?第三章　圓錐曲線的方程
3.1　橢　圓
3.1.1　橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)科素養(yǎng)
1.理解橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(重點(diǎn))
2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(重點(diǎn))
3.理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問題．(難點(diǎn))
1.直觀想象
2.數(shù)學(xué)運(yùn)算
3.數(shù)學(xué)抽象
【自主學(xué)習(xí)】
一．橢圓的定義
1.定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于 (大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．
2.焦點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2．
3.焦距：兩焦點(diǎn)間的距離|F1F2|．
4.幾何表示：|MF1|＋|MF2|＝ (常數(shù))且2a |F1F2|．
思考1:橢圓定義中將“大于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”的常數(shù)，其他條件不變，點(diǎn)的軌跡是什么？

思考2：橢圓定義中將“大于|F1F2|”改為“小于|F1F2|”的常數(shù)，其他條件不變，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？

二．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

焦點(diǎn)在x軸上
焦點(diǎn)在y軸上
標(biāo)準(zhǔn)方程



圖　形


焦點(diǎn)坐標(biāo)


a，b，c的關(guān)系

思考3：能否根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判定焦點(diǎn)位置？

【小試牛刀】
1.思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡為橢圓．( )
(2)已知F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓．(　 　)
(3)已知橢圓的焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，P是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為圓．( )
(4)方程＋＝1 (a＞0，b＞0)表示的曲線是橢圓．( )
2.設(shè)P是橢圓＋＝1上的點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則|PF1|＋|PF2|等于(　　)
A．4　　　　　　B．5 C．8 D．10
【經(jīng)典例題】
題型一　求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
點(diǎn)撥：用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟
1.定位置：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)是在x軸上，還是在y軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能．
2.設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
3.找關(guān)系：根據(jù)已知條件建立關(guān)于a，b，c(或m，n)的方程組．
例1 求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，并且橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)的距離的和等于10；
(2)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，－2)，(0,2)，經(jīng)過點(diǎn)(4,3)；
(3)求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn)(2，－)和的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．




【跟蹤訓(xùn)練】1求與橢圓＋＝1有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(3，)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．


題型二　已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求參數(shù)
點(diǎn)撥：根據(jù)橢圓方程求參數(shù)的取值范圍
1.給出方程＋＝1，其表示橢圓的條件是其表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的條件是m＞n＞0，其表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的條件是n＞m＞0．
2.若給出橢圓方程Ax2＋By2＝C，則應(yīng)首先將該方程轉(zhuǎn)化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式＋＝1，再研究其焦點(diǎn)的位置等情況．
例2 若方程＋＝1表示橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　 　)
A．(－9,25) B．(－9,8)∪(8,25) C．(8,25) D．(8，＋∞)
【跟蹤訓(xùn)練】2 若方程－＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．


題型三　求橢圓軌跡方程
方法1:直接法
直接法是求軌跡方程的最基本的方法，根據(jù)所滿足的幾何條件，將幾何條件{M|p(M)}直接翻譯成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后進(jìn)行等價(jià)變換，化簡(jiǎn)為f(x，y)＝0；
例3-1 點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(0，1)，(0，－1)，直線AM，BM相交于點(diǎn)M.且直線AM的斜率與直線BM的斜率的乘積是－，求點(diǎn)M的軌跡方程．







方法2：定義法
用定義法求橢圓方程的思路是：先觀察、分析已知條件，看所求動(dòng)點(diǎn)軌跡是否符合橢圓的定義．若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可。
例3-2 如圖所示，已知?jiǎng)訄AP過定點(diǎn)A(－3，0)，并且在定圓B：(x－3)2＋y2＝64的內(nèi)部與其內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程．




方法3：代入法(相關(guān)點(diǎn)法)
若所求軌跡上的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)與另一個(gè)已知曲線C：F(x，y)＝0上的動(dòng)點(diǎn)Q(x1，y1)存在著某種聯(lián)系，可以把點(diǎn)Q的坐標(biāo)用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出來，然后代入已知曲線C的方程 F(x，y)＝0，化簡(jiǎn)即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做代入法(又稱相關(guān)點(diǎn)法)．
例3-3已知P是橢圓＋＝1上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求線段OP中點(diǎn)Q的軌跡方程．


題型四 橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題
點(diǎn)撥：焦點(diǎn)三角形的常用公式
1.焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)L＝2a＋2c．
2.焦點(diǎn)三角形的面積S△F1MF2＝|MF1||MF2|sin θ,可把|PF1|·|PF2|看作一個(gè)整體，運(yùn)用余弦定理|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cos θ＝(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1|·|MF2|－2|MF1||MF2|cos θ求出|MF1|·|MF2|．
3.此外，焦點(diǎn)三角形的面積S△F1MF2＝b2tan ．(選擇題、填空題可直接應(yīng)用此公式求解)
例4 如圖所示，P是橢圓＋＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面積．




【跟蹤訓(xùn)練】3 已知F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．若|F2A|＋|F2B|＝12，則|AB|＝________.
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.橢圓＋y2＝1上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為(　　)
A．5　　　 　B．6　　　　C．7　　　　 D．8
2.已知橢圓4x2＋ky2＝4的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，1)，則實(shí)數(shù)k的值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3.(多選)若方程x2＋ky2＝2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值可以是(　　)
A.2 B．1 C．0.5 D．0.3
4.若方程＋＝1表示橢圓，則實(shí)數(shù)m滿足的條件是________．
5.設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，求△F1PF2的面積．



6.一個(gè)動(dòng)圓與圓Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，與圓Q2：(x－3)2＋y2＝81內(nèi)切，試求這個(gè)動(dòng)圓圓心的軌跡方程．










【參考答案】
【自主學(xué)習(xí)】
一．常數(shù) 2a ＞
二．＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) c2＝a2－b2
思考1：點(diǎn)的軌跡是線段F1F2.
思考2：當(dāng)距離之和小于|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在．
思考3：能．橢圓的焦點(diǎn)在x軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中含x2項(xiàng)的分母較大；橢圓的焦點(diǎn)在y軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中含y2項(xiàng)的分母較大．
【小試牛刀】
1.(1)× (2)× (3)√ (4)×
2.D
【經(jīng)典例題】
例1 解：(1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5，b＝＝＝3，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)．
因?yàn)樗髾E圓過點(diǎn)(4,3)，所以＋＝1.又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32.
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(3)設(shè)橢圓的一般方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
分別將兩點(diǎn)的坐標(biāo)(2，－)，代入橢圓的一般方程，
得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
【跟蹤訓(xùn)練】1 解：因?yàn)樗髾E圓與橢圓＋＝1的焦點(diǎn)相同，所以其焦點(diǎn)在x軸上，且c2＝25－9＝16.
設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)．
因?yàn)閏2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16　 ①.
又點(diǎn)(3，)在所求橢圓上，所以＋＝1，即＋＝1　 ②.
由①②得a2＝36，b2＝20，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
例2 解：設(shè)動(dòng)圓P和定圓B內(nèi)切于點(diǎn)M，動(dòng)圓圓心P到兩定點(diǎn)A(－3,0)和B(3,0)的距離之和恰好等于定圓半徑，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，
所以動(dòng)圓圓心P的軌跡是以A，B為左、右焦點(diǎn)的橢圓，
其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，其軌跡方程為＋＝1.
【跟蹤訓(xùn)練】2 解：設(shè)中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0，y0)．
利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得∴
∵Q(x0，y0)在橢圓＋y2＝1上，∴＋y＝1.
將x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，得＋(2y)2＝1.
故所求AQ的中點(diǎn)M的軌跡方程是＋4y2＝1.
例2 B 解析：依題意有解得－9＜m＜8或8＜m＜25，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－9,8)∪(8,25)．
【跟蹤訓(xùn)練】2 －4＜a＜0或0＜a＜3 解析：方程化為＋＝1，
依題意應(yīng)有12－a＞a2＞0，解得－4＜a＜0或0＜a＜3．
例3-1 解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是(0，1)，所以直線AM的斜率kAM＝(x≠0)，同理，直線BM的斜率kBM＝(x≠0)．
由已知有·＝－，化簡(jiǎn)，得點(diǎn)M的軌跡方程為＋y2＝1(x≠0)．
例3-2 解：設(shè)動(dòng)圓P和定圓B內(nèi)切于點(diǎn)M，動(dòng)圓圓心P到兩定點(diǎn)A(－3,0)和B(3,0)的距離之和恰好等于定圓半徑，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，
所以動(dòng)圓圓心P的軌跡是以A，B為左、右焦點(diǎn)的橢圓，
其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，其軌跡方程為＋＝1.
例3-3 解：設(shè)P(xP，yP)，Q(x，y)，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得所以
又點(diǎn)P在橢圓＋＝1上，所以＋＝1，
即x2＋＝1.
例4 解：由已知a＝2，b＝，得c＝＝＝1.
∴|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos 60°.
∴4＝16－3|PF1|·|PF2|.
∴|PF1|·|PF2|＝4.
∴S＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝×4×＝.
【跟蹤訓(xùn)練】3 8 解析：由直線AB過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1，知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，
所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8.
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.D 解析：根據(jù)橢圓的定義知，P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2a－2＝2×5－2＝8.
2. B 解析：橢圓方程可化為x2＋＝1，由題意知解得k＝2.
3.CD解析：∵方程x2＋ky2＝2，即＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
∴>2，故0

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