2.5.2　圓與圓的位置關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.理解圓與圓的位置關(guān)系的種類.2.掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系的代數(shù)判斷方法與幾何判斷方法，能夠利用上述方法判斷兩圓的位置關(guān)系.3.體會(huì)根據(jù)圓的對(duì)稱性靈活處理問題的方法和它的優(yōu)越性.1、直觀想象2、數(shù)學(xué)運(yùn)算3、邏輯推理【自主學(xué)習(xí)】一．圓與圓的位置關(guān)系 圓與圓的位置關(guān)系分類公切線條數(shù)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩圓相交/  兩圓相切外切  內(nèi)切 兩圓相離外離  內(nèi)含 二．圓與圓位置關(guān)系的判定1.幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1，r2的關(guān)系     2.代數(shù)法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷．一元二次方程思考：將兩個(gè)相交的非同心圓的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1,2)相減，可得一直線方程，這條直線方程具有什么樣的特殊性呢？  【小試牛刀】思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若直線與圓有公共點(diǎn)，則直線與圓相交．(　　)(2)若兩圓沒有公共點(diǎn)，則兩圓一定外離．(　　)(3)從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程.(　 　)(4)若兩圓有公共點(diǎn)，則|r1－r2|≤d≤r1＋r2.(　 　)【經(jīng)典例題】題型一  兩圓的位置關(guān)系點(diǎn)撥：判斷兩圓的位置關(guān)系的兩種方法1.幾何法：將兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之差的絕對(duì)值，半徑之和進(jìn)行比較，進(jìn)而判斷出兩圓的位置關(guān)系，這是在解析幾何中主要使用的方法.2.代數(shù)法：將兩圓的方程組成方程組，通過解方程組，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)進(jìn)而判斷兩圓位置關(guān)系.例1 已知圓C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圓C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．試求a為何值時(shí)，兩圓C1，C2的位置關(guān)系為：(1)相切；(2)相交；(3)外離；(4)內(nèi)含．    【跟蹤訓(xùn)練】1 已知圓C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圓C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，則這兩個(gè)圓的公切線的條數(shù)為(　　)A.1或3       B.4        C.0       D.2題型二　兩圓的公共弦問題點(diǎn)撥：1.求兩圓公共弦長(zhǎng)的方法一是聯(lián)立兩圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再用距離公式求解；二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程，再利用半徑長(zhǎng)、弦心距和弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形求解．2.過兩圓的交點(diǎn)的圓的方程已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則過兩圓交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．例2　已知兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)判斷兩圓的位置關(guān)系；(2)求公共弦所在的直線方程；(3)求公共弦的長(zhǎng)度.      【跟蹤訓(xùn)練】2 圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直線被圓C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦長(zhǎng)為________. 題型三 兩圓相切點(diǎn)撥：處理兩圓相切問題的兩個(gè)步驟1.定性，即必須準(zhǔn)確把握是內(nèi)切還是外切，若只是告訴相切，則必須分兩圓內(nèi)切還是外切兩種情況討論．2.轉(zhuǎn)化思想，即將兩圓相切的問題轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對(duì)值(內(nèi)切時(shí))或兩圓半徑之和(外切時(shí))．例3 半徑為6的圓與x軸相切，且與圓x2＋(y－3)2＝1內(nèi)切，則此圓的方程是(　　)A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36【跟蹤訓(xùn)練】3 已知以C(4，－3)為圓心的圓與圓O：x2＋y2＝1相切，求圓C的方程． 【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.(多選)直線l與圓C有公共點(diǎn)，則直線l與圓C的位置關(guān)系可能是（    ）A．相交 B．相切C．相離 D．不能確定2.已知兩圓x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是(　　)A.相離  B.相交  C.外切  D.內(nèi)切3．已知圓C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圓C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，則兩圓的公切線條數(shù)是________．4.若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦長(zhǎng)為2，則a＝________.5.已知點(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在圓C：(x－3)2＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)，則|PQ|的最小值為________．6.已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圓C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，當(dāng)m為何值時(shí)，分別滿足下列情況：(1)圓C1與圓C2外切；(2)圓C1與圓C2內(nèi)含.　              【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】一．2 3 1 4 0     2 1 0二．d＞r1＋r2   d＝r1＋r2     |r1－r2|＜d＜r1＋r2   d＝|r1－r2|  0＜d＜|r1－r2| 思考：兩圓相減得一直線方程，它經(jīng)過兩圓的公共點(diǎn)．經(jīng)過相交兩圓的公共交點(diǎn)的直線是兩圓的公共弦所在的直線．【小試牛刀】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√【經(jīng)典例題】例1 解：圓C1，C2的方程，經(jīng)配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圓心C1(a,1)，C2(2a,1)，半徑r1＝4，r2＝1.∴|C1C2|＝＝a.(1)當(dāng)|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5時(shí)，兩圓外切；當(dāng)|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3時(shí)，兩圓內(nèi)切．(2)當(dāng)3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5時(shí)，兩圓相交．(3)當(dāng)|C1C2|＞5，即a＞5時(shí)，兩圓外離．(4)當(dāng)|C1C2|＜3，即a＜3時(shí)，兩圓內(nèi)含.【跟蹤訓(xùn)練】1　D 解析：對(duì)兩個(gè)圓的方程配方得圓C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝1及圓C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝，則圓心距d＝|C1C2|＝＝，1－<<1＋，故兩個(gè)圓相交，則這兩個(gè)圓的公切線有2條.例2 解：(1)將兩圓方程配方化為標(biāo)準(zhǔn)方程，則C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，∴圓C1的圓心坐標(biāo)為(1，－5)，半徑為r1＝5，圓C2的圓心坐標(biāo)為(－1，－1)，半徑為r2＝.∴|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，|r1－r2|＝|5－|，∴|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴兩圓相交.(2)將兩圓方程相減，得公共弦所在的直線方程為x－2y＋4＝0.(3)方法一由(2)知圓C1的圓心(1，－5)到直線x－2y＋4＝0的距離為d＝＝3，∴公共弦長(zhǎng)為l＝2＝2＝2.方法二　設(shè)兩圓相交于點(diǎn)A，B，則A，B兩點(diǎn)滿足方程組解得或∴|AB|＝＝2.即公共弦長(zhǎng)為2.【跟蹤訓(xùn)練】2　 解析：由題意將兩圓的方程相減，可得圓C1和圓C2公共弦所在的直線l的方程為x＋y－1＝0.又圓C3的圓心坐標(biāo)為(1,1)，其到直線l的距離為d＝＝，設(shè)圓C3的半徑為r，由條件知，r2－d2＝－＝，所以弦長(zhǎng)為2×＝.例3 D 解析: 由題意可設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－6)2＝36，由題意，得＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.【跟蹤訓(xùn)練】3 解：設(shè)圓C的半徑為r，圓心距為d＝＝5，當(dāng)圓C與圓O外切時(shí)，r＋1＝5，r＝4，當(dāng)圓C與圓O內(nèi)切時(shí)，r－1＝5，r＝6，∴圓的方程為(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.AB 解析：根據(jù)直線與圓位置關(guān)系的確定，有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)相切，有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)相交．相離時(shí)無公共點(diǎn)．故選：AB．2.C 3.3　解析：C1(1,2)，r1＝2；C2(－2，－2)，r2＝3，|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，因此兩圓外切．所以公切線有3條．4.1 解析: 將兩圓的方程相減，得相交弦所在的直線方程為y＝，圓心(0,0)到直線的距離為d＝＝＝1，所以a＝1。5. 1 解析：O(0,0)，C(3,0)，兩圓半徑均為1，∵|OC|＝＝3，∴|PQ|的最小值為3－1－1＝1.6.解: 易得圓C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圓C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.(1)如果圓C1與圓C2外切，則＝3＋2，所以m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5.（2）如果圓C1與圓C2內(nèi)含，則<3－2，所以m2＋3m＋2<0，解得－2<m<－1.
  

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

2.5 直線與圓、圓與圓的位置

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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