第五章 三角函數(shù)5.6函數(shù)【課程標(biāo)準(zhǔn)】了解參數(shù)的變化對(duì)圖像的影響，掌握y=sinx與的圖像變換關(guān)系，并能正確指出變換步驟會(huì)用五點(diǎn)法畫(huà)的圖像會(huì)根據(jù)的部分圖像確定其解析式【知識(shí)要點(diǎn)歸納】1.用五點(diǎn)法作函數(shù)的圖象用“五點(diǎn)法”作的簡(jiǎn)圖，主要是通過(guò)變量代換，設(shè)，由z取來(lái)求出相應(yīng)的x，通過(guò)列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象. 2.函數(shù)中有關(guān)概念表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)，A叫做振幅，叫做周期，叫做頻率，叫做相位，x=0時(shí)的相位稱為初相. 3.由得圖象通過(guò)變換得到的圖象先平移后伸縮的圖象的圖象的圖象的圖象的圖象.先伸縮后平移的圖象的圖象的圖象的圖象的圖象.【典型例題】例1.如何由y=sin x的圖象變化到的圖象？      【解析】 解法一： 。解法二：例2.已知函數(shù)其中，（I）若求的值；（Ⅱ）在（I）的條件下，若函數(shù)的圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于，求函數(shù)的解析式；并求最小正實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖像象左平移個(gè)單位所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)．        【解析】（I）由，得，得    又．（Ⅱ）由（I）得，     依題意，，又故     函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為：      是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)      即      從而，最小正實(shí)數(shù)【變式1】把函數(shù)y=cos2x+1的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),然后向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的圖像是（     ）【答案】A  【變式2】已知函數(shù)的最小正周期為，為了得到函數(shù)的圖象，只要將的圖象（     ）A． 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度      B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度       D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A 【解析】由題知又，所以所以==顯然將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度便可得到的圖象．     例3.由圖中條件，寫(xiě)出該函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）解析式.      【解析】 A=5，將最高點(diǎn)坐標(biāo)(，5)代入得∴，∴取. 【變式1】函數(shù)的圖象如下圖，確定其一個(gè)函數(shù)解析。【解析】由圖象知，振幅A=3，又，∴。由點(diǎn)，令，得，∴。     【變式2】已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的圖象如下圖①所示，求函數(shù)解析式：     【解析】（1）∵T=(2+1)×4=12，∴  ，∴f（x）=Asin（x+φ）∵點(diǎn)C為最低點(diǎn)，對(duì)稱軸為，，，∵，∴。又∵點(diǎn)在圖象上，∴ ，∴A=2，∴  例4．函數(shù)的圖象如圖所示，試依圖推出：（1）的最小正周期；（2）時(shí)x的取值集合；（3）使的x的取值集合；（4）的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（5）使取最小值時(shí)的x的取值集合；（6）圖象的對(duì)稱軸方程；（7）圖象的對(duì)稱中心；（8）要使成為偶函數(shù)，應(yīng)對(duì)的圖象作怎樣的平移變換？        【解析】 （1）。（2）在一個(gè)周期中，使的x是，π，。故所求的x的取值集合是.（3）使的x的取值集合是。（4）的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是。（5）取最小值時(shí)x的取值集合是。（6）對(duì)稱軸方程是。（7）對(duì)稱中心是。（8）要使成為偶函數(shù)，可以把其圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度。      【當(dāng)堂檢測(cè)】一．選擇題（共4小題）1．函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則　　A． B． C． D．2．函數(shù)，的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需將的圖象　　A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度3．將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位，再把所得函數(shù)圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是　　A．， B．， C．，， D．，，4．要得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象　　A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位 C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位二．填空題（共2小題）5．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后所得函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則　　．6．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為　　．三．解答題（共2小題）7．已知函數(shù)．（1）討論在的單調(diào)性；（2）先將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象，求的值．           8．已知函數(shù)，，的部分圖象如圖所示．（Ⅰ）直接寫(xiě)出，，的值（只需寫(xiě)出結(jié)論）；（Ⅱ）求在區(qū)間，上的最大值和最小值．
當(dāng)堂檢測(cè)答案一．選擇題（共4小題）1．函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則　　A． B． C． D．【分析】由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，從而得到函數(shù)的解析式．【解答】解：由圖象可得，再根據(jù)，可得，所以，再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得，求得，故函數(shù)的解析式為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的解析式的求解，結(jié)合圖象求出，和的值是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．2．函數(shù)，的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需將的圖象　　A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【分析】由函數(shù)的圖象求出、和的值，寫(xiě)出的解析式，再根據(jù)圖象平移得出正確的選項(xiàng)．【解答】解：由函數(shù)的圖象知，，解得，所以；又，且，所以，所以，又函數(shù)，所以將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位即可．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了圖象平移變換問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．3．將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位，再把所得函數(shù)圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是　　A．， B．， C．，， D．，，【分析】由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，求得的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得的取值范圍．【解答】解：將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位，可得的圖象；再把所得函數(shù)圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．當(dāng)，，．若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則，①．或者，②．由①求得；解②求得，則的取值范圍為，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題4．要得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象　　A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位 C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位【分析】直接利用函數(shù)的圖象的平移變換和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：要得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位．得到的圖象．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：函數(shù)的圖象的平移變換和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．二．填空題（共2小題）5．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后所得函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則　　．【分析】先求出平移后的函數(shù)的解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性即可求解．【解答】解：函數(shù)向左平移個(gè)單位后所得函數(shù)的解析式為：，因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，，所以，，所以，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的圖象變換問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．6．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為　，，　．【分析】由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，可得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得，．再根據(jù)五點(diǎn)法作圖，可得，，．令，，解得，，故函數(shù)的增區(qū)間為，，．故答案為：，，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．三．解答題（共2小題）7．已知函數(shù)．（1）討論在的單調(diào)性；（2）先將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象，求的值．【分析】（1）由題意利用三角恒等變換，花簡(jiǎn)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論．（2）由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，求得的解析式，可得的值．【解答】解：（1）函數(shù)．令，求得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，，．結(jié)合，可得在，上單調(diào)遞增．同理求得在，上單調(diào)遞減．（2）先將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象，再把所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象，故．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．8．已知函數(shù)，，的部分圖象如圖所示．（Ⅰ）直接寫(xiě)出，，的值（只需寫(xiě)出結(jié)論）；（Ⅱ）求在區(qū)間，上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，可得函數(shù)的解析式．（Ⅱ）由題意利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得在區(qū)間，上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)，，的部分圖象，可得，，．再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得，求得，故函數(shù)．（Ⅱ）當(dāng)，，，，故當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2020/12/3 8:36:39；用戶：郭天軍；郵箱：wcdezx37@xyh.com；學(xué)號(hào)：26222372    

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

5.6 函數(shù) y=Asin（ ωx ＋ φ）

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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