?三角函數
正、余弦函數的圖象與性質

重點
1. 能夠用五點法畫正余弦函數圖象；
2. 會求函數y＝Asin（ωx＋φ）及y＝Acos（ωx＋φ）的周期。
3. 會判斷簡單三角函數的奇偶性。
4. 求y＝Asin（ωx＋φ）的單調區(qū)間及最值
難點
判斷y＝Asin（ωx＋φ）的奇偶性，求y＝Asin（ωx＋φ）的單調區(qū)間及最值
考試要求
考試
? 題型 選擇題、填空題
? 難度 中等





核心知識點一：正、余弦函數的圖像
1. “五點法”作正弦函數y＝sin x、余弦函數y＝cos x，x∈[0，2π]圖象的步驟：
（1）列表
x
0

π

2π
sin x
0
1
0
－1
0
cos x
1
0
－1
0
1

（2）描點
畫正弦函數y＝sin x，x∈[0，2π]的圖象，五個關鍵點是
（0，0），，（π，0），，（2π，0）；
畫余弦函數y＝cos x，x∈[0，2π]的圖象，五個關鍵點是
（0，1），，（π，－1），，（2π，1）。
（3）用光滑曲線順次連接這五個點，得到正弦曲線、余弦曲線的簡圖。
2. 正、余弦函數的圖象

y＝sin x y＝cos x

核心知識點二：函數的周期性
（1）對于函數f（x），如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f（x＋T）＝f（x），那么函數f（x）就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期。
（2）如果在周期函數f（x）的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數叫做f（x）的最小正周期。
（3）由sin（x＋2kπ）＝sin x，cos（x＋2kπ）＝cos x（k∈Z）知，y＝sin x與y＝cos x都是周期函數，2kπ （k∈Z且k≠0）都是它們的周期，且它們的最小正周期都是2π。

核心知識點三：函數的奇偶性
（1）對于y＝sin x，x∈R恒有sin（－x）＝－sin x，所以正弦函數y＝sin x是奇函數，正弦曲線關于原點對稱。
（2）對于y＝cos x，x∈R恒有cos（－x）＝cos x，所以余弦函數y＝cos x是偶函數，余弦曲線關于y軸對稱。

核心知識點四：函數的單調性與最值

解析式
y＝sin x
y＝cos x
圖象


值域
[－1，1]
[－1，1]
單調性
在，k∈Z上遞增，在，k∈Z上遞減
在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上遞增，
在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上遞減
最值
當x＝＋2kπ，k∈Z時，ymax＝1；
當x＝－＋2kπ，k∈Z時，ymin＝－1
當x＝2kπ，k∈Z時，ymax＝1；
當x＝π＋2kπ，k∈Z時，ymin＝－1


典例一：三角函數圖象的應用
函數的定義域是___________
解析：要使函數有意義，則必有即
結合正弦曲線

可知的定義域為
總結提升：
求與三角函數有關的定義域的基本方法是“數形結合”法，也就是在求這類函數的定義域時，往往需要解有關的三角不等式，而解三角不等式的基本方法：要么利用正弦曲線，要么利用單位圓等圖形來解決問題

典例二：三角函數的周期性
求下列函數的最小正周期。
（1）y＝sin（2x＋）（x∈R）；
（2）y＝|sin x|（x∈R）。
解：（1）方法一　令z＝2x＋，因為x∈R，所以z∈R。
函數f（x）＝sin z的最小正周期是2π，
即變量z只要且至少要增加到z＋2π，
函數f（x）＝sin z（z∈R）的值才能重復取得。
而z＋2π＝2x＋＋2π＝2（x＋π）＋，所以自變量x只要且至少要增加到x＋π，函數值才能重復取得，所以函數f（x）＝sin（x∈R）的最小正周期是π。
方法二　f（x）＝sin的最小正周期為＝π。
（2）因為y＝|sin x|
＝（k∈Z）。
其圖象如圖所示，

所以該函數的最小正周期為π。

總結提升：
對于形如函數y＝Asin（ωx＋φ），A≠0，≠0時的最小正周期的求法常直接利用T＝來求解，對于y＝|Asinωx|的周期情況常結合圖象法來求解。


典例三：求正弦、余弦函數的單調區(qū)間
求函數y＝2sin的單調遞增區(qū)間。
解：y＝2sin＝－2sin，
令z＝x－，
則y＝－2sin z。
因為z是x的一次函數，所以要求y＝－2sin z的單調遞增區(qū)間，即求sin z的單調遞減區(qū)間，即2kπ＋≤z≤2kπ＋（k∈Z）。
∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋（k∈Z），
即2kπ＋≤x≤2kπ＋（k∈Z），
∴函數y＝2sin的單調遞增區(qū)間為
（k∈Z）。

總結提升：
用整體替換法求函數y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）的單調區(qū)間時，如果式子中x的系數為負數，先利用誘導公式將x的系數變?yōu)檎龜翟偾笃鋯握{區(qū)間。求單調區(qū)間時，需將最終結果寫成區(qū)間形式。

典例四：正、余弦函數的值域或最值
（1）求函數y＝2cos（2x＋），x∈（－，）的值域；
（2）求使函數y＝－sin2x＋sin x＋取得最大值和最小值的自變量x的集合，并求出函數的最大值和最小值。
解：（1）∵－

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5.6 函數 y=Asin（ ωx ＋ φ）

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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