《5.5.2簡單的三角恒等變換》教學(xué)設(shè)計一、教材分析本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊》人教A版（2019）第五章《三角函數(shù)》的第五節(jié)《三角恒等變換》。以下是本節(jié)的課時安排：課時內(nèi)容兩角和與差的正弦、余弦和正切公式簡單的三角恒等變換所在位置教材第215頁教材第225頁  新教材內(nèi)容分析教材首先利用了圓的旋轉(zhuǎn)對稱性推導(dǎo)了兩角差的余弦公式，在此基礎(chǔ)上，推到了兩角和的余弦公式、兩角和差的正弦、正切公式以及二倍角公式，是一個邏輯推理的過程，也是認(rèn)識三角函數(shù)式的特征，體會三角恒等變換特點(diǎn)的過程。教材重視對推出公式的理解，應(yīng)用，重視推導(dǎo)過程所承載的育人功能。教材通過例題展現(xiàn)三角恒等變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生對變換對象和變換目標(biāo)進(jìn)行對比、分析，促使學(xué)生形成對解題過程中如何選擇公式，如何根據(jù)條件變形，以及變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)方法的認(rèn)識，從而進(jìn)一步理解變換思想，提高學(xué)生的推理能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。 核心素養(yǎng)培養(yǎng)通過兩角和差的公式以及二倍角公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；通過公式的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).通過三角恒等變換，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。教學(xué)主線兩角差的余弦公式  二、學(xué)情分析本節(jié)的主要內(nèi)容是由三角恒等變換，讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。三、學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.利用二倍角的變形公式推導(dǎo)半角的正弦、余弦、正切公式,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；2.通過三角恒等變形將形如asin x＋bcos x的函數(shù)轉(zhuǎn)化為y＝Asin(x＋φ)的函數(shù)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；3.靈活利用公式，通過三角恒等變形，解決函數(shù)的最值、周期、單調(diào)性等問題，強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。 四、教學(xué)重點(diǎn)重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生以已有的十一個公式為依據(jù)，以積化和差、和差化積、半角公式的推導(dǎo)作為基本訓(xùn)練，學(xué)習(xí)三角變換的內(nèi)容、思路和方法，在與代數(shù)變換相比較中，體會三角變換的特點(diǎn)，提高推理、運(yùn)算能力． 難點(diǎn)：認(rèn)識三角變換的特點(diǎn)，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過程的設(shè)計，不斷提高從整體上把握變換過程的能力 五、教學(xué)過程（一）新知導(dǎo)入1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問題同學(xué)們知道電腦輸入法中的“半角”和“全角”的區(qū)別嗎？半角、全角主要是針對標(biāo)點(diǎn)符號來說的，全角標(biāo)點(diǎn)占兩個字節(jié)，半角占一個字節(jié)，但不管是半角還是全角，漢字都要占兩個字節(jié).事實(shí)上，漢字字符規(guī)定了全角的英文字符、圖形符號和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字母、數(shù)字鍵、符號鍵都是半角字符.【想一想】　任意角中是否也有“全角”與“半角”之分，二者有何數(shù)量關(guān)系？【提示】是α的半角，α是2α的半角. 2.探索交流，解決問題【探究】為豐富三角變換，我們曾由和角公式引出倍角公式，且“倍角是相對的”，那么倍角公式中的2α能否化為α，結(jié)果怎樣？【提示】能，結(jié)果是sin α＝2sin cos ；cos α＝2cos2－1＝1－2sin2＝cos2－sin2；tan α＝. （二）半角公式1.半角公式：(1)sin2＝?sin＝± ，(2)cos2＝?cos＝± ，(3)tan2＝?tan＝± ，稱之為半角公式，符號由所在象限決定．1.理解半角的含義：角是角α的半角，角α是角2α的半角，角2α是角4α的半角．2.確定半角的正弦、余弦、正切值正、負(fù)號的方法：①若給出的角已確定其終邊所在象限，則可根據(jù)下表確定符號.②若給出角α的范圍(即某一區(qū)間)，可先求出的范圍，然后再根據(jù)的范圍確定符號．③若給出的角的象限不確定，則需分類討論．  αsincostan第一象限第一、三象限＋、－＋、－＋第二象限第一、三象限＋、－＋、－＋第三象限第二、四象限＋、－－、＋－第四象限第二、四象限＋、－－、＋－ 【結(jié)論】tan＝＝.【證明】tan＝＝＝，tan＝＝＝. 【做一做1】已知|cos θ|＝，且＜θ＜3π，求sin ，cos，tan的值．【解析】∵|cos θ|＝，＜θ＜3π，∴cos θ＝－，＜＜.∴sin＝－ ＝－，cos＝－ ＝－，∴tan＝＝2.【探究2】公式sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]是否成立？【提示】∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，(S(α＋β))sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，(S(α－β))即sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，類似的公式還有：cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]，cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．這四組公式叫作積化和差公式。【探究】公式sin θ＋sin φ＝2sin·cos 是否成立？【提示】在積化和差的公式中，如果“從右往左”看，實(shí)質(zhì)上就是和差化積．為了用起來方便，在積化和差的公式中，如果令α＋β＝θ，α－β＝φ，則α＝，β＝.把這些值代入積化和差的公式1中，就有sin·cos＝＝(sin θ＋sin φ)．∴sin θ＋sin φ＝2sin·cos.同樣可得：sin θ－sin φ＝2cos·sin，cos θ＋cos φ＝2cos·cos，cos θ－cos φ＝－2sin·sin. 這四組公式叫作和差化積公式。（三）典型例題1.半角公式的應(yīng)用例1.　已知sin θ＝，且＜θ＜3π.求cos 和tan 的值．【解析】　∵sin θ＝，＜θ＜3π，∴cos θ＝－＝－.∵cos θ＝2cos2－1，∴cos2 ＝.又＜＜，∴cos ＝－ ＝－ ＝－.tan ＝＝＝＝＝2.【類題通法】利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函數(shù)式中的角是待求三角函數(shù)式中角的兩倍，則求解時常常借助半角公式求解．(2)明范圍：由于半角公式求值常涉及符號問題，因此求解時務(wù)必依據(jù)角的范圍，求出相應(yīng)半角的范圍．(3)選公式：涉及半角公式的正切值時，常用tan＝＝，其優(yōu)點(diǎn)是計算時可避免因開方帶來的求角的范圍問題；涉及半角公式的正、余弦值時，常先利用sin2＝，cos2＝計算．(4)下結(jié)論：結(jié)合(2)求值．　　【鞏固練習(xí)1】已知α為鈍角，β為銳角，且sin α＝，sin β＝，求cos 的值．【解析】因?yàn)?/span>α為鈍角，β為銳角，sin α＝，sin β＝，所以cos α＝－，cos β＝，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－×＋×＝，又因?yàn)?/span><α<π，0<β<，所以0<α－β<π，所以0<<，所以cos ＝ ＝ ＝.2.與三角函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)的綜合題例2.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的值域.【解析】（1），所以令，解得，故函數(shù)的減區(qū)間為.（2）當(dāng)時，所以，所以，故函數(shù)的值域?yàn)?/span> 【類題通法】研究形如f(x)＝asinx＋bcosx的函數(shù)性質(zhì)，都要運(yùn)用輔助角公式化為一個整體角的正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的形式．因此輔助角公式是三角函數(shù)中應(yīng)用較為廣泛的一個重要公式，也是高考?？嫉目键c(diǎn)之一．對一些特殊的系數(shù)a，b應(yīng)熟練掌握，例如sinx±cosx＝sin；sinx±cosx＝2sin等.【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù).（1）求的最小正周期和圖象的對稱軸方程；（2）當(dāng)時，求的最小值和最大值.【解析】，（1）最小正周期為，由，得出對稱軸，；（2），令，則，，即最小值為0，最大值為.3.三角函數(shù)式的化簡例3. 化簡：    (180°<α<360°)．【解析】原式＝ ＝ ＝.又∵180°<α<360°，∴90°<<180°，∴cos<0，∴原式＝＝cosα.[變式]　若本例中式子變?yōu)?/span>(－π<α<0)，求化簡后的式子．【解析】原式＝ ＝＝＝.因?yàn)椋?/span>π<α<0，所以－<<0，所以sin<0，所以原式＝＝cosα.【類題通法】化簡問題中的“3變”(1)變角：三角變換時通常先尋找式子中各角之間的聯(lián)系，通過拆、湊等手段消除角之間的差異，合理選擇聯(lián)系它們的公式．(2)變名：觀察三角函數(shù)種類的差異，盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱，如統(tǒng)一為弦或統(tǒng)一為切．(3)變式：觀察式子的結(jié)構(gòu)形式的差異，選擇適當(dāng)?shù)淖冃瓮緩剑缟齼?、降冪、配方、開方等． 【鞏固練習(xí)3】已知π<α<，化簡：＋.【解析】原式＝＋，∵π<α<，∴<<.   ∴cos<0，sin>0.∴原式＝＋＝－＋  ＝－cos. 4.三角恒等變換在實(shí)際問題中的應(yīng)用例4.某工人要從一塊圓心角為45°的扇形木板中割出一塊一邊在半徑上的內(nèi)接長方形桌面，若扇形的半徑長為1 m，求割出的長方形桌面的最大面積(如右圖)．【解析】連接OC，設(shè)∠COB＝θ，則0°<θ<45°，OC＝1.∵AB＝OB－OA＝cosθ－AD＝cosθ－sinθ，∴S矩形ABCD＝AB·BC＝(cosθ－sinθ)·sinθ＝－sin2θ＋sinθcosθ＝－(1－cos2θ)＋sin2θ＝(sin2θ＋cos2θ)－＝cos(2θ－45°)－.當(dāng)2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°時，Smax＝ (m2)．∴割出的長方形桌面的最大面積為 m2.【類題通法】三角函數(shù)應(yīng)用題的特點(diǎn)和處理方法(1)實(shí)際問題的意義反映在三角形的邊、角關(guān)系上．(2)引進(jìn)角為參數(shù)，利用三角函數(shù)的有關(guān)公式進(jìn)行推理，解決最優(yōu)化問題．(3)解決三角函數(shù)應(yīng)用問題與解決一般的應(yīng)用問題一樣，先建模，再討論變量的性質(zhì)，最后做出結(jié)論并回答問題． 【鞏固練習(xí)4】如圖，有一塊以點(diǎn)O為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上劃出一個內(nèi)接矩形ABCD開辟為綠地，使其一邊AD落在半圓的直徑上，另兩點(diǎn)B，C落在半圓的圓周上．已知半圓的半徑長為20 m，如何選擇關(guān)于點(diǎn)O對稱的點(diǎn)A，D的位置，可以使矩形ABCD的面積最大，最大值是多少？【解析】連接OB(圖略)，設(shè)∠AOB＝θ，則AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈.因?yàn)?/span>A，D關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以AD＝2OA＝40cos θ.設(shè)矩形ABCD的面積為S，則S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.因?yàn)?/span>θ∈，所以當(dāng)sin 2θ＝1，即θ＝時，Smax＝400(m2)．此時AO＝DO＝10(m)．故當(dāng)A，D距離圓心O為10 m時，矩形ABCD的面積最大，其最大面積是400 m2. 【設(shè)計意圖】通過三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。（四）操作演練  素養(yǎng)提升1．若cos α＝，α∈(0，π)，則cos的值為(　　)A.　　B．－    C．±  D．±2．函數(shù)的最小正周期為________． 3．化簡的結(jié)果為________． 4．已知＝，則sin x－cos x＝________. 【答案】1.A      2.      3.sin 1＋cos 1      4.【設(shè)計意圖】通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識。（五）課堂小結(jié)，反思感悟 1.知識總結(jié)：2.學(xué)生反思：（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？                                                                                                                                                          （2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？                                                                                                                                                                                 【設(shè)計意圖】通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固函數(shù)的表示法，樹立用函數(shù)解析式解決相關(guān)問題的意識。 六、布置作業(yè) 完成教材：第228頁  練習(xí)     第1，2，3題          第229 頁   習(xí)題5.5 第10,11，15,16,17題  
  

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