2.4.1　圓的標準方程【學習目標】課程標準學科素養(yǎng)1.會用定義推導圓的標準方程；掌握圓的標準方程的特點．(重點)2.會根據(jù)已知條件求圓的標準方程．(重點、難點)3.能準確判斷點與圓的位置關(guān)系．(易錯點)1、直觀想象2、數(shù)學運算3、數(shù)形結(jié)合【自主學習】一．圓的標準方程1.圓的定義：平面上到    的距離等于    的點的集合叫做圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑．2.確定圓的基本要素是      和     ，如圖所示．3.圓的標準方程：圓心為A(a，b)，半徑長為r的圓的標準方程是                    .當a＝b＝0時，方程為x2＋y2＝r2，表示以      為圓心、半徑為r的圓．二．點與圓的位置關(guān)系 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圓心為C(a，b)，半徑為r，點P(x0，y0)，設(shè)d＝|PC|＝.位置關(guān)系d與r的大小圖示點P的坐標的特點點在圓外d   r(x0－a)2＋(y0－b)2    r2點在圓上d＝r(x0－a)2＋(y0－b)2   r2點在圓內(nèi)d   r(x0－a)2＋(y0－b)2   r2【小試牛刀】思辨解析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2表示圓．(　　)(2)確定一個圓的幾何要素是圓心和半徑.(　 　)(3)圓(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圓心坐標是(1,2)，半徑是4.(　 　)(4) (0,0)在圓(x－1)2＋(y－2)2＝1上.(　 　)【經(jīng)典例題】題型一　求圓的標準方程點撥：確定圓的標準方程的方法(1)幾何法它是利用圖形的幾何性質(zhì)，如圓的性質(zhì)等，直接求出圓的圓心和半徑，代入圓的標準方程，從而得到圓的標準方程．(2)待定系數(shù)法求圓的標準方程的一般步驟例1 (1)圓心在點C(2,1)，半徑長是的圓的標準方程為________________.(2)經(jīng)過點P(5,1)，圓心在點C(8，－3)的圓的標準方程為________________.【跟蹤訓練】1 求過點A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的標準方程．提示：法一：利用待定系數(shù)法，設(shè)出圓的方程，根據(jù)條件建立關(guān)于參數(shù)方程組求解；法二：利用圓心在直線上，設(shè)出圓心坐標，根據(jù)條件建立方程組求圓心坐標和半徑，從而求圓的方程；法三：借助圓的幾何性質(zhì)，確定圓心坐標和半徑，從而求方程．    題型二　點與圓的位置關(guān)系點撥：判斷點與圓的位置關(guān)系的方法(1)只需計算該點與圓的圓心距離，與半徑作比較即可；(2)把點的坐標代入圓的標準方程，判斷式子兩邊的符號，并作出判斷．例2　已知圓的圓心M是直線2x＋y－1＝0與直線x－2y＋2＝0的交點，且圓過點P(－5,6)，求圓的標準方程，并判斷點A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圓上，在圓內(nèi)，還是在圓外？   【跟蹤訓練】2 已知點(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，則a的取值范圍為_______.題型三  與圓有關(guān)的最值問題點撥：最值問題的常見類型及解法(1)形如u＝形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(x, y)和(a, b)的動直線斜率的最值問題．(2)形如l＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線y＝－ x＋截距的最值問題．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(x, y)到定點(a, b)的距離的平方的最值問題．(4)求圓外一點到圓的最大距離和最小距離， 可采用幾何法，先求出該點到圓心的距離，再加上或減去圓的半徑，即可得距離的最大值和最小值．例3 已知x和y滿足(x＋1)2＋y2＝，（1）求x2＋y2的最值．（2）求的取值范圍．    【跟蹤訓練】3 圓的方程為(x＋1)2＋y2＝4，則過(0,0)的弦中，最長弦長為________，最短弦長為________．【當堂達標】1.以兩點A(－3，－1)和B(5,5)為直徑端點的圓的方程是(　　)A.(x＋1)2＋(y＋2)2＝100          B.(x－1)2＋(y－2)2＝100C.(x＋1)2＋(y＋2)2＝25           D.(x－1)2＋(y－2)2＝252.（多選）點在圓的內(nèi)部，則的取值不可能是（    ）A．          B．         C．       D．3．圓心為直線x－y＋2＝0與直線2x＋y－8＝0的交點，且過原點的圓的標準方程是________．4.與y軸相切，且圓心坐標為(－5，－3)的圓的標準方程為________________.5.求以A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)為頂點的三角形的外接圓的標準方程.   6.求經(jīng)過點P(1,1)和坐標原點，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上的圓的標準方程.             【參考答案】【自主學習】定點  定長 圓心  半徑  (x－a)2＋(y－b)2＝r2    原點O  ＞  ＞ ＝  ＜ ＜【小試牛刀】×    √    ×    ×【經(jīng)典例題】例1 (1)(x－2)2＋(y－1)2＝3(2)(x－8)2＋(y＋3)2＝25【跟蹤訓練】1 解：法一：設(shè)所求圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由已知條件知解此方程組，得故所求圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.法二：設(shè)點C為圓心，∵點C在直線x＋y－2＝0上，∴可設(shè)點C的坐標為(a,2－a)．又∵該圓經(jīng)過A，B兩點，∴|CA|＝|CB|.∴＝，解得a＝1.∴圓心坐標為C(1,1)，半徑長r＝|CA|＝2.故所求圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.法三：由已知可得線段AB的中點坐標為(0,0)，kAB＝＝－1，所以弦AB的垂直平分線的斜率為k＝1，所以AB的垂直平分線的方程為y－0＝1·(x－0)，即y＝x.則圓心是直線y＝x與x＋y－2＝0的交點，由得即圓心為(1,1)，圓的半徑為r＝＝2，故所求圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.例2 解：解方程組得∴圓心M的坐標為(0,1)，半徑r＝|MP|＝＝5.∴圓的標準方程為x2＋(y－1)2＝50.∵|AM|＝＝＜r，∴點A在圓內(nèi)．∵|BM|＝＝＝r，∴點B在圓上．∵|CM|＝＝＞r，∴點C在圓外．∴圓的標準方程為x2＋(y－1)2＝50，且點A在圓內(nèi)，點B在圓上，點C在圓外．【跟蹤訓練】2　(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：由題意知，(1－a)2＋(1＋a)2>4，2a2－2>0，即a<－1或a>1.例3 解：（1）由題意知x2＋y2表示圓上的點到坐標原點距離的平方，顯然當圓上的點與坐標原點的距離取最大值和最小值時，其平方也相應取得最大值和最小值．原點O(0,0)到圓心C(－1,0)的距離d＝1，故圓上的點到坐標原點的最大距離為1＋＝，最小距離為1－＝.因此x2＋y2的最大值和最小值分別為和.（2）設(shè)k＝，變形為k＝，此式表示圓上一點(x, y)與點(0, 0)連線的斜率，由k＝，可得y＝kx，此直線與圓有公共點，圓心到直線的距離d≤r，即≤，解得－≤k≤.即的取值范圍是.【跟蹤訓練】3  4　2　解析： 點(0,0)在圓內(nèi)，最長的弦為過O的直徑，所以最大弦長為2r＝4.最短弦是過O且與過O的直徑垂直的弦，因為O(0,0)與圓的距離為1，所以最短弦長為2＝2. 【當堂達標】1.D解析：∵AB為直徑，∴AB的中點(1,2)為圓心，|AB|＝＝5為半徑，∴該圓的標準方程為(x－1)2＋(y－2)2＝25.2.AD解析：由已知條件可得，即，解得.故選：AD.3.(x－2)2＋(y－4)2＝20　解析：由可得，即圓心為(2,4)，從而r＝＝2，故圓的標準方程為(x－2)2＋(y－4)2＝20.4.(x＋5)2＋(y＋3)2＝25 解析：∵圓心坐標為(－5，－3)，又與y軸相切，∴該圓的半徑為5，∴該圓的標準方程為(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.5.解：設(shè)所求圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則有解得即△ABC的外接圓的標準方程為(x－4)2＋(y－1)2＝5.6. 解：方法一　(待定系數(shù)法)設(shè)圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則有解得∴圓的標準方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.方法二　(幾何法)由題意知OP是圓的弦，其垂直平分線為x＋y－1＝0.∵弦的垂直平分線過圓心，∴由得即圓心坐標為(4，－3)，半徑為r＝＝5.∴圓的標準方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.

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2.4 圓的方程

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