2.5.1　直線與圓的位置關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.掌握直線與圓的三種位置關(guān)系：相交、相切、相離．(重點(diǎn))2.會(huì)用代數(shù)法和幾何法來判斷直線與圓的三種位置關(guān)系．(難點(diǎn))3.會(huì)用直線與圓的位置關(guān)系解決一些實(shí)際問題．(難點(diǎn))1、直觀想象2、數(shù)學(xué)運(yùn)算3、邏輯推理【自主學(xué)習(xí)】一．直線與圓的三種位置關(guān)系位置關(guān)系交點(diǎn)個(gè)數(shù)相交有    公共點(diǎn)相切只有    公共點(diǎn)相離    公共點(diǎn)二．直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)   判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d＝   代數(shù)法：由消元得到一元二次方程的判別式Δ   【小試牛刀】思辨解析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若直線與圓有公共點(diǎn)，則直線與圓相交.(　 　)(2)如果直線與圓組成的方程組有解，則直線和圓相交或相切.(　 　)(3)若圓心到直線的距離大于半徑，則直線與圓的方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程無解.(　 　)(4)過不在圓內(nèi)的一點(diǎn)一定能做兩條切線.(　 　)【經(jīng)典例題】題型一  直線與圓的位置關(guān)系點(diǎn)撥：直線與圓位置關(guān)系判斷的三種方法(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷．(2)代數(shù)法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)來判斷．(3)直線系法：若直線恒過定點(diǎn)，可通過判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷，但有一定的局限性，必須是過定點(diǎn)的直線系．例1  已知直線方程mx－y－m－1＝0，圓的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.當(dāng)m為何值時(shí)，圓與直線：(1)有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)沒有公共點(diǎn)．     【跟蹤訓(xùn)練】1 已知直線l：x－2y＋5＝0與圓C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，判斷直線l與圓C的位置關(guān)系.   題型二  圓的切線方程點(diǎn)撥：1.求過圓上一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程：先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，再由垂直關(guān)系得切線的斜率為－，由點(diǎn)斜式可得切線方程．如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y0或x＝x0.2.求圓外一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程：①幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)．由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，也就得切線方程．②代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程聯(lián)立，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切線方程．提醒：切線的斜率不存在的情況，不要漏解．例2 （1）求過圓x2＋y2－2x－4y＝0上一點(diǎn)P(3,3)的切線方程。（2）求過點(diǎn)P(2,3)且與圓(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直線的方程。（3）    【跟蹤訓(xùn)練】2 (1)已知直線l：ax＋by－3＝0與圓M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于點(diǎn)P(－1,2)，則直線l的方程為________．(2)由直線y＝x＋1上任一點(diǎn)向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則該切線長的最小值為(　　)A.1      B.2       C.       D.3題型三  直線與圓相交點(diǎn)撥：求直線與圓相交時(shí)的弦長有三種方法①    交點(diǎn)法：將直線方程與圓的方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式 |AB|＝求解.②弦長公式：如圖所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝＝|x1－x2|＝ |y1－y2|(直線l的斜率k存在且不為0).③幾何法：如圖，直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為|AB|，則有2＋d2＝r2，即|AB|＝2.通常采用幾何法較為簡便.例3 (1)求直線l：3x＋y－6＝0被圓C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦長|AB|.(2)過點(diǎn)(－4,0)作直線l與圓x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B兩點(diǎn)，如果|AB|＝8，求直線l的方程．   【跟蹤訓(xùn)練】3 圓心為C(2，－1)，截直線y＝x－1的弦長為2的圓的方程為______________.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是(　　)A.相切   B.相交但直線不過圓心C.直線過圓心   D.相離2.直線m：x＋y－1＝0被圓M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長為(　　)A．4　　　　B．2　　　　C．　　　　D．3.(多選)已知直線和圓，則（    ）A.直線l恒過定點(diǎn)B.存在k使得直線l與直線垂直C.直線l與圓O相交D.若，直線l被圓O截得的弦長為44.已知直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，則直線l與圓C的位置關(guān)系為________．5.若點(diǎn)P(1,2)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓上，則該圓在點(diǎn)P處的切線方程為________．6.已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,0)，B(1，－)，且圓心C在直線y＝x上．(1)求圓C的方程；(2)過點(diǎn)的直線l截圓所得弦長為2，求直線l的方程．
【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】兩個(gè) 一個(gè) 沒有   兩個(gè) 一個(gè)  零個(gè)  d＜r  d＝r  d＞r  Δ＞0 Δ＝0  Δ＜0【小試牛刀】×    √    √    ×【經(jīng)典例題】例1 解：法一：將直線mx－y－m－1＝0代入圓的方程化簡整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，(1)當(dāng)Δ>0時(shí)，即m>0或m<－時(shí)，直線與圓相交，即直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)當(dāng)Δ＝0時(shí)，即m＝0或m＝－時(shí)，直線與圓相切，即直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)當(dāng)Δ<0時(shí)，即－<m<0時(shí)，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點(diǎn)．法二：已知圓的方程可化為(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圓心為C(2,1)，半徑r＝2.圓心C(2,1)到直線mx－y－m－1＝0的距離d＝＝.(1)當(dāng)d<2時(shí)，即m>0或m<－時(shí)，直線與圓相交，即直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)當(dāng)d＝2時(shí)，即m＝0或m＝－時(shí)，直線與圓相切，即直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)當(dāng)d>2時(shí)，即－<m<0時(shí)，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點(diǎn)．【跟蹤訓(xùn)練】1 解：方法一　(代數(shù)法)由方程組消去y后整理，得5x2－50x＋61＝0.∵Δ＝(－50)2－4×5×61＝1 280>0，∴該方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解，即直線l與圓C相交.方法二　(幾何法)圓心(7,1)到直線l的距離為d＝＝2.∵d<r＝6，∴直線l與圓C相交.例2 （1）解析　x2＋y2－2x－4y＝0的圓心為C(1,2)， kPC＝，∴切線的斜率k＝－2，∴切線方程為：y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.（2）解析　P(2,3)在圓(x－1)2＋(y－2)2＝1外，∴過點(diǎn)P(2,3)與圓(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直線有兩條.當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為y－3＝k(x－2)即kx－y＋3－2k＝0，∴＝1，∴k＝0，∴切線方程為y＝3，當(dāng)斜率不存在時(shí)，切線方程為x＝2.∴切線方程為y＝3或x＝2.【跟蹤訓(xùn)練】2 (1)x＋2y－3＝0解析：根據(jù)題意，圓M：x2＋y2＋4x－1＝0，即(x＋2)2＋y2＝5，其圓心M(－2,0)，直線l：ax＋by－3＝0與圓M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于點(diǎn)P(－1,2)，則P在直線l上且MP與直線l垂直．kMP＝＝2，則有－＝－，則有b＝2a，又由P在直線l上，則有－a＋2b－3＝0，可解得a＝1，b＝2，則直線l的方程為x＋2y－3＝0.（2）  C 解析：圓心C(3,0)到y＝x＋1的距離d＝＝2. 所以切線的最小值為l＝＝.例3 解：(1)聯(lián)立直線l與圓C的方程，得解得所以交點(diǎn)為A(1,3)，B(2,0)．故直線l：3x＋y－6＝0被圓C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦長|AB|＝＝.(2)將圓的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由圓的性質(zhì)可得，圓心到直線l的距離d＝＝3.①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，x＝－4滿足題意；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.由點(diǎn)到直線的距離公式，得3＝，解得k＝－，所以直線l的方程為5x＋12y＋20＝0.綜上所述，直線l的方程為x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.【跟蹤訓(xùn)練】3 (x－2)2＋(y＋1)2＝4 解析：設(shè)圓的半徑為r，由條件，得圓心到直線y＝x－1的距離為d＝＝.又直線y＝x－1被圓截得的弦長為2，即半弦長為，∴r2＝2＋2＝4，得r＝2，∴所求圓的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝4.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1. B 解析：∵圓心(0,0)到直線y＝x＋1的距離d＝＝<1，∴直線與圓x2＋y2＝1相交，又(0,0)不在y＝x＋1上，∴直線不過圓心.2.B 解析：∵x2＋y2－2x－4y＝0，∴(x－1)2＋(y－2)2＝5，∴圓M的圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑為，又點(diǎn)(1,2)到直線x＋y－1＝0的距離d＝＝，直線m被圓M截得的弦長等于2＝2.故選B.3.BC 解析：對(duì)于A、C，由，得，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€恒過定點(diǎn)，而，即在圓內(nèi)，所以直線l與圓O相交，故C正確；對(duì)于B，直線的斜率為，則當(dāng)時(shí)，滿足直線與直線垂直，故B正確；對(duì)于D，時(shí)，直線，圓心到直線的距離為，所以直線l被圓O截得的弦長為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.4.相交 解析：由直線方程得(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，令得故直線l過定點(diǎn)A(3,1)．由|AC|＝＝＜5得A點(diǎn)在圓內(nèi)，因此直線l與圓C相交．5. x＋2y－5＝0 解析：由題意，得kOP＝＝2，則該圓在點(diǎn)P處的切線的斜率為－，所以所求切線方程為y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.6.解：(1)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，AB的斜率為.可得AB垂直平分線方程為2x＋6y＝0，與x―y＝0的交點(diǎn)為(0,0)，圓心坐標(biāo)(0,0)，半徑為2，所以圓C的方程為x2＋y2＝4.(2)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為k，又直線l過，∴直線l的方程為y－＝k(x－1)，即y＝kx＋－k，則圓心(0,0)到直線的距離d＝，又圓的半徑r＝2，截得的弦長為2，則有＋()2＝4，解得：k＝－，則直線l的方程為y＝－x＋.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝1，滿足題意．∴直線l的方程為x＝1或y＝－x＋.
  

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

2.5 直線與圓、圓與圓的位置

版本： 人教A版 (2019)

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