目錄  TOC \o "1-4" \h \z \u  HYPERLINK \l "_Toc17734943" 基本不等式  PAGEREF _Toc17734943 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc17734944" 考點1：常規(guī)基本不等式問題  PAGEREF _Toc17734944 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc17734945" 考點2：基本不等式易錯點 4  HYPERLINK \l "_Toc17734946" 考點3：基本不等式常見變形  PAGEREF _Toc17734946 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc17734947" 課后作業(yè)：  PAGEREF _Toc17734947 \h 10  基本不等式 1．均值定理：如果，（表示正實數(shù)），那么，當且僅當時，有等號成立． 此結(jié)論又稱均值不等式或基本不等式． 2．均值不等式推廣：，其中需要前提條件． 叫做，的算術平均值，叫做，的幾何平均值，叫做平方平均值． 3．可以認為基本元素為，，；其中任意一個為定值，都可以求其它兩個的最值． 考點1：常規(guī)基本不等式問題 例1.（1）已知，則的最小值為　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：， 當且僅當即時取等號， 故選：． （2）（2019春?宿州期中）已知，則取最大值時的值為　　 A． B． C． D． 【解答】解：， 則， 當且僅當即時取最大值 故選：． （3）（2019春?宿州期末）已知函數(shù)，當時，取得最小值，則等于　　 A．9 B．7 C．5 D．3 【解答】解：，， ， 當且僅當，即時取等號， 取得最小值，此時， ． 故選：． （4）（2018秋?濱州期中）已知，，且，則的最大值為　　 A． B． C．1 D． 【解答】解：，，且， 則， 當且僅當且即，時取得最大值． 故選：． （5）若，，且，則下列不等式中，恒成立的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：對于；所以錯 對于，，雖然，只能說明，同號，若，都小于0時，所以，錯 故選：． 考點2：基本不等式易錯點 例2.（1）（2019春?東湖區(qū)校級期中）已知，，，則的最小值是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由，得， 解得且， ①當時，， ， ， 當且僅當即時取等號； ②當時，， ， 當且僅當即時取等號． 綜上可得，最小值 故選：． （2）已知，，則下列不等式中不成立的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：，； ，當時取“”； ，當時取“”； ，當時取“”； 該不等式成立； ，當時取“”； ，當時取“”； ，當時取“”； 該不等式成立； ．，當時取“”； ，當時取“”； 該不等式成立； ，當時取“”； ； ，當時取“”； 該不等式不成立． 故選：． 考點3：基本不等式常見變形 例3.已知，且，則取得最小值時，等于　　 A． B． C． D． 【解答】解： （當且僅當 即取得最小值時，滿足 故選：． 例4.（1）（2019春?太原期末）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是　　 A．9 B．10 C．11 D．12 【解答】解：正數(shù)，滿足， ， ，， 當且僅當時取等號， 的最小值為9． 故選：． （2）（2019春?越城區(qū)校級月考）已知，，且，則最大值是　　． 【解答】解：， ， 令，上式化為，解得． 的最大值即最大值是． 故答案為：． （3）（2019春?香坊區(qū)校級期末）若實數(shù)，滿足，則的最大值是　　 A．6 B．4 C． D． 【解答】解：實數(shù)，滿足，即． 再由，可得， 解得， ，故的最大值為， 故選：． 例5.（1）（2019春?泉州期末）已知，，，則的最小值是　　 A．4 B． C．5 D．9 【解答】解：，，， ， 當且僅當，即，時取等號， 故選：． （2）（2015?山東一模）若正數(shù)，滿足，則的最小值是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：正數(shù)，滿足， ， 當且僅當即且時取等號， 的最小值是5 故選：． 例6.（1）設，，且，求的最大值． 【解答】解：，，且， 當且僅當即且時取等號， 的最大值為 （2）設，則的最小值是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解： 當且僅當取等號 即取等號． 的最小值為4 故選：． 例7.設正實數(shù)，，滿足．則當取得最大值時，的最大值為　　 A．0 B．1 C． D．3 【解答】解：， ，又，，均為正實數(shù)， （當且僅當時取“” ， ，此時，． ， ，當且僅當時取得“”，滿足題意． 的最大值為1． 故選：． 例8.（1）（2017秋?大名縣校級月考）函數(shù)的最小值為　　 A．2 B．3 C． D．2.5 【解答】解：令，則在，上單調(diào)遞增， ，即，函數(shù)的最小值為2.5， 故選：． （2）（2017春?張家港市校級期中）已知，則函數(shù)的最小值為　?。?【解答】解：，， ． ． 當且僅當，即時取得最小值． 故答案為：． （3）函數(shù)的最大值為　?。?【解答】解：設， 則， ． ， 當且僅當時取最值． ． ． 即原函數(shù)的最大值為． 故答案為． （4）（2016秋?西平縣校級月考）求的值域． 【解答】解：， ， ， 當且僅當，即時取等號， 故的值域為，． 課后作業(yè)： 1．（2020春?宣城期末）若，，，則的最小值為　　 A． B．4 C． D．3 【解答】解：因為，，， 則， 當且僅當且，即，時取等號． 故選：． 2．（2020春?新都區(qū)期末）已知，，，則的最大值是　　 A．100 B．50 C．20 D．10 【解答】解：由，可得：，解得，當且僅當時取等號． 則的最大值是50． 故選：． 3．（2020春?浙江期末）實數(shù)，，，且滿足，則的最小值是　　 A．1 B． C．2 D．3 【解答】解：實數(shù)，，，且滿足， ， 化為：， ，，． 解得，當且僅當時取等號． 的最小值是2． 故選：． 4．（2018秋?河南期末）若，則的最大值為　　 A． B． C． D． 【解答】解：令，則，， 原式， 當且僅當即時等號成立， 故選：． 5．（2020春?溫州期末）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值是　?。?【解答】解：令則， ， ， 整理可得， △， 解可得，或（舍， 故的最小值． 故答案為：．

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高中數(shù)學人教A版 (2019)必修 第一冊電子課本

2.2 基本不等式

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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