專題1.7  角的平分線（知識(shí)講解）【知識(shí)回顧】1、角平分線的定義:從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線。2、線段垂直平分線性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。3、線段垂直平分線判定定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．掌握角平分線的性質(zhì)，理解三角形的三條角平分線的性質(zhì)．2．掌握角平分線的判定及角平分線的畫法，并能根據(jù)尺規(guī)作圖解決實(shí)際問題.3. 熟練運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)解決問題．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、角的平分線的性質(zhì)　　角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.
幾何語言：∵DC平分∠ADB ,又∵PE⊥AD,PF⊥BD , 垂足為E、F，∴PE=PF特別指出：解題時(shí)一定要寫上E⊥AD,PF⊥BD這個(gè)條件要點(diǎn)二、角的平分線的判定　 角平分線的判定：在角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.幾何語言：∵PE⊥DA,PF⊥DB , 垂足為E、F，又∵PE=PF∴DC平分∠ADB ,即點(diǎn)P在∠ADB的平分線上。要點(diǎn)三、角的平分線的尺規(guī)作圖角平分線的尺規(guī)作圖
 （1）以O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交角的兩邊D、E.
　?。?/span>2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.
　?。?/span>3）作射線OC.∴射線OC即為所求.要點(diǎn)四、三角形角平分線的性質(zhì)三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，此點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的內(nèi)心，三角形內(nèi)心到這個(gè)三角形三邊的距離相等.三角形的一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn).這點(diǎn)叫做三角形的旁心.三角形有三個(gè)旁心.所以到三角形三邊所在直線距離相等的點(diǎn)共有4個(gè).如圖所示：△ABC的內(nèi)心為，旁心為，這四個(gè)點(diǎn)到△ABC三邊所在直線距離相等.【典型例題】類型一、角的平分線的性質(zhì)1．如圖，在中，是的角平分線，，，D是的中點(diǎn)，證明：．【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，又有BD=CD，可證Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），即可得證∠B=∠C．證明：∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°∵D是的中點(diǎn)，∴在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）∴∠B=∠C．【總結(jié)升華】此題考查的是角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)和利用HL證兩個(gè)三角形全等是解題關(guān)鍵．2．如圖，中，，平分，交于點(diǎn)，，，則的長為（  ）A．2 B．3 C．4 D．5 【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等證明CD=DE，再根據(jù)三角形面積公式即可求得DE的長度，從而解決問題．解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴CD=DE，
∵S△ABD＝AB?DE＝15，且AB=10，
∴DE=3，即CD=DE=3．
故答案為3．【總結(jié)升華】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、三角形的面積公式等，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．舉一反三：【變式】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，CD＝2，BD=3，Q為AB上一動(dòng)點(diǎn)，則DQ的最小值為（　?。?/span>A．1 B．2 C．2．5 D．3【答案】B【思路點(diǎn)撥】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短可知，當(dāng)DQ與AB垂直的時(shí)候最短，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)即可求解．【詳解】當(dāng)時(shí)，DQ最小，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，此時(shí)DC=DQ，則DQ=2，故選：B．【總結(jié)升華】本題考查點(diǎn)到直線的距離及角平分線的性質(zhì)，熟練掌握基本性質(zhì)和定理是解題關(guān)鍵．3、已知中，，邊上的垂直平分線交于，為垂足．（1）若，，求的周長；（2）若平分，求的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）由線段的垂直平分線性質(zhì)，解得，結(jié)合等腰三角形中解題即可；（2）設(shè)，由等腰三角形的性質(zhì)，解得，再由角平分線的性質(zhì)得到，結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)解題即可．解：（1）垂直平分又的周長=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=BC+AB=5+7=12;（2）設(shè)平分垂直平分解得【總結(jié)升華】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和180°等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式】 已知ABC的三條角平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB．求證：OD=OE=OF．解：連接BO、CO、AO，∵BO是的角平分線，且OD⊥BC，OF⊥AB，∴，同理可得，，∴．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)． 類型二、角的平分線的判定4．如圖，D、E、F分別是△ABC的三條邊上的點(diǎn)，CE＝BF，△DCE和△DBF的面積相等．求證：AD平分∠BAC．【答案與解析】首先過D作DN⊥AC，DM⊥AB，分別表示出再△DCE和△DBF的面積，再根據(jù)條件“△DCE和△DBF的面積相等”可得到BF?DM＝DN?CE，由于CE＝BF，可得結(jié)論DM＝DN，根據(jù)角平分線性質(zhì)的逆定理進(jìn)而得到AD平分∠BAC．證明：過D作DN⊥AC，DM⊥AB，△DBF的面積為：BF?DM，△DCE的面積為：DN?CE，∵△DCE和△DBF的面積相等，∴BF?DM＝DN?CE，∵CE＝BF，∴DM＝DN，又∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴AD平分∠BAC（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）．【總結(jié)升華】應(yīng)用角平分線性質(zhì)及判定時(shí)不要遺漏了“垂直”的條件.如果遺漏了說明沒有認(rèn)識(shí)到“垂直”條件在證明結(jié)論的必要性. 舉一反三：【變式】已知：如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊AC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥BC，E，F為垂足，且DE=DF，點(diǎn)G是BC上的一點(diǎn)，且BG=DG．求證：AB∥DG．證明：連結(jié)BD，∵DE⊥AB，DF⊥BC，E，F為垂足，且DE=DF，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵BG=DG，∴∠CBD=∠BDG，∴∠ABD=∠BDG，∴AB∥DG．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．類型三、角的平分線的作圖題5．北師版初中數(shù)學(xué)教科書八年級上冊第57頁告訴了我們利用尺規(guī)作一個(gè)角的角平分線的方法：已知：如圖，鈍角．求作：的角平分線．作法：①以O為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交OA于點(diǎn)D，交OB于點(diǎn)E；②分別以D，E為圓心，大于的長為半徑作弧，在內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)C；③作射線OC．所以射線OC就是所求作的角平分線．（1）請你根據(jù)上述的作圖方法，利用直尺和圓規(guī)完成作圖（保留作圖痕跡）（2）在該作圖中蘊(yùn)含著幾何的證明過程：由①可得：；由②可得：______；由③可知：；∴____________（依據(jù)_____）．∴可得（全等三角形對應(yīng)角相等）即OC就是所求作的的角平分線．（3）如圖2，點(diǎn)O處是一個(gè)老鼠洞，一只貓?jiān)?/span>A處發(fā)現(xiàn)了B處的一只老鼠正沿著BO向洞口逃竄．若貓以與老鼠相同的速度去追捕老鼠，請?jiān)趫D中作出最快能截住老鼠的位置M．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】（1）根據(jù)幾何語言畫出對應(yīng)的幾何圖形；（2）利用作法得到OD＝OE，CD＝CE，加上OC＝OC，則可根據(jù)“SSS”判斷OCD≌OCE，于是得到∠COD＝∠COE．（3）連接AB．做AB的垂直平分線，則垂直平分線與BO的連接處為M，因?yàn)樗俣纫粯?，所?/span>AM的距離等于BM的距離，所以三角形AMB為等腰三角形．因此，AB的垂直平分線必經(jīng)過M點(diǎn)．解：（1）如圖，OC為所作；（2）由①可得：OD＝OE；由②可得：CD＝CE；由③可知：OC＝OC；∴OCD≌OCE（SSS），∴∠COD＝∠COE（全等三角形對應(yīng)角相等）．即OC就是所求作的∠AOB的角平分線．故答案為：CD＝CE；OCD，OCE，SSS；（3）連接AB．作AB的垂直平分線，則垂直平分線與BO的連接處為M，因?yàn)樗俣纫粯?，所?/span>AM的距離等于BM的距離，所以三角形AMB為等腰三角形．因此，AB的垂直平分線必經(jīng)過M點(diǎn)．【點(diǎn)撥】本題為三角形綜合題，主要考查了角平行線、三角形全等和中垂線的性質(zhì)以及基本作圖，解題的關(guān)鍵是畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．【變式】如圖，已知∠AOB及點(diǎn)E、F，在∠AOB的內(nèi)部求作點(diǎn)P，使點(diǎn)P到OA、OB的距離相等，且PE=PF．（請尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，并寫結(jié)論）【分析】分別作∠AOB的角平分線以及線段EF的中垂線，兩條線的交點(diǎn)即為所求．【解答】如圖所示，先作出∠AOB的角平分線OQ，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，在OQ上的所有點(diǎn)均滿足到OA、OB的距離相等，再作線段EF的中垂線MN，根據(jù)中垂線的性質(zhì)可知，MN上的所有點(diǎn)均滿足到E，F的距離相等，此時(shí)OQ與MN 交點(diǎn)，既滿足到OA、OB的距離相等，也滿足到E，F的距離相等，即為所求的點(diǎn)P． 【點(diǎn)睛】本題考查角平分線及垂直平分線的畫法及實(shí)際應(yīng)用，理解它們的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

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