人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)3.1 橢圓優(yōu)質(zhì)第2課時(shí)學(xué)案設(shè)計(jì)

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1.進(jìn)一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．
2.會(huì)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
3.能運(yùn)用直線與橢圓的位置關(guān)系解決相關(guān)的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系
難點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用
課前預(yù)習(xí) 自主梳理
要點(diǎn)一 點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系：
點(diǎn)P在橢圓上?eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1；點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部?eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)1.
要點(diǎn)二 直線與橢圓的位置關(guān)系
直線y＝kx＋m與橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系的判斷方法：聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消去y得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程．直線與橢圓的位置關(guān)系、對(duì)應(yīng)一元二次方程解的個(gè)數(shù)及Δ的取值的關(guān)系如表所示.
思考：直線與橢圓的位置關(guān)系能用中心到直線的距離來(lái)判斷嗎？為什么？
提示 不能．因?yàn)闄E圓不是圓，中心到橢圓上各點(diǎn)的距離不完全相等．
要點(diǎn)三 弦長(zhǎng)公式
1．定義：連接橢圓上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為橢圓的弦．
2．求弦長(zhǎng)的方法
(1)交點(diǎn)法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求．
(2)根與系數(shù)的關(guān)系法：
設(shè)直線方程為,橢圓方程為或,直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為,則弦長(zhǎng)公式為：
則
或
其中,或的值,可通過(guò)由直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去(或)后得到關(guān)于(或)的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系求得.
反思感悟 解決和橢圓有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題的思路(數(shù)學(xué)抽象)
(1)通過(guò)數(shù)學(xué)抽象，找出實(shí)際問(wèn)題中涉及的橢圓，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．
(2)確定橢圓的位置及要素，并利用橢圓的方程或幾何性質(zhì)求出數(shù)學(xué)問(wèn)題的解．
(3)用解得的結(jié)果說(shuō)明原來(lái)的實(shí)際問(wèn)題．
自主檢測(cè)
1.判斷正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”．
(1)若直線的斜率一定，則當(dāng)直線過(guò)橢圓的中心時(shí)，弦長(zhǎng)最大．( )
(2)已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)與點(diǎn)P(b,0)，過(guò)點(diǎn)P可作出該橢圓的一條切線．( )
(3)直線y＝k(x－a)(k≠0)與橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的位置關(guān)系是相交．( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)√
【詳解】 (1)正確．由橢圓的對(duì)稱性可知，直線過(guò)橢圓的中心時(shí)，弦長(zhǎng)最大．
(2)錯(cuò)誤．因?yàn)閍>b>0，所以點(diǎn)P(b,0)在橢圓的內(nèi)部，故過(guò)點(diǎn)P無(wú)法作橢圓的切線．
(3)正確．直線y＝k(x－a)(k≠0)過(guò)點(diǎn)(a,0)且斜率存在，所以直線y＝k(x－a)(k≠0)與橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的位置關(guān)系是相交．
2.已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上.若橢圓C的短軸長(zhǎng)為4，離心率為，則橢圓C的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用短軸長(zhǎng)為2b求得,利用離心率與a,c的關(guān)系以及的關(guān)系求得,得到方程.
【詳解】解：由題意可得，即，又， ∴，
∴橢圓C的方程為.故選：B.
3.已知橢圓：，若矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在上，則稱為矩形的外接橢圓，已知邊長(zhǎng)為4的正方形的外接橢圓的短軸長(zhǎng)為，則的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用待定系數(shù)法即可得解.
【詳解】因?yàn)闄E圓的短軸長(zhǎng)為，則，即，
所以橢圓方程為，又正方形的邊長(zhǎng)為4，
由橢圓與正方形的對(duì)稱性可知，正方形的其中一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以，解得，所以橢圓的方程為.故選：B.
4.已知F為橢圓C：=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，若|OP|=|OF|，∠POF=120°，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．-1D．-1
【答案】D
【分析】記橢圓的左焦點(diǎn)為，在中，通過(guò)余弦定理得出，，根據(jù)橢圓的定義可得，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】記橢圓的左焦點(diǎn)為，在中，可得，
在中，可得，故，故，故選：D.
5.橢圓的上?下頂點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系列出方程，轉(zhuǎn)化求解即可.
【詳解】解：橢圓的上?下頂點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為A(a，0)，右焦點(diǎn)為F(c，0)，，可得=﹣1，=1，解得e=.故選：C.
新課導(dǎo)學(xué)
學(xué)習(xí)探究
環(huán)節(jié)一 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題
例5 如圖3.1-11，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面(橢圓繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面)的一部分，過(guò)對(duì)稱軸的截口是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，片門位于另一個(gè)焦點(diǎn)上．由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)．已知，，．試建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求截口所在橢圓的方程（精確到）
環(huán)節(jié)二 觀察分析，感知概念
解：建立如圖3.1-11所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)所求橢圓方程為．
在中，
．
由橢圓的性質(zhì)知，，所以
．
．
所以，所求橢圓的方程為
．
環(huán)節(jié)三 抽象概括，形成概念
橢圓、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),為橢圓上一動(dòng)點(diǎn).
左準(zhǔn)線,右準(zhǔn)線
橢圓第二定義:
到左焦點(diǎn)的距離與它到左準(zhǔn)線的距離的比為離心率,即;
到右焦點(diǎn)的距離與它到右準(zhǔn)線的距離的比為離心率,即
焦半徑公式:.
環(huán)節(jié)四 辨析理解 深化概念
例6 動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡．
解：如圖3.1-12，設(shè)是點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是集合
．
由此得
．
將上式兩邊平方，并化簡(jiǎn)，得
即
．
所以，點(diǎn)的軌跡是長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)分別為10，6的橢圓．
環(huán)節(jié)五 概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化
問(wèn)題2：若已知橢圓和直線的方程，如何判斷是哪種情況？
【活動(dòng)預(yù)設(shè)】相切、相交、相離的本質(zhì)是什么？
【答案預(yù)設(shè)】交點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別為1，2，0
【設(shè)計(jì)意圖】將題目轉(zhuǎn)化為求交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題
【活動(dòng)預(yù)設(shè)】交點(diǎn)的本質(zhì)是什么？
【答案預(yù)設(shè)】交點(diǎn)是同時(shí)滿足兩個(gè)曲線方程的點(diǎn)
【設(shè)計(jì)意圖】將交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程組解的個(gè)數(shù)的問(wèn)題(幾何代數(shù))
例7如圖3.1-13，已知直線和橢圓，為何值時(shí)，直線與橢圓：
（1）有兩個(gè)公共點(diǎn)?（2）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)?（3）沒(méi)有公共點(diǎn)?
如何求解方程組的解和解的個(gè)數(shù)
【活動(dòng)預(yù)設(shè)】如何求方程組的解
【預(yù)設(shè)答案】將直線方程代入曲線方程
【活動(dòng)預(yù)設(shè)】代入后會(huì)變成什么方程？
【預(yù)設(shè)答案】一元二次方程
【活動(dòng)預(yù)設(shè)】如何判斷解的個(gè)數(shù)
【預(yù)設(shè)答案】看Δ＞0，＜0或者＝0
分析：直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)與方程組解的個(gè)數(shù)相對(duì)應(yīng)．所以，我們可以通過(guò)判斷上述方程組解的情況得到問(wèn)題的解答．
解：由方程組
．
消去，得
= 1 \* GB3 ①
方程 = 1 \* GB3 ①的根的判別式
．
由，得．此時(shí)方程 = 1 \* GB3 ①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，直線與橢圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．
由，得，．此時(shí)方程 = 1 \* GB3 ①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
由，得或．此時(shí)方程 = 1 \* GB3 ①?zèng)]有的實(shí)數(shù)根，直線與橢圓沒(méi)有公共點(diǎn)．
【探究】類比直線與圓的位置關(guān)系，思考直線與橢圓有幾種位置關(guān)系？怎樣判斷其位置關(guān)系？
【預(yù)設(shè)的答案】相交、相切、相離
[提示] 直線與橢圓的位置關(guān)系有相離、相交、相切三種．判斷方法是聯(lián)立直線與橢圓方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用判別式Δ判斷．
環(huán)節(jié)六 歸納總結(jié),反思提升
問(wèn)題7請(qǐng)同學(xué)們回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,并回答下列問(wèn)題：
1. 本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？
2. 在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？
1.知識(shí)總結(jié)：
2.學(xué)生反思：
（1）通過(guò)這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？


（2）在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？


1．知識(shí)清單：
(1)實(shí)際生活中的橢圓問(wèn)題．
(2)直線與橢圓的位置關(guān)系．
(3)中點(diǎn)弦的求法．
2．方法歸納：分類討論法、點(diǎn)差法．
3．常見(jiàn)誤區(qū)：忽略直線中斜率不存在的情況．
【設(shè)計(jì)意圖】
通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力。
環(huán)節(jié)七目標(biāo)檢測(cè)，作業(yè)布置
完成教材：第114頁(yè) 練習(xí) 第1，2題
第115 頁(yè) 習(xí)題3.1 第13,14題
備用練習(xí)
1.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且焦距為4，則等于（ ）
A．4B．5C．7D．8
【答案】D
【分析】將橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，進(jìn)而根據(jù)焦距求出m的值.
【詳解】將橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為
，
顯然，即，
，解得.
故選：D
2.設(shè)分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，離心率為，M是橢圓上一點(diǎn)且與x軸垂直，則直線的斜率為( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)離心率求出，代入點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，求出，由斜率公式求出答案.
【詳解】因?yàn)殡x心率為，可得，即，
因?yàn)椋?，?br>因?yàn)榕cx軸垂直，故點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為c，
將代入橢圓方程，，即，
故，
則，直線的斜率為.
故選：C.
3.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為C上的一點(diǎn)，且，，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由橢圓定義利用余弦定理得出的等式，變形后可求得離心率．
【詳解】由題意，，，
在中，由余弦定理得
，
所以．
故選：B．
4.已知點(diǎn)P(x,y)(x≠0，y≠0)是橢圓+=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若M是∠F1PF2的平分線上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)P重合)，且=0，則||的取值范圍為（ ）
A．[0，3)B．(0，2)
C．[2，3)D．[0，4]
【答案】B
【分析】延長(zhǎng)PF2，F(xiàn)1M，交于點(diǎn)N，易知△PF1N為等腰三角形，利用橢圓的定義及中位線性質(zhì)可得||=|||-|||，再結(jié)合題設(shè)及橢圓的有界性，討論P(yáng)的位置確定||的取值范圍.
【詳解】如圖，延長(zhǎng)PF2，F(xiàn)1M，交于點(diǎn)N，則△PF1N為等腰三角形，M為F1N的中點(diǎn)，
∴||=||=|||-|||=|||-|||.
由圖知：當(dāng)P在短軸端點(diǎn)時(shí)，||取得最小值，此時(shí)||=0；當(dāng)P在長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，||取得最大值，此時(shí)||=2，而P不能在坐標(biāo)軸上，故取不到端點(diǎn)值，
∴||的取值范圍為(0，2).
故選：B
5.（多選題）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)（P不在x軸上），則（ ）
A．橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上B．△的周長(zhǎng)為
C．的取值范圍為D．橢圓的離心率為
【答案】ABD
【分析】由橢圓方程確定橢圓參數(shù)值，A根據(jù)參數(shù)a、b的大小關(guān)系判斷；B由△的周長(zhǎng)為判斷；C根據(jù)橢圓的有界性判斷；D直接求離心率判斷.
【詳解】A：由橢圓方程知：，故橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，正確；
B：由，且△的周長(zhǎng)為，正確；
C：由P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)且不在x軸上，則，錯(cuò)誤；
D：橢圓的離心率為，正確.
故選：ABD
直線與橢圓
解的個(gè)數(shù)
Δ的取值
兩個(gè)不同的公共點(diǎn)
兩解
Δ＞0
一個(gè)公共點(diǎn)
一解
Δ＝0
沒(méi)有公共點(diǎn)
無(wú)解
Δ＜0