3．1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解并掌握橢圓的定義.2.掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).3.會求簡單的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
導(dǎo)語
橢圓是圓錐曲線的一種，具有豐富的幾何性質(zhì)，在科研、生產(chǎn)和人類生活中具有廣泛的應(yīng)用，那么，橢圓到底有怎樣的幾何特征？我們該如何利用這些特征建立橢圓的方程，從而為研究橢圓的幾何性質(zhì)奠定基礎(chǔ)？
一、橢圓的定義
問題1 取一條定長的細線，把它的兩端都固定在圖板的同一點，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖(動點)畫出的軌跡是一個圓．如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板中的兩點F1，F(xiàn)2，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？ 在這一過程中，移動的筆尖(動點)滿足的幾何條件是什么？
提示 橢圓，筆尖到兩個定點的距離的和等于常數(shù)．
知識梳理
把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距．
注意點：
(1)橢圓上的點到兩焦點距離之和為定值．
(2)定值必須大于兩定點的距離．
(3)當(dāng)距離的和等于|F1F2|時，點的軌跡是線段．
(4)當(dāng)距離的和小于|F1F2|時，點的軌跡不存在．
二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
問題2 觀察橢圓的形狀，你認(rèn)為怎樣建立坐標(biāo)系可能使所得的橢圓方程形式簡單？
提示 觀察可以發(fā)現(xiàn)橢圓具有對稱性，而且過兩焦點的直線是它的對稱軸，所以我們以經(jīng)過橢圓兩焦點F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy，如圖所示，此時，橢圓的焦點分別為F1(－c,0)和F2(c,0)．
根據(jù)橢圓的定義，設(shè)M與焦點F1，F(xiàn)2的距離的和等于2a.由橢圓的定義可知，橢圓可看作點集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}．因為|MF1|＝eq \r(?x＋c?2＋y2)，|MF2|＝eq \r(?x－c?2＋y2)，
所以eq \r(?x＋c?2＋y2)＋eq \r(?x－c?2＋y2)＝2a.①
為了化簡方程①，我們將其左邊一個根式移到右邊，得eq \r(?x＋c?2＋y2)＝2a－eq \r(?x－c?2＋y2).②
對方程②兩邊平方，得
(x＋c)2＋y2＝4a2 －4aeq \r(?x－c?2＋y2)＋(x－c)2＋y2，
整理，得a2－cx＝aeq \r(?x－c?2＋y2)，③
對方程③兩邊平方，得
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④
將方程④兩邊同除以a2(a2－c2)，
得eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－c2)＝1，⑤
由橢圓的定義可知2a>2c>0 ，即a>c>0，
所以a2－c2>0.
令b＝eq \r(a2－c2)，那么方程⑤就是eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．⑥
我們將方程⑥稱為焦點在x軸上的橢圓方程．
問題3 如圖，如果焦點F1，F(xiàn)2在y軸上，且F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別是(0，－c)，(0，c)，a，b的意義同上，那么橢圓的方程是什么？
提示 eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
知識梳理
注意點：
(1)橢圓上的點到兩焦點的距離的和為2a.
(2)x2項和y2項誰的分母大，焦點就在誰的軸上．
例1 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)焦點在y軸上，且經(jīng)過兩個點(0,2)和(1,0)；
(2)兩個焦點的坐標(biāo)分別是(0，－2)，(0,2)，并且橢圓經(jīng)過點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(5,2)))；
(3)經(jīng)過點Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2))).
解 (1)因為橢圓的焦點在y軸上，
所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
又橢圓經(jīng)過點(0,2)和(1,0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝1.))
所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,4)＋x2＝1.
(2)因為橢圓的焦點在y軸上，
所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，
由橢圓的定義知，
2a＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋2))2)＋eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－2))2)
＝2eq \r(10)，
即a＝eq \r(10)，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,10)＋eq \f(x2,6)＝1.
(3)方法一 ①當(dāng)橢圓焦點在x軸上時，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
依題意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,b2)＝1，,0＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝\f(1,5)，,b2＝\f(1,4).))
由a>b>0，知不符合題意，故舍去；
②當(dāng)橢圓焦點在y軸上時，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
依題意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2,a2)＋0＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝\f(1,4)，,b2＝\f(1,5).))
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,\f(1,4))＋eq \f(x2,\f(1,5))＝1.
方法二 設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,9)m＋\f(1,9)n＝1，,\f(1,4)n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝5，,n＝4.))
所以所求橢圓的方程為5x2＋4y2＝1，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,\f(1,4))＋eq \f(x2,\f(1,5))＝1.
反思感悟 確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法
(1)“定位”是指確定與坐標(biāo)系的相對位置，在中心為原點的前提下，確定焦點位于哪條坐標(biāo)軸上，以判斷方程的形式．
(2)“定量”是指確定a2，b2的具體數(shù)值，常根據(jù)條件列方程(組)求解．
跟蹤訓(xùn)練1 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)經(jīng)過兩點(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(14),2)))；
(2)過點(eq \r(3)，－eq \r(5))，且與橢圓eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同的焦點．
解 (1)方法一 (分類討論法)若焦點在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
由已知條件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝8，,b2＝4.))
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
若焦點在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
由已知條件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,b2)＋\f(2,a2)＝1，,\f(1,b2)＋\f(14,4a2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b2＝8，,a2＝4.))
則a2b>0矛盾，舍去．
綜上，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
方法二 (待定系數(shù)法)設(shè)橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
將兩點(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(14),2)))代入，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)因為所求橢圓與橢圓eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦點相同，所以其焦點在y軸上，且c2＝25－9＝16.設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
因為c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又點(eq \r(3)，－eq \r(5))在橢圓上，所以eq \f(?－\r(5)?2,a2)＋eq \f(?\r(3)?2,b2)＝1，
即eq \f(5,a2)＋eq \f(3,b2)＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
三、橢圓的定義及其應(yīng)用
例2 已知P為橢圓eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積．
解 由已知得a＝2eq \r(3)，b＝eq \r(3)，
所以c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(12－3)＝3，
從而|F1F2|＝2c＝6，
在△F1PF2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs 60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①
由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝4eq \r(3)，
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4.
所以＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin 60°＝eq \r(3).
延伸探究 若將本例中“∠F1PF2＝60°”變?yōu)椤啊螾F1F2＝90°”，求△F1PF2的面積．
解 由已知得a＝2eq \r(3)，b＝eq \r(3)，
所以c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(12－3)＝3.
從而|F1F2|＝2c＝6.
在△F1PF2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
又由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝2×2eq \r(3)＝4eq \r(3)，
所以|PF2|＝4eq \r(3)－|PF1|.
從而有(4eq \r(3)－|PF1|)2＝|PF1|2＋36，
解得|PF1|＝eq \f(\r(3),2).
所以△F1PF2的面積S＝eq \f(1,2)·|PF1|·|F1F2|＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)×6＝eq \f(3\r(3),2)，
即△F1PF2的面積是eq \f(3\r(3),2).
反思感悟 橢圓定義的應(yīng)用技巧
(1)橢圓的定義能夠?qū)E圓上的點到焦點的距離進行轉(zhuǎn)化．
(2)橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成的△PF1F2稱為焦點三角形，可以利用橢圓的定義，結(jié)合正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識求解．
跟蹤訓(xùn)練2 設(shè)P為橢圓C：eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點，且△PF1F2的重心為點G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面積為( )
A．24 B．12 C．8 D．6
答案 C
解析 ∵P為橢圓C：eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1上一點，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝8.
又|F1F2|＝2c＝2eq \r(49－24)＝10，
∴易知△PF1F2是直角三角形，＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝24.
∵△PF1F2的重心為點G，
∴
∴△GPF1的面積為8.
1．知識清單：
(1)橢圓的定義及其應(yīng)用．
(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
2．方法歸納：待定系數(shù)法．
3．常見誤區(qū)：
(1)忽視橢圓定義中a，b，c的關(guān)系．
(2)混淆不同坐標(biāo)系下橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程．
1．設(shè)F1，F(xiàn)2為定點，|F1F2|＝6，動點M滿足|MF1|＋|MF2|＝6，則動點M的軌跡是( )
A．橢圓 B．直線 C．圓 D．線段
答案 D
解析 ∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，
∴動點M的軌跡是線段．
2．已知橢圓的焦點為(－1,0)和(1,0)，點P(2,0)在橢圓上，則橢圓的方程為( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,4)＋y2＝1
C.eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1 D.eq \f(y2,4)＋x2＝1
答案 A
解析 c＝1，由點P(2,0)在橢圓上，可得a＝2，b2＝3，
∴橢圓的方程為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
3．若方程x2＋ky2＝2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是( )
A．(0，＋∞) B．(0,2)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
答案 D
解析 ∵方程x2＋ky2＝2，即eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,\f(2,k))＝1表示焦點在y軸上的橢圓，
∴eq \f(2,k)>2，故00，A≠B)，
由題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9,25)A＋16B＝1，,\f(16,25)A＋9B＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝1，,B＝\f(1,25).))
所以此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,25)＋x2＝1.
3．已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的兩焦點，過點F2的直線交橢圓于A，B兩點，若|AB|＝5，則|AF1|＋|BF1|等于( )
A．9 B．10 C．11 D．12
答案 C
解析 根據(jù)橢圓定義，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，
所以△AF1B的周長為|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16，
所以|AF1|＋|BF1|＝16－|AB|＝11.
4．“20，,m－2≠6－m，))解得20)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
圖形
焦點坐標(biāo)
F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
a，b，c的關(guān)系
b2＝a2－c2

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3.1 橢圓

版本： 人教A版 (2019)

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