專題1.9 與角平分線相關(guān)的幾何模型（知識講練）【知識回顧】1、角平分線的定義:從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的角平分線。2、角平分線的性質(zhì)：角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.
3、角平分線的判定：在角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解幾何模型的含義；2．掌握角平分線的幾何模型，并運用幾何模型解決問題.【要點梳理】1、模型一、 角平分線+平行線模型如圖，P是∠MO的平分線上一點，過點P作PQ∥ON，交OM于點Q。    結(jié)論：△POQ是等腰三角形。特別說明：    有角平分線時，常過角平分線上一點作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形，為證明結(jié)論提供更多的條件，體現(xiàn)了角平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系。【典型例題】   1、 解答下列問題：（1）如圖①所示，在△ABC中，EF∥BC，點D在EF上，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，寫出線段EF與BE、CF有什么數(shù)量關(guān)系；（2）如圖②所示，BD平分∠ABC、CD平分∠ACG，DE∥BC交AB于點E，交AC于點F，線段EF與BE、CF有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由。 （3）如圖③所示，BD、CD分別為外角∠CBM、∠BCN的平分線，，DE∥BC交AB延長線于點E，交AC延長線于點F，直接寫出線段EF與BE、CF有什么數(shù)量關(guān)系？ 舉一反三：【變式】如圖，點I為△ABC角平分線交點，AB＝8，AC＝6，BC＝5，將∠ACB平移使其頂點C與點I重合，則圖中陰影部分的周長為__．         【答案】8【分析】此題有角平分線，平移可知ID//AC,BC//IE,構(gòu)造平行線+角平分線解決問題：解：解：如圖，連接AI，BI，∵點I為△ABC角平分線交點，∴IA和IB分別平分∠CAB和∠CBA，∴∠CAI＝∠DAI，∠CBI＝∠EBI，∵將∠ACB平移，使其頂點與點I重合，∴DI∥AC，EI∥BC，∴∠CAI＝∠DIA，∠CBI＝∠EIB，∴∠DAI＝∠DIA，∠EBI＝∠EIB，∴DA＝DI，EB＝EI，∴DE+DI+EI＝DE+DA+EB＝AB＝8．即圖中陰影部分的周長為8．故答案為：8．【點撥】解題關(guān)鍵在于作輔助線構(gòu)造平行線+角平分線幾何模型。2、模型二、  角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形模型  如圖，P是∠MON的平分線上一點，點A是邊OM上一點，過點A作AP⊥OP于P點，延長AP于點B。    結(jié)論：△AOB是等腰三角形。   模型分析： 構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個全等的直角三角形，進而得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。這個模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系了起來。  【典型例題】2. 如圖，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足為E。求證：BD=2CE。 證明：延長BA,CE交于F                       ∵BE是∠FBC的角平分線,CE⊥BE
∴△BCF是等腰△,∠F = ∠ACF
∵∠BAC = =90° = ∠BEC
∠BDA = ∠EDC,
∴E是FC的中點
∴2CE = FC
∴∠ABD = ∠FCA
∵AB = AC
∴△ABD≌△ACF
∴BD = CF
∴BD = 2CE【總結(jié)升華】解此題關(guān)鍵是分析條件并通過作輔助線構(gòu)成幾何模型。舉一反三：【變式】如圖，在△ABC中，BE是角平分線，AD⊥BE，垂足為D。    求證：∠2=∠1+∠C。證明：∵BE是∠ABC的角平分線，AD⊥BE，∴AB=FB，
∴∠2=∠AFB，
∵∠AFB=∠1+∠C，
∴∠2=∠1+∠C．   3、模型三、 角平分線上的點向兩邊作垂線    如圖，P是∠MON的平分線上一點，過點P作PA⊥OM于點A，PB⊥ON于點B。    結(jié)論：PB=PA。模型分析    利用角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，構(gòu)造模型，為邊相等、角相等、三角形全等創(chuàng)造更多的條件，進而可以快速找到解題的突破口。3．如圖，平分，點是上的一點，，，垂足分別是為、，過點作交于點，已知，，求的長．【答案】．【分析】由平行線和角平分線定義得出=30°，在Rt△PHF中，由30°的直角三角形的性質(zhì)，得出PF=PH，然后根據(jù)角平分線上的點向兩邊作垂線模型得PE=PF，即可解答．解：，，平分，，，在中，，，，，，，平分，．【點撥】本題考查直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本模型是關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．舉一反三：【變式1】點P為△ABC三內(nèi)角平分線的交點，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，求：點P到三邊的距離．【答案】點P到三邊的距離為2cm【分析】作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，連接PA，PB，PC，由平分線的解：∵點P為三角形三個內(nèi)角平分線的交點，作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，連接PA，PB，PC，如圖，∴PD＝PE＝PF，設(shè)PD＝PE＝PF＝R，由三角形的面積公式得：S△ACB＝S△APC+S△APB+S△BPC，∴×AC×BC＝×AC×R+×BC×R+×AB×R，6×8＝6R+8R+10R，R＝2，即PD＝2cm．答：點P到三邊的距離為2cm．【點撥】本題考查的是三角形的角平分線的交點的性質(zhì)，三角形的面積的計算，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．4、模型四、 角平分線兩邊截取相等線段構(gòu)造對稱全等三角形  如圖，P是∠MON的平分線上一點，點A是射線OM上任意一點，在ON上截取OB=OA，連接PB。    結(jié)論：△OPB≌△OPA。 模型分析    利用角平分線圖形的對稱性，在角的兩邊構(gòu)造對稱全等三角形，可以得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。利用對稱性把一些線段或角進行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧。4．在四邊形中，，，平分．  如圖，若，根據(jù)教材中一個重要性質(zhì)直接可得，這個性質(zhì)是________；(填性質(zhì)定理的具體內(nèi)容)問題解決：如圖，求證：.【答案】（1）角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；（2）證明見解析．【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)解題；（2）過點作交延長線于，于，由角平分線的性質(zhì)得到DE=DF，再由同角的補角相等，解得，繼而證明，再由全等三角形的性質(zhì)解題． （1）解：∵平分，，，∴ （角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）.故答案為：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.（2）證明：如圖，過點作交延長線于，于，∵平分，，，∴.∵，，∴，在和中，∴ ，∴.【點撥】本題考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.舉一反三：【變式】如圖，已知，平分．，分別在射線，上．（1）在圖1中，當(dāng)時，求證：；（2）若把圖1中的條件“”改為，其他條件不變，如圖2所示，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．【分析】（1）由，平分，求得∠POD=∠POE=，計算出∠OPD=∠OPE=，即可得到結(jié)論；（2）過點P作PN⊥OA于N，PM⊥OB于M，證明△PND≌△PME，得ND=ME，即可推出OD+OE=OP．解：（1）∵，平分，∴∠POD=∠POE=，∵，∴∠OPD=∠OPE=,∴OD=OP，OE=OP，∴；（2）仍成立，證明：過點P作PN⊥OA于N，PM⊥OB于M，則∠PNO=∠PMO=，∵平分，PN⊥OA，PM⊥OB，∴PN=PM，∵，， ∴∠NDP=∠OEP，在△PND和△PME中，，∴△PND≌△PME，∴ND=ME，由（1）可得ON=OM=OP，∴OD+OE=ON-ND+OM+ME=ON+OM=OP．【點撥】此題考查角平分線的性質(zhì)，直角三角形30度角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記各知識點并綜合運用是解題的關(guān)鍵．5、角平分線模型綜合訓(xùn)練5．如圖，在ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一點，EA⊥AB，且EB＝EC．（1）如果∠ABC＝40°，求∠DEC的度數(shù)；（2）求證：BC＝2AB．【答案】（1）40°；（2）證明見解析【分析】（1）由角平分線的定義求出，再由等邊對等角和三角形的外角性質(zhì)，即可求出答案；（2）過點E作EF⊥BC于點F，先得到EA＝EF，然后證明△AEB≌△FEB，則AB=FB，然后得到BC＝2AB． （1）解： ∵∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，∴ . ∵EB＝EC，∴ . ∵∠DEC是△EBC的一個外角，∴. （2）證明：過點E作EF⊥BC于點F，如圖：∵BD平分∠ABC，EA⊥AB，∴EA＝EF.                                       在Rt△AEB 和Rt△FEB 中∵ ∴ △AEB≌△FEB （HL）                             ∴ AB=FB（全等三角形的對應(yīng)邊相等）                    ∵EB＝EC，EF⊥BC，∴BC＝2FB.                                             ∴BC＝2AB．【點撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的進行解題．【變式】如圖，在△ABC中，∠C=90°，若CD=1.5，BD=2.5；(1)∠2=∠B，求AC的長；(2)，求的長．【分析】（1）根據(jù)∠2=∠B可得AD=BD=2.5，再根據(jù)勾股定理即可求出AC的長；（2）過D作DE⊥AB，垂足為E，由角平分線的性質(zhì)可知CD=DE，根據(jù)勾股定理可得出BE的長，再判斷出Rt△ACD≌Rt△AED，進而可得出AC=AE，根據(jù)勾股定理即可解答．解：（1）∵∠2=∠B，BD=2.5，∴AD=BD=2.5，在RtACD中，，  ∵CD=1.5，∴；  （2）過D作DE⊥AB，垂足為E，
 ∵∠1=∠2，
∴CD=DE=1.5，
在Rt△BDE中，BE=，
∵CD=DE，AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+2，
∴AB2=AC2+BC2，即（AC+2）2=AC2+（1.5+2.5）2，
解得AC=3．【點撥】本題主要考查的是角平分線的性質(zhì)及勾股定理、直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)，熟知角平分線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵，難度適中．

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