專題5.9  分式方程（知識講解） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解分式方程的概念和檢驗(yàn)根的意義，會解可化為一元一次方程的分式方程．2. 會列出分式方程解簡單的應(yīng)用問題．【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.特別指出：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程. 要點(diǎn)二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因?yàn)榻夥质椒匠虝r(shí)可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時(shí)必須驗(yàn)根.解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡公分母）；（2）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無解. 要點(diǎn)三、解分式方程產(chǎn)生增根的原因方程變形時(shí)，可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做原方程的增根.產(chǎn)生增根的原因：去分母時(shí)，方程兩邊同乘的最簡公分母是含有字母的式子，這個(gè)式子有可能為零，對于整式方程來說，求出的根成立，而對于原分式方程來說，分式無意義，所以這個(gè)根是原分式方程的增根.特別指出：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”時(shí)產(chǎn)生的.根據(jù)方程的同解原理，方程的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不為0的數(shù)，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的兩邊都乘以的數(shù)是0，那么所得方程與原方程不是同解方程，這時(shí)求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要檢驗(yàn)根，這種檢驗(yàn)與整式方程不同，不是檢查解方程過程中是否有錯(cuò)誤，而是檢驗(yàn)是否出現(xiàn)增根，它是在解方程的過程中沒有錯(cuò)誤的前提下進(jìn)行的.要點(diǎn)四、分式方程的應(yīng)用分式方程的應(yīng)用主要就是列方程解應(yīng)用題.列分式方程解應(yīng)用題按下列步驟進(jìn)行：（1）審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）找出能夠表示題中全部含義的相等關(guān)系，列出分式方程；（4）解這個(gè)分式方程；（5）驗(yàn)根，檢驗(yàn)是否是增根；（6）寫出答案.【典型例題】類型一、判別分式方程 1、（2019·湖南邵陽市·八年級期中）在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的個(gè)數(shù)有__________．【答案】3【分析】根據(jù)分式方程的概念：分母里含有字母的方程叫做分式方程一一判斷，得出結(jié)果即可．解：方程①②分母中不含未知數(shù)，故①②不是分式方程；
方程③④⑤分母中含表示未知數(shù)的字母，故是分式方程；故答案為：3．【點(diǎn)撥】本題考查分式方程，判斷一個(gè)方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)（注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母）．舉一反三：【變式】（2019·山東濟(jì)寧市·八年級期末）下列關(guān)于x的方程①，②，③1，④中，是分式方程的是 （________）（填序號）【答案】②    【分析】分式方程 分式方程是方程中的一種，且分母里含有未知數(shù)的（有理）方程叫做分式方程，等號兩邊至少有一個(gè)分母含有未知數(shù)。【詳解】根據(jù)分式方程的定義即可判斷.符合分式方程的定義的是②.【點(diǎn)撥】本題考查的是分式方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的定義.類型二、解分式方程 2、 （2018·河南駐馬店市·八年級期末）解下列分式方程：（1）＝1               （2）【答案】（1）x＝0；（2）x＝﹣3．【分析】（1）去分母得：x（x+2）4=（x+2）（x2），解一元一次方程，然后進(jìn)行檢驗(yàn)確定原方程的解；（2）去分母得：x（x+2）=3，整理得x2+2x3=0，解一元二次方程，然后進(jìn)行檢驗(yàn)確定原方程的解．解：（1）方程兩邊同乘以（x+2）（x﹣2），約去分母得：x（x+2）﹣4＝（x+2）（x﹣2），解之得：x＝0，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝0時(shí)，（x+2）（x﹣2）≠0，∴x＝0是原方程的解，∴原分式方程的解為：x＝0；（2）方程兩邊同乘以（x﹣1）（x+2），約去分母得：x（x+2）＝3，整理得x2+2x﹣3＝0，解之得x1＝1，x2＝﹣3，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝1時(shí)，（x﹣1）（x+2）＝0，∴x＝1不是原方程的解；當(dāng)x＝﹣3時(shí)，（x﹣1）（x+2）≠0，∴x＝﹣3是原方程的解；∴原分式方程的解為：x＝﹣3．【點(diǎn)撥】本題考查了解分式方程：掌握解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論．舉一反三：【變式】（2018·四川遂寧市·八年級期末）解分式方程：．【答案】無解【解析】此題應(yīng)先將原分式方程兩邊同時(shí)乘以最簡公分母，則原分式方程可化為整式方程，解出即可．試題解析：兩邊同時(shí)乘得， 整理得        經(jīng)檢驗(yàn)：是增根，舍去，所以原方程無解．類型三、分式方程的增根和無解3、（2021·全國八年級）已知關(guān)于的分式方程．（1）若，解此分式方程；（2）若解得方程有增根，且增根為，求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）把m=1代入方程，求出方程的解并檢驗(yàn)即可；
（2）根據(jù)分式方程有增根，確定出x的值，進(jìn)而求出m的值；解：當(dāng)時(shí)，該分式方程為，方程兩邊同時(shí)乘以去分母并整理得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，故是原方程的解；方程兩邊同時(shí)乘以，去分母并整理得，當(dāng)時(shí)，，解得【點(diǎn)撥】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．舉一反三：【變式】 （2020·全國七年級專題練習(xí)）已知關(guān)于x的分式方程，(1)若方程的增根為x=1，求m的值(2)若方程有增根，求m的值(3)若方程無解，求m的值．【答案】（1）m=-6;(2) 當(dāng)x=﹣2時(shí)，m=1.5；當(dāng)x=1時(shí)，m=﹣6；（3）m的值為﹣1或﹣6或1.5【解析】 方程兩邊同時(shí)乘以最簡公分母（x-1）(x+2)，化為整式方程；（1）把方程的增根x=1代入整式方程，解方程即可得；（2）若方程有增根，則最簡公分母為0，從而求得x的值，然后代入整式方程即可得；（3）方程無解，有兩種情況，一種是原方程有增根，一種是所得整式方程無解，分別求解即可得.試題解析：方程兩邊同時(shí)乘以（x+2）（x﹣1），得2（x+2）+mx=x-1，整理得（m+1）x=﹣5，（1）∵x=1是分式方程的增根，∴1+m=﹣5，解得：m=﹣6；（2）∵原分式方程有增根，∴（x+2）（x﹣1）=0，解得：x=﹣2或x=1，當(dāng)x=﹣2時(shí)，m=1.5；當(dāng)x=1時(shí)，m=﹣6；（3）當(dāng)m+1=0時(shí)，該方程無解，此時(shí)m=﹣1；當(dāng)m+1≠0時(shí)，要使原方程無解，由（2）得：m=﹣6或m=1.5，綜上，m的值為﹣1或﹣6或1.5．【點(diǎn)撥】本題考查了分式方程無解的問題，正確的將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，明確方程產(chǎn)生無解的原因，能正確地根據(jù)產(chǎn)生的原因進(jìn)行解答是關(guān)鍵.類型四、分式方程的應(yīng)用4、（2021·山東臨沂市·八年級期末）列分式方程解應(yīng)用題：劉峰和李明相約周末去野生動(dòng)物園游玩，根據(jù)他們的談話內(nèi)容，求李明乘公交車、劉峰騎自行車每小時(shí)各行多少千米？劉峰：我查好地圖，你看看李明：好的，我家門口的公交車站，正好又一趟到野生動(dòng)物園那站的車，我坐明天8:30的車劉峰：從地圖上看，我家到野生動(dòng)物園的距離比你家近10千米，我就騎自行車去了李明：行，根據(jù)我的經(jīng)驗(yàn)，公交車的速度一般是你騎自行車速度的3倍，那你明天早上8:00從家出發(fā)，如果順利，咱倆同時(shí)到達(dá)【答案】劉峰騎自行車每小時(shí)行千米，李明乘公交車每小時(shí)行千米【分析】設(shè)劉峰騎自行車每小時(shí)行千米，則李明乘公交車每小時(shí)行千米，根據(jù)他們的行駛時(shí)間相差30分鐘列出分式方程并解答，注意分式方程的結(jié)果要檢驗(yàn)． 解：設(shè)劉峰騎自行車每小時(shí)行千米，則李明乘公交車每小時(shí)行千米，根據(jù)題意列方程得：    即解這個(gè)方程得檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，所以，是原分式方程的解，當(dāng)時(shí)，答：劉峰騎自行車每小時(shí)行千米，則李明乘公交車每小時(shí)行千米【點(diǎn)撥】本題考查分式方程的應(yīng)用，利用分式方程解應(yīng)用題時(shí)，一般題目中會有兩個(gè)相等關(guān)系，這時(shí)要根據(jù)題目所要解決的問題，選擇其中的一個(gè)相等關(guān)系作為列方程的依據(jù)，而另一個(gè)則用來設(shè)未知數(shù)．舉一反三：【變式】（2021·湖北荊州市·八年級期末）小強(qiáng)家距學(xué)校3000米，某天他步行去上學(xué)，走到路程的一半時(shí)發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，此時(shí)離上課時(shí)間還有23分鐘，于是他立刻步行回家取課本，隨后小強(qiáng)爸騎電瓶車送他去學(xué)校．已知小強(qiáng)爸騎電瓶車送小強(qiáng)到學(xué)校比小強(qiáng)步行到學(xué)校少用24分鐘，且小強(qiáng)爸騎電瓶車的平均速度是小強(qiáng)步行的平均速度的5倍，小強(qiáng)到家取課本與小強(qiáng)爸啟動(dòng)電瓶車等共用4分鐘．（1）求小強(qiáng)步行的平均速度與小強(qiáng)爸騎電瓶車的平均速度；（2）請你判斷小強(qiáng)上學(xué)是否遲到，并說明理由．【答案】（1）小強(qiáng)步行的平均速度為100米/分鐘，小強(qiáng)爸騎電瓶車的平均速度為500米/分鐘；（2）小強(qiáng)不能按時(shí)到校，將會遲到，理由見解析【分析】（1）設(shè)小強(qiáng)步行的平均速度為xm/分鐘，騎電瓶車的平均速度為5xm/分鐘，根據(jù)題意可得，小強(qiáng)爸騎電瓶車送小強(qiáng)到學(xué)校比小強(qiáng)步行到學(xué)校少用24分鐘，據(jù)此列方程求解；（2）計(jì)算出小強(qiáng)從步行回家到騎車回到學(xué)校所用的總時(shí)間，然后和23進(jìn)行比較即可．解：（1）設(shè)小強(qiáng)步行的平均速度為米/分鐘，則小強(qiáng)爸騎電瓶車的平均速度為米/分鐘，根據(jù)題意得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，且符合題意，∴，即小強(qiáng)步行的平均速度為100米/分鐘，小強(qiáng)爸騎電瓶車的平均速度為500米/分鐘；（2）由（1）得，小強(qiáng)半途步行返家所需時(shí)間為分鐘，小強(qiáng)爸騎電瓶車送小強(qiáng)到學(xué)校所需時(shí)間為分鐘，所以，從小強(qiáng)半途步行返家到小強(qiáng)爸騎電瓶車送他到學(xué)校共用時(shí)間為 分鐘分鐘，故小強(qiáng)不能按時(shí)到校，將會遲到．【點(diǎn)撥】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解，注意檢驗(yàn)．

相關(guān)學(xué)案

專題5.11 《分式與分式方程》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識講解）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)講練（北師大版）學(xué)案：

這是一份專題5.11 《分式與分式方程》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識講解）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)講練（北師大版）學(xué)案，共7頁。學(xué)案主要包含了學(xué)習(xí)目標(biāo)，知識網(wǎng)絡(luò)，要點(diǎn)梳理，典型例題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

專題5.1 認(rèn)識分式（知識講解）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)講練（北師大版）學(xué)案：

這是一份專題5.1 認(rèn)識分式（知識講解）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)講練（北師大版）學(xué)案，共12頁。學(xué)案主要包含了學(xué)習(xí)目標(biāo)，要點(diǎn)整理，例題講解等內(nèi)容，歡迎下載使用。

專題3.5 中心對稱（知識講解）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)講練（北師大版）學(xué)案：

這是一份專題3.5 中心對稱（知識講解）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)講練（北師大版）學(xué)案，共8頁。學(xué)案主要包含了知識回顧，學(xué)習(xí)目標(biāo)，要點(diǎn)梳理，典型例題，總結(jié)升華，答案與解析，解題思路等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

專題3.1 圖形的平移（知識講解）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)講練（北師大版）學(xué)案

專題3.1 圖形的平移（知識講解）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)講練（北師大版）學(xué)案
專題18.7 菱形（知識講解）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)講練（人教版）學(xué)案

專題18.7 菱形（知識講解）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)講練（人教版）學(xué)案
專題18.5 矩形（知識講解）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)講練（人教版）學(xué)案

專題18.5 矩形（知識講解）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)講練（人教版）學(xué)案
專題17.1 勾股定理（知識講解）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)講練（人教版）學(xué)案

專題17.1 勾股定理（知識講解）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)講練（人教版）學(xué)案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部