知識(shí)點(diǎn) A，ω，φ對(duì)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的影響
1．φ對(duì)y＝sin(x＋φ)，x∈R圖象的影響
2．ω(ω>0)對(duì)y＝sin(ωx＋φ)圖象的影響
3．A(A>0)對(duì)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的影響
1．將函數(shù)y＝sin x的圖象向左平移eq \f(π,2)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝cs x的圖象．( √ )
2．將函數(shù)y＝sin x圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，便得到函數(shù)y＝2sin x的圖象．( √ )
3．把函數(shù)y＝cs x的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍就得到函數(shù)y＝cs 3x的圖象．( × )
一、平移變換
例1 函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的圖象可以看作是由y＝sin x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到的？
解 函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的圖象，可以看作是把曲線y＝sin x上所有的點(diǎn)向右平移eq \f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度而得到的．
反思感悟 對(duì)平移變換應(yīng)先觀察函數(shù)名是否相同，若函數(shù)名不同則先化為同名函數(shù)．再觀察x前系數(shù)，當(dāng)x前系數(shù)不為1時(shí)，應(yīng)提取系數(shù)確定平移的單位和方向，方向遵循左加右減，且從ωx→ωx＋φ的平移量為eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(φ,ω)))個(gè)單位長(zhǎng)度．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)要得到函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的圖象，只要將函數(shù)y＝sin 2x的圖象( )
A．向左平移eq \f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度
B．向右平移eq \f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向左平移eq \f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度
D．向右平移eq \f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度
答案 C
解析 因?yàn)閥＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))))，
所以將函數(shù)y＝sin 2x的圖象向左平移eq \f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，
就可得到函數(shù)y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的圖象．
(2)為了得到y(tǒng)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的圖象只需將函數(shù)y＝cs x的圖象________________而得到．
答案 向右平移eq \f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度
解析 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，
只需把y＝cs x的圖象向右平移eq \f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度即得到y(tǒng)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))).
二、伸縮變換
例2 (1)將函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3)))圖象上的橫坐標(biāo)進(jìn)行怎樣變換，得到y(tǒng)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的圖象( )
A．伸長(zhǎng)了2倍 B．伸長(zhǎng)了eq \f(1,2)倍
C．縮短了eq \f(1,2)倍 D．縮短了2倍
答案 A
(2)(多選)函數(shù)y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的圖象，可由函數(shù)y＝sin x的圖象經(jīng)過(guò)下列哪項(xiàng)變換而得到( )
A．向左平移eq \f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍
B．向左平移eq \f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq \f(1,2)，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍
C．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq \f(1,2)，向左平移eq \f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍
D．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq \f(1,2)，向左平移eq \f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍
答案 BD
解析 先平移后伸縮y＝sin x的圖象eq \(―――――――――→,\s\up10(向左平移\f(π, 3 )個(gè)單位長(zhǎng)度))
y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的圖象eq \(―――――――――→,\s\up10(橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的\f(1, 2 ) ))
y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的圖象eq \(―――――――――→,\s\up7(縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍))
y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的圖象．
先伸縮后平移
y＝sin x的圖象eq \(―――――――――→,\s\up10(橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的\f(1, 2 ) ))
y＝sin 2xeq \(――――――――――――→,\s\up10(橫坐標(biāo)向左平移\f(π, 6 )個(gè)單位長(zhǎng)度))
y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))eq \(――――――――――→,\s\up7(縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍))
y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，故BD正確．
反思感悟 先平移后伸縮和先伸縮后平移中，平移的量是不同的，在應(yīng)用中一定要區(qū)分清楚，以免混亂而導(dǎo)致錯(cuò)誤．弄清平移對(duì)象是減少錯(cuò)誤的好方法．
跟蹤訓(xùn)練2 將函數(shù)y＝sin x的圖象上所有的點(diǎn)向右平移eq \f(π,10)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象的函數(shù)解析式是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,10))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,5)))
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,10))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,20)))
答案 C
解析 將y＝sin x的圖象向右平移eq \f(π,10)個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,10)))的圖象，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得到y(tǒng)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,10)))的圖象．
三、“五點(diǎn)法”作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象
例3 已知函數(shù)y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，x∈R.
(1)用“五點(diǎn)法”作出它在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖；
(2)該函數(shù)的圖象可由y＝sin x(x∈R)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到？
解 (1)列表：
描點(diǎn)、連線，如圖所示．
(2)函數(shù)y＝sin x的圖象向左平移eq \f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的圖象，再保持縱坐標(biāo)不變，把橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的eq \f(1,2)倍，得到函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的圖象，再保持橫坐標(biāo)不變，把縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的eq \f(1,2)倍，得到函數(shù)y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的圖象．
(學(xué)生留)
反思感悟 “五點(diǎn)法”作圖的實(shí)質(zhì)
(1)利用“五點(diǎn)法”作函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象，實(shí)質(zhì)是利用函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)，兩個(gè)最值點(diǎn)畫出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象．
(2)用“五點(diǎn)法”作函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)圖象的步驟第一步：列表．
第二步：在同一平面直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)．
第三步：用光滑曲線連接這些點(diǎn)，形成圖象．
跟蹤訓(xùn)練3 已知函數(shù)f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)在[0，π]上的圖象．
解 f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，列表如下．
圖象如圖．
1．要得到函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的圖象，只要將函數(shù)y＝sin x的圖象( )
A．向左平移eq \f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度
B．向右平移eq \f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向左平移eq \f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度
D．向右平移eq \f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度
答案 A
解析 將函數(shù)y＝sin x的圖象上所有點(diǎn)向左平移eq \f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度，就可得到函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的圖象．
2．將函數(shù)y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的圖象向右平移eq \f(1,4)個(gè)周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為( )
A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))) D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
答案 D
解析 函數(shù)y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的最小正周期為π，所以將函數(shù)y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的圖象向右平移eq \f(π,4)個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的圖象．
3．函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，π))上的簡(jiǎn)圖是( )
答案 A
解析 當(dāng)x＝0時(shí)，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)0)的圖象向左平移eq \f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))，則ω的最小值是( )
A.eq \f(3,2) B．2 C．1 D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 依題意得，函數(shù)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))))(ω>0)的圖象過(guò)點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))，
于是有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋\f(π,3)))))
＝sin ωπ＝0(ω>0)，
所以ωπ＝kπ，k∈N*，即ω＝k，k∈N*，
因此正數(shù)ω的最小值是1，故選C.
5．(多選)有四種變換：其中能使y＝sin x的圖象變?yōu)閥＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的圖象的是( )
A．向左平移eq \f(π,4)個(gè)單位長(zhǎng)度，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的eq \f(1,2)
B．向左平移eq \f(π,8)個(gè)單位長(zhǎng)度，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的eq \f(1,2)
C．各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的eq \f(1,2)，再向左平移eq \f(π,4)個(gè)單位長(zhǎng)度
D．各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的eq \f(1,2)，再向左平移eq \f(π,8)個(gè)單位長(zhǎng)度
答案 AD
解析 由y＝sin x的圖象變?yōu)閥＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的圖象有兩種變換方式，第一種：先平移，后伸縮，向左平移eq \f(π,4)個(gè)單位長(zhǎng)度，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的eq \f(1,2)；第二種：先伸縮，后平移，各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的eq \f(1,2)，再向左平移eq \f(π,8)個(gè)單位長(zhǎng)度．
6．將函數(shù)y＝sin 4x的圖象向左平移eq \f(π,12)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝sin(4x＋φ)(00，函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))＋2的圖象向右平移eq \f(4π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度后與原圖象重合，則ω的最小值是( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(4,3) C.eq \f(3,2) D．3
答案 C
解析 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))＋2eq \(―――――――――→,\s\up10(向右平移\f(4π, 3 ) 個(gè)單位長(zhǎng)度))
＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4π,3)))＋\f(π,3)))＋2＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)－\f(4π,3)ω))＋2.
因?yàn)閥與y1的圖象重合，所以－eq \f(4π,3)ω＝2kπ(k∈Z)．
所以ω＝－eq \f(3,2)k.又因?yàn)棣?0，k∈Z，所以k＝－1時(shí)，ω取最小值為eq \f(3,2).
14．將函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|≤\f(π,2)))圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，再向右平移eq \f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝Asin x的圖象，則ω＝________，φ＝________.
答案 eq \f(1,2) eq \f(π,6)
解析 y＝Asin x的圖象向左平移eq \f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的圖象，再將每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原為的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的圖象即為f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象，
所以f(x)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))，所以ω＝eq \f(1,2)，φ＝eq \f(π,6).
15．給出幾種變換：
①橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變；
②橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq \f(1,2)，縱坐標(biāo)不變；
③向左平移eq \f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度；
④向右平移eq \f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度；
⑤向左平移eq \f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度；
⑥向右平移eq \f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度．
則由函數(shù)y＝sin x的圖象得到y(tǒng)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的圖象，可以實(shí)施的方案是( )
A．①→③ B．②→③ C．②→④ D．②→⑤
答案 D
解析 y＝sin x的圖象eq \(――→,\s\up7(②))y＝sin 2x的圖象eq \(――→,\s\up7(⑤))y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的圖象．
16．已知函數(shù)f(x)＝2sin ωx，其中常數(shù)ω>0.
(1)若y＝f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(2π,3)))上單調(diào)遞增，求ω的取值范圍；
(2)令ω＝2，將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移eq \f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，區(qū)間[a，b](a，b∈R且a0，根據(jù)題意有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)ω≥－\f(π,2)，,\f(2π,3)ω≤\f(π,2)，))解得0

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2021學(xué)年第五章 三角函數(shù)5.6 函數(shù) y=Asin（ ωx ＋ φ）學(xué)案
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人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)5.6 函數(shù) y=Asin（ ωx ＋ φ）優(yōu)秀學(xué)案

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)5.6 函數(shù) y=Asin（ ωx ＋ φ）學(xué)案

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

5.6 函數(shù) y=Asin（ ωx ＋ φ）

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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