【自主學(xué)習(xí)】
一．橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
二．離心率
(1)定義：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比eq \f(c,a)稱(chēng)為橢圓的 ．
(2)性質(zhì)：離心率e的范圍是(0,1)．當(dāng)e越接近于1時(shí)，橢圓 ；當(dāng)e越接近于0時(shí)，橢圓就越接近于圓．
思考：離心率相同的橢圓是同一橢圓嗎？
【小試牛刀】
思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于a. ( )
(2)橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為a－c. ( )
(3)橢圓的離心率e越小，橢圓越圓． ( )
(4)若橢圓的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)分別為10,8，則橢圓的方程為eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1. ( )
(5)設(shè)F為橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，M為其上任一點(diǎn)，則|MF|的最大值為a＋c(c為橢圓的半焦距)．( )
【經(jīng)典例題】
題型一 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
點(diǎn)撥：由標(biāo)準(zhǔn)方程研究性質(zhì)時(shí)的兩點(diǎn)注意
(1)已知橢圓的方程討論性質(zhì)時(shí)，若不是標(biāo)準(zhǔn)形式的先化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再確定焦點(diǎn)的位置，進(jìn)而確定橢圓的類(lèi)型．
(2)焦點(diǎn)位置不確定的要分類(lèi)討論，找準(zhǔn)a與b，正確利用a2＝b2＋c2求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)．同時(shí)要注意長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距不是a，b，c，而應(yīng)是2a,2b,2c.
例1 求橢圓9x2＋16y2＝144的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)．



【跟蹤訓(xùn)練】1 已知橢圓C1：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1，設(shè)橢圓C2與橢圓C1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)分別相等，且橢圓C2的焦點(diǎn)在y軸上．
(1)求橢圓C1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；
(2)寫(xiě)出橢圓C2的方程，并研究其性質(zhì)．





題型二 由幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
點(diǎn)撥：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的思路
(1)利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其步驟是：
①確定焦點(diǎn)位置；
②設(shè)出相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(對(duì)于焦點(diǎn)位置不確定的橢圓可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程)；
③根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求參數(shù)，列方程(組)時(shí)常用的關(guān)系式有b2＝a2－c2，e＝eq \f(c,a)等．
(2)在橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)中，軸長(zhǎng)、離心率不能確定橢圓的焦點(diǎn)位置，因此僅依據(jù)這些條件求所要確定的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能有兩個(gè)．
例2 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)橢圓過(guò)點(diǎn)(3,0)，離心率e＝eq \f(\r(6),3)；
(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,2)，且與橢圓eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝1有相同的離心率．



【跟蹤訓(xùn)練】 2求出滿(mǎn)足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．短軸的一個(gè)端點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，焦點(diǎn)到橢圓中心的距離為3。




題型三 求橢圓的離心率
點(diǎn)撥：求橢圓離心率及范圍的兩種方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq \f(c,a)求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的齊次關(guān)系式，借助于a2＝b2＋c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍．
例3 若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，則該橢圓的離心率為( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(3),4) D.eq \f(\r(6),4)
【跟蹤訓(xùn)練】 3 設(shè)橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，若在橢圓上存在一點(diǎn)P，使eq \(PF1,\s\up8(→))·eq \(PF2,\s\up8(→))＝0，求橢圓的離心率e的取值范圍．



【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,0)，Q(0,2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,4)＝1 C．eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(y2,9)－eq \f(x2,4)＝1
2．(多選)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的半焦距長(zhǎng)為1，離心率等于eq \f(1,2)，則C的方程是( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,4)＋y2＝1
3.比較橢圓①x2＋9y2＝36與②eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的形狀，則________更扁．(填序號(hào))
4.設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線(xiàn)x＝eq \f(3a,2)上一點(diǎn)，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為_(kāi)_______．
5.已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，若橢圓C的中心到直線(xiàn)AB的距離為eq \f(\r(6),6)|F1F2|，求橢圓C的離心率．









【參考答案】
【自主學(xué)習(xí)】
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 坐標(biāo)軸 原點(diǎn) 2b 2a F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c) 2c
離心率 越扁
思考：不是，離心率是比值，比值相同不代表a，c值相同，它反映的是橢圓的扁圓程度．
【小試牛刀】
(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√
【經(jīng)典例題】
例1 解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1，所以a＝4，b＝3，c＝eq \r(16－9)＝eq \r(7)，
所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是2a＝8和2b＝6；離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),4)；
兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(－eq \r(7)，0)，(eq \r(7)，0)；四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．
【跟蹤訓(xùn)練】1 解：(1)由橢圓C1：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1，可得其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為10，短半軸長(zhǎng)為8，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0)，(－6,0)，離心率e＝eq \f(3,5).
(2)橢圓C2：eq \f(y2,100)＋eq \f(x2,64)＝1.性質(zhì)如下：
①范圍：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②對(duì)稱(chēng)性：關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；③頂點(diǎn)：長(zhǎng)軸端點(diǎn)(0,10)，(0，－10)，短軸端點(diǎn)(－8,0)，(8,0)；④焦點(diǎn)：(0,6)，(0，－6)；⑤離心率：e＝eq \f(3,5).
例2 解：(1)若焦點(diǎn)在x軸上，則a＝3，
∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，∴c＝eq \r(6)，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴橢圓的方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1.
若焦點(diǎn)在y軸上，則b＝3，
∵e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \r(1－\f(9,a2))＝eq \f(\r(6),3)，解得a2＝27.∴橢圓的方程為eq \f(y2,27)＋eq \f(x2,9)＝1.
∴所求橢圓的方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1或eq \f(y2,27)＋eq \f(x2,9)＝1.
(2)法一：由題意知e2＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)，即a2＝2b2，設(shè)所求橢圓的方程為eq \f(x2,2b2)＋eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,2b2)＋eq \f(x2,b2)＝1.將點(diǎn)M(1,2)代入橢圓方程得eq \f(1,2b2)＋eq \f(4,b2)＝1或eq \f(4,2b2)＋eq \f(1,b2)＝1，解得b2＝eq \f(9,2)或b2＝3.
故所求橢圓的方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,\f(9,2))＝1或eq \f(y2,6)＋eq \f(x2,3)＝1.
法二：設(shè)所求橢圓方程為eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝k1(k1>0)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝k2(k2>0)，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可得eq \f(1,12)＋eq \f(4,6)＝k1或eq \f(4,12)＋eq \f(1,6)＝k2，解得k1＝eq \f(3,4)，k2＝eq \f(1,2)，故eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝eq \f(3,4)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝eq \f(1,2)，即所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,\f(9,2))＝1或eq \f(y2,6)＋eq \f(x2,3)＝1.
【跟蹤訓(xùn)練】2 解： 法一：若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝3·2b，,\f(9,a2)＋\f(0,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝1.))所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,9)＋y2＝1.
若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．
由題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝3·2b，,\f(0,a2)＋\f(9,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝9，,b＝3.))
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1.
綜上所述，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,9)＋y2＝1或eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1.
法二：設(shè)橢圓方程為eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
則由題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9,m)＝1，,2\r(m)＝3·2\r(n)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9,m)＝1，,2\r(n)＝3·2\r(m)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝9,n＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝9，,n＝81.))
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,9)＋y2＝1或eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1.
例3 A 解析：不妨設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，B為橢圓的上頂點(diǎn)．
依題意可知，△BF1F2是正三角形．
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴cs 60°＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即橢圓的離心率e＝eq \f(1,2)，故選A.
【跟蹤訓(xùn)練】3 解：由題意知PF1⊥PF2，所以點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓上，即在圓x2＋y2＝c2上．
又點(diǎn)P在橢圓上，所以圓x2＋y2＝c2與橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1有公共點(diǎn)．
連接OP(圖略)，則易知0＜b≤c＜a，所以b2≤c2＜a2，即a2－c2≤c2＜a2.
所以eq \f(a2,2)≤c2＜a2，所以eq \f(\r(2),2)≤e＜1.所以e∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)).
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.A解析：由題易知點(diǎn)P(3,0)，Q(0,2)分別是橢圓長(zhǎng)軸和短軸的一個(gè)端點(diǎn)，故橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以a＝3，b＝2，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1.
2.AC 解析：依題意知，c＝1，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此橢圓的焦點(diǎn)在X軸和Y軸兩種可能，所以橢圓的方程為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1或 eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1。
3. ① 解析：把x2＋9y2＝36化為標(biāo)準(zhǔn)形式eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,4)＝1，離心率e1＝eq \f(\r(36－4),6)＝eq \f(2\r(2),3)，而eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的離心率e2＝eq \f(\r(9－5),3)＝eq \f(2,3)，這里e2＜e1，故①更扁．
4.eq \f(3,4) 解析：由題意，知∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°，
∴∠PF2x＝60°.∴|PF2|＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)a－c))＝3a－2c.
∵|F1F2|＝2c，|F1F2|＝|PF2|，∴3a－2c＝2c，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,4).
5.解：由題意知A(a,0)，B(0，b)，從而直線(xiàn)AB的方程為eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，
即bx＋ay－ab＝0，又|F1F2|＝2c，∴eq \f(ab,\r(a2＋b2))＝eq \f(\r(6),3)c.∵b2＝a2－c2，∴3a4－7a2c2＋2c4＝0，
解得a2＝2c2或3a2＝c2(舍去)，∴e＝eq \f(\r(2),2).課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)科素養(yǎng)
1.根據(jù)橢圓的方程研究曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，并正確地畫(huà)出它的圖形．(重點(diǎn))
2.根據(jù)幾何條件求出曲線(xiàn)方程，利用曲線(xiàn)的方程研究它的性質(zhì)，并能畫(huà)出相應(yīng)的曲線(xiàn)．(重點(diǎn)、難點(diǎn))
1、直觀(guān)想象
2、數(shù)學(xué)運(yùn)算
3、邏輯推理
焦點(diǎn)的位置
焦點(diǎn)在x軸上
焦點(diǎn)在y軸上
圖形
焦點(diǎn)的
位置
焦點(diǎn)在x軸上
焦點(diǎn)在y軸上
標(biāo)準(zhǔn)
方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
(a>b>0)
范圍


對(duì)稱(chēng)性
對(duì)稱(chēng)軸為 ，對(duì)稱(chēng)中心為
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
軸長(zhǎng)
短軸長(zhǎng)|B1B2|＝ ，長(zhǎng)軸長(zhǎng)|A1A2|＝
焦點(diǎn)


焦距
|F1F2|＝

相關(guān)學(xué)案

人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)3.1 橢圓導(dǎo)學(xué)案：

這是一份人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)3.1 橢圓導(dǎo)學(xué)案，共4頁(yè)。學(xué)案主要包含了復(fù)習(xí)回顧，探究新知，課堂小結(jié)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)第三章 圓錐曲線(xiàn)的方程3.1 橢圓學(xué)案：

這是一份人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)第三章 圓錐曲線(xiàn)的方程3.1 橢圓學(xué)案，共4頁(yè)。學(xué)案主要包含了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，落實(shí)基本性質(zhì)，典例講解，當(dāng)堂檢測(cè)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)第三章 圓錐曲線(xiàn)的方程3.1 橢圓優(yōu)質(zhì)第1課時(shí)導(dǎo)學(xué)案：

這是一份人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)第三章 圓錐曲線(xiàn)的方程3.1 橢圓優(yōu)質(zhì)第1課時(shí)導(dǎo)學(xué)案，共10頁(yè)。學(xué)案主要包含了學(xué)習(xí)目標(biāo)，自主學(xué)習(xí)，小試牛刀，經(jīng)典例題，跟蹤訓(xùn)練，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)，參考答案等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)3.1 橢圓第2課時(shí)學(xué)案及答案

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)3.1 橢圓第2課時(shí)學(xué)案及答案
人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)第三章 圓錐曲線(xiàn)的方程3.1 橢圓第1課時(shí)導(dǎo)學(xué)案

人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)第三章 圓錐曲線(xiàn)的方程3.1 橢圓第1課時(shí)導(dǎo)學(xué)案
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)3.1 橢圓學(xué)案

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)3.1 橢圓學(xué)案
高中數(shù)學(xué)3.1 橢圓學(xué)案

高中數(shù)學(xué)3.1 橢圓學(xué)案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

3.1 橢圓

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專(zhuān)業(yè)更值得信賴(lài)
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部