1,2)，,y＝\f(y0,2)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－1，,y0＝2y.))
∵Q(x0，y0)在橢圓eq \f(x2,4)＋y2＝1上，∴eq \f(x\\al(2,0),4)＋yeq \\al(2,0)＝1.
將x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，得eq \f(?2x－1?2,4)＋(2y)2＝1.
故所求AQ的中點(diǎn)M的軌跡方程是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋4y2＝1.
例3 解：(1)由eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，可知a＝2，b＝eq \r(3)，所以c＝eq \r(a2－b2)＝1，從而|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cs∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|. ①
由橢圓定義得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4. ②
由①②聯(lián)立可得|PF1|＝eq \f(6,5).所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||F1F2|sin∠PF1F2＝eq \f(1,2)×eq \f(6,5)×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),5).
(2)∵ ∠PF1F2＝90°，∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2.從而(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4，則|PF1|＝eq \f(3,2)，
因此S△PF1F2＝eq \f(1,2)·|F1F2|·|PF1|＝eq \f(3,2). 故所求△PF1F2的面積為eq \f(3,2).
【跟蹤訓(xùn)練】3 8 解析：由直線AB過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1，知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，
所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8.
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.D 解析：根據(jù)橢圓的定義知，P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2a－2＝2×5－2＝8.
2.CD解析：∵方程x2＋ky2＝2，即eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,\f(2,k))＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，∴eq \f(2,k)>2，故0

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

3.1 橢圓

版本： 人教A版 (2019)

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