?專題三 平行線幾何模型-鉛筆頭模型（專項練習）
一、單選題
1．如圖，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，則β與α的數(shù)量關系是（?? ）

A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α
2．如圖所示，AB∥CD，則∠A+∠E+∠F+∠C等于（ ）

A．180° B．360° C．540° D．720°
3．如圖，已知，，，則的度數(shù)是（ ）

A．80° B．120°
C．100° D．140°
4．如圖，已知，則的度數(shù)是（ ）

A． B． C． D．
5．如圖，已知AB//CD，則，，之間的等量關系為（ ）

A． B．
C． D．
6．如圖，直線，在中，，點落在直線上，與直線交于點，若，則的度數(shù)為（ ）.

A．30° B．40° C．50° D．65°
7．如圖所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，則∠3的度數(shù)為(　　)

A．55° B．60° C．65° D．70°
8．如圖，兩直線、平行，則（ ）．

A． B． C． D．
9．如圖所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，應為（ ）

A． B． C． D．
10．①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線，點O在直線EF上，則．以上結論正確的個數(shù)是（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個


二、填空題
11．如圖，在五邊形中滿足，則圖形中的的值是______．

12．如圖，若直線l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°則∠2的度數(shù)為 ___．

13．如圖，直線a與∠AOB的一邊射線OA相交，∠1＝130°，向下平移直線a得到直線b，與∠AOB的另一邊射線OB相交，則∠2+∠3＝___．

14．一大門的欄桿如圖所示，BA垂直地面AE于點A，CD平行于地面AE，則∠ABC＋∠BCD＝_____．

15．如圖，一環(huán)湖公路的段為東西方向，經過四次拐彎后，又變成了東西方向的段，則的度數(shù)是______．

16．如圖，已知，那么_______度．

17．如圖，，，則的度數(shù)是_____．


三、解答題
18．綜合探究：已知，點、分別是、上兩點，點在、之間，連接、．
（1）如圖1，若，求的度數(shù)；
（2）如圖2，若點是下方一點，平分，平分，已知，求的度數(shù)．




19．如圖所示，，，，求的度數(shù).





20．已知如圖所示，，，，求的度數(shù).



21．如圖所示，直線，，，求的度數(shù).



22．（1）問題發(fā)現(xiàn)
如圖①，直線，是與之間的一點，連接，，可以發(fā)現(xiàn)：，請你寫出證明過程；
（2）拓展探究
如果點運動到圖②所示的位置，其他條件不變，求證：．
（3）解決問題
如圖③，，，，則________．（直接寫出結論，不用寫計算過程）



23．閱讀下面材料，完成（1)～（3）題．
數(shù)學課上，老師出示了這樣—道題：
如圖1，已知點分別在上，．求的度數(shù)．

同學們經過思考后，小明、小偉、小華三位同學用不同的方法添加輔助線，交流了自己的想法：
小明：“如圖2，通過作平行線，發(fā)現(xiàn)，由已知可以求出的度數(shù)．”

小偉：“如圖3這樣作平行線，經過推理，得也能求出的度數(shù)．”

小華：∵如圖4，也能求出的度數(shù)．”

(1)請你根據(jù)小明同學所畫的圖形(圖2)，描述小明同學輔助線的做法，輔助線：______；
(2)請你根據(jù)以上同學所畫的圖形，直接寫出的度數(shù)為_________°；
老師：“這三位同學解法的共同點，都是過一點作平行線來解決問題，這個方法可以推廣．”
請大家參考這三位同學的方法，使用與他們類似的方法，解決下面的問題：
(3)如圖，，點分別在上，平分若請?zhí)骄颗c的數(shù)量關系（(用含的式子表示)，并驗證你的結論．




24．（1）問題情境：如圖1，AB//CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求∠APC的度數(shù)．
小辰的思路是：如圖2，過點P作PE//AB，通過平行線性質，可求得∠APC的度數(shù)，請寫出具體求解過程．
（2）問題遷移：
①如圖3，AD//BC，點P在射線OM上運動，當點P在A，B兩點之間運動時，設∠CPD=∠，∠ADP=，∠BCP=∠，問：∠、、∠之間有何數(shù)量關系？請說明理由．
②在①的條件下，如果點P不在A，B兩點之間運動（點P與點A，B，O三點不重合），請直接寫出∠、、∠間的數(shù)量關系．










25．問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度數(shù)．


思路點撥：
小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質，可分別求出∠APE、∠CPE的度數(shù)，從而可求出∠APC的度數(shù)；
小麗的思路是：如圖3，連接AC，通過平行線性質以及三角形內角和的知識可求出∠APC的度數(shù)；
小芳的思路是：如圖4，延長AP交DC的延長線于E，通過平行線性質以及三角形外角的相關知識可求出∠APC的度數(shù)．
問題解決：請從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進行推理計算，你求得的∠APC的度數(shù)為　 　°；
問題遷移：（1）如圖5，AD∥BC，點P在射線OM上運動，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關系？請說明理由；
（2） 在（1）的條件下，如果點P在A、B兩點外側運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關系．






26．(1)同題情景：如圖1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．
小明想到一種方法，但是沒有解答完：
如圖2，過P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°，
∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°
∵AB//CD，∴PE//CD．
……
請你幫助小明完成剩余的解答．
(2)問題遷移：請你依據(jù)小明的解題思路，解答下面的問題：
如圖3，AD//BC，當點P在A、B兩點之間時，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，則∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關系？請說明理由．




27．（1）如圖1，AM∥CN，求證：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；
②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（3） 如圖2，若平行線AM與CN間有n個點，根據(jù)（1）中的結論寫出你的猜想并證明．



28．如圖，已知AB∥CD．

（1）如圖1所示，∠1+∠2＝　 ??；
（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并寫出求解過程．
（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　；
（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝　 ?。?br /> 29．AB∥CD，點P為直線AB，CD所確定的平面內的一點．
（1）如圖1，寫出∠APC、∠A、∠C之間的數(shù)量關系，并證明；
（2）如圖2，寫出∠APC、∠A、∠C之間的數(shù)量關系，并證明；
（3）如圖3，點E在射線BA上，過點E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，點G在直線CD上，作∠BEG的平分線EH交PC于點H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度數(shù)．









參考答案
1．B
【分析】
作CF//ED，利用平行線的性質求得β與α，再判斷β與α的數(shù)量關系即可．
【詳解】
解：如圖，作CF//ED，
∵AB//ED，
∴∠A+∠E=180°= α ，
∵ED//CF，
∴∠D+∠DCF=180°，
∵AB//ED，ED//CF，
∴AB//CF，
∴∠B+∠BCF=180°，

∴∠D+∠DCF+∠B+∠BCF=180°+180°
即 ∠B+∠C+∠D =360°= β?，
∴ β＝2α?．
故選B．
【點撥】本題考查了平行線的性質，熟悉運用平行線的性質是解題的關鍵．
2．C
【詳解】
解：作EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，

∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD．
∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°，
∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．
故選：C．
3．C
【分析】
過E作直線MN//AB，根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補即可求出∠1，進而可求出∠2，然后根據(jù)平行于同一條直線的兩直線平行可得MN//CD，根據(jù)平行線性質從而求出∠C．
【詳解】
解：過E作直線MN//AB，如下圖所示，

∵MN//AB，
∴∠A+∠1＝180°（兩直線平行，同旁內角互補），
∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°，
∵，
∴
∵MN//AB，AB//CD，
∴MN//CD，
∴∠C+∠2＝180°（兩直線平行，同旁內角互補），
∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°，
故選：C．
【點撥】此題考查的是平行線的判定及性質，掌握構造平行線的方法是解決此題的關鍵．
4．C
【分析】
由題意過點C作CF//AB，可得CF//ED，進而利用平行線的性質進行分析計算即可．
【詳解】
解：過點C作CF//AB，

∵CF//AB，，
∴CF//ED，
∴∠1+∠ACF=180°，∠FCD+∠3=180°,
∵∠2=∠FCD+∠ACF,
∴=∠1+∠ACF +∠FCD+∠3=180°+180°=360°．
故選：C．
【點撥】本題考查平行線的性質，注意掌握兩直線平行時，巧妙構造輔助線，熟練運用平行線的性質，由兩直線平行的關系得到角之間的數(shù)量關系，從而達到解決問題的目的．
5．C
【分析】
過點E作EF∥AB，則EF∥CD，然后通過平行線的性質求解即可．
【詳解】
解：過點E作EF∥AB，則EF∥CD，如圖，
????
∵AB∥EF∥CD，
∴∠γ+∠FED=180°，
∵∠ABE+∠FEB=180°，∠ABE=∠α，∠FED+∠FEB=∠β，
∴∠γ+∠FED+∠ABE+∠FEB=360°，
∴∠α+∠β+∠γ=360°，
故選：C．
【點撥】本題主要考查了平行線的性質，正確作出輔助線是解答此題的關鍵．
6．B
【分析】
由題意過點B作直線，利用平行線的判定定理和性質定理進行分析即可得出答案．
【詳解】
解：如圖，過點B作直線，

∵直線m//n，，
∴，
∴∠2+∠3=180°，
∵∠2=130°，
∴∠3=50°，
∵∠B=90°，
∴∠4=90°-50°=40°，
∵，
∴∠1=∠4=40°．
故選：B．
【點撥】本題主要考查平行線的性質定理和判定定理，熟練掌握兩直線平行，平面內其外一條直線平行于其中一條直線則平行于另一條直線是解答此題的關鍵．
7．C
【分析】
首先過點A作AB∥l1，由l1∥l2，即可得AB∥l1∥l2，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補，即可求得∠4與∠5的度數(shù)，又由平角的定義，即可求得∠3的度數(shù)．
【詳解】



過點A作AB∥l1，
∵l1∥l2，
∴AB∥l1∥l2，
∴∠1+∠4=180,∠2+∠5=180，
∵∠1=105,∠2=140 ，
∴∠4=75,∠5=40，
∵∠4+∠5+∠3=180，
∴∠3=65.
故答案選：C.
【點撥】本題考查的知識點是平行線的性質，解題的關鍵是熟練的掌握平行線的性質.
8．D
【詳解】
分別過E點,F點,G點,H點作L1,L2,L3,L4平行于AB

觀察圖形可知，圖中有5組同旁內角，
則
故選D
【點撥】本題考查了平行線的性質，添加輔助線是解題的關鍵
9．C
【分析】
過C作CD∥AB，過M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根據(jù)平行線的性質得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．
【詳解】
過C作CD∥AB，過M作MN∥EF，
∵AB∥EF，
∴AB∥CD∥MN∥EF，
∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，
∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，
∴=∠BCD+∠DCM=，
故選：C．

【點撥】本題考查了平行線的性質的應用，主要考查了學生的推理能力．
10．B
【分析】
如圖1所示，過點E作EF//AB，由平行線的性質即可得到∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，則∠A+∠C+∠AEC=360°，故①錯誤；如圖2所示，過點P作PE//AB，由平行線的性質即可得到∠A=∠APE=180°，∠C=∠CPE，再由∠APC=∠APE=∠CPE，即可得到∠APC=∠A-∠C，即可判斷②；如圖3所示，過點E作EF//AB，由平行線的性質即可得到∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，再由∠AEF+∠CEF=∠AEC，即可判斷③ ；由平行線的性質即可得到，，再由，即可判斷④．
【詳解】
解：①如圖所示，過點E作EF//AB，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EF，
∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
∴∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=360°，
又∵∠AEF+∠CEF=∠AEC，
∴∠A+∠C+∠AEC=360°，故①錯誤；

②如圖所示，過點P作PE//AB，
∵AB//CD，
∴AB//CD//PE，
∴∠A=∠APE=180°，∠C=∠CPE，
又∵∠APC=∠APE=∠CPE，
∴∠APC=∠A-∠C，故②正確；

③如圖所示，過點E作EF//AB，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EF，
∴∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，
又∵∠AEF+∠CEF=∠AEC，
∴180°-∠A+∠1=∠AEC，故③錯誤；

④∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，故④正確；
故選B
【點撥】本題主要考查了平行線的性質，解題的關鍵在于能夠熟練掌握平行線的性質
11．85
【分析】
根據(jù)平行線的性質先求∠B的度數(shù)，再根據(jù)五邊形的內角和公式求x的值即可．
【詳解】
解：∵AB∥CD，∠C＝60°，
∴∠B＝180°?∠C＝120°．
∴（5?2）×180°＝x°＋150°＋125°＋60°＋120°．
∴x＝85．
故答案為：85．
【點撥】本題主要考查多邊形的內角和，熟練掌握平行線的性質和多邊形內角和定理是解題的關鍵．
12．150°
【分析】
延長AB交l2于E，根據(jù)平行線的判定可得AB∥CD，根據(jù)平行線的性質先求得∠3的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質求得∠2的度數(shù)．
【詳解】
解：延長AB交l2于E，
∵∠α=∠β，
∴AB∥CD，
∴∠2+∠3=180°
∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=30°，
∴∠2=180°-∠3=150°．
故答案為：150°．

【點撥】本題考查了平行線的性質和判定，熟練掌握平行線的性質和判定定理是解題的關鍵．
13．
【分析】
過點O作，利用平移的性質得到，可得判斷，根據(jù)平行線的性質得，，可得到，從而得出的度數(shù)．
【詳解】
解：過點O作，
∵直線a向下平移得到直線b，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案為：．

【點撥】本題考查了平移的性質，平行線的性質，過拐點作已知直線的平行線是解題的關鍵．
14．270°
【分析】
過B作BF∥AE，則CD∥BF∥AE．根據(jù)平行線的性質即可求解．
【詳解】
過B作BF∥AE，
∵CD∥ AE，
則CD∥BF∥AE，

∴∠BCD+∠1=180°，
又∵AB⊥AE，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF=90°，
∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．
故答案為：270．
【點撥】本題主要考查了平行線的性質，兩直線平行，同旁內角互補．正確作出輔助線是解題的關鍵．
15．540°
【分析】
分別過點C，D作AB的平行線CG，DH，進而利用同旁內角互補可得∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E的大?。?br /> 【詳解】
解：如圖，根據(jù)題意可知：AB∥EF，
分別過點C，D作AB的平行線CG，DH，
所以AB∥CG∥DH∥EF，
則∠B＋∠BCG＝180°，∠GCD＋∠HDC＝180°，∠HDE＋∠DEF＝180°，
∴∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠HDC＋∠HDE＋∠DEF＝180°×3＝540°，
∴∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°．
故答案為：540°．

【點撥】考查了平行線的性質，解題的關鍵是作輔助線，利用平行線的性質計算角的大?。?br /> 16．540
【分析】
分別過E、F作AB的平行線，運用平行線的性質求解．
【詳解】
作EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥CD．
∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°，
∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．
故答案為540°．
【點撥】此題考查平行線的性質，解題關鍵在于作輔助線，充分運用平行線的性質探求角之間的關系．
17．
【分析】
直接作出，再利用平行線的性質分析得出答案．
【詳解】
作，
∵，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
故答案為．

【點撥】本題考查了平行線的判定與性質，正確得出，是解題關鍵．
18．（1）90°；（2）120°
【分析】
（1）過作，根據(jù)平行線的傳遞性、兩直線平行內錯角相等解題；
（2）過作，過點作，根據(jù)兩直線平行，內錯角相等性質解得，再根據(jù)角平分線性質，求得，最后再用平行線定理解題，證明，進而計算的值即可．
【詳解】
解：（1）如圖1，過作，
，

，


圖1
（2）如圖2，過作，過點作設
，，

，
，，

平分，平分，

，
，

平分，
，
，
，，
，，

圖2
【點撥】本題考查平行線的定理、角平分線的性質等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．
19．.
【分析】
根據(jù)平行線的性質，由靴子圖ABEFC知，，，由靴子圖知，，
又因為，得到，所以.
【詳解】
因為，結合題意，由靴子圖ABEFC知，，，由靴子圖知，，
，
即，
，
【點撥】本題考查平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質.
20．56°.
【分析】
由平行線的性質可知，由三角形鄰補角可得，帶入題干信息即可得出答案.
【詳解】
由平行線的性質可知，由三角形鄰補角以及鳥嘴圖DCEFBA知.
【點撥】本題考查平行線的性質，知道同位角相等時解題的關鍵.
21．.
【分析】
作，得，由題意得，又因為，得到，即.
【詳解】
如圖，作，易證，由筆尖圖TABDS知，，又因為，所以，所以
.
【點撥】本題考查平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵.
22．（1）見解析；（2）見解析；（3）
【分析】
（1）根據(jù)平行判定得到，利用平行線的性質得，，得到，即可求證出答案；
（2）類比（1），過點E作EF∥AB，然后根據(jù)平行線的判定和性質即可求證出答案；
（3）類比，過點作，根據(jù)平行判定得到，再根據(jù)平行的性質得：，，根據(jù)角與角的關系求得：，則可求出答案．
【詳解】
（1）證明：如圖①，過點作，

∵（已知），（輔助線的作法）.
∴（平行于同一直線的兩直線平行），
∴（兩直線平行，內錯角相等）.
∵，
∴，
∴（等量代換）
即.
（2）證明：如圖②，過點作，

∵（已知），（輔助線的作法）.
∴（平行于同一直線的兩直線平行）.
∴，，
∴，
∴.
（3）解：如圖③，過點作，

∵（已知），（輔助線的作法），
∴（平行于同一直線的兩直線平行），
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴.
故答案為：.
【點撥】本題考查平行線的判定和性質，解題的關鍵是作出輔助線，靈活運用平行判斷以及平行線的性質找到角與角之間的關系．
23．（1）過點作；（2）30；（3）．
【分析】
（1）根據(jù)圖中所畫虛線的位置解答即可；
（2）過點作，根據(jù)平行線的性質可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，進而可得答案；
（3）設，過點作，根據(jù)平行線的性質可得，，進而根據(jù)角的和差關系即可得答案．
【詳解】
（1）由圖中虛線可知PQ//AC，
∴小明同學輔助線的做法為過點作，
故答案為：過點作
（2）如圖2，過點作，
∵AB//CD，
∴PQ//AB//CD，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵EP⊥FP，
∴∠EPF=∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=60°，
∴∠2=30°，
故答案為：30

（3）如圖，設，過點作，





∵

，即．

【點撥】本題考查平行線的性質，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質是解題關鍵．
24．(1)110°；（2）①；②或
【分析】
（1）過點P作PE//AB，可得PE//CD，所以由平行線的性質可以求得和的度數(shù)，進一步可以得到的度數(shù)；
（2）分別過P作PQ//AD，則可得PQ//BC，再由平行線的性質和角的加減運算可以得解．
【詳解】
解：（1）如圖，過點P作PE//AB，則由平行線的性質可得PE//CD，所以：

，所以：
，
所以，；
（2）①，理由如下：
如圖，過P作PQ//AD交DC于Q，則由平行線的性質得PQ//BC，所以：

，
∵，∴；
②分兩種情況討論：
第一種情況，P在射線AM上，如圖，過P作PQ//AD交射線DN于Q，則由平行線的性質得PQ//BC，所以：

；
第二種情況，點P在OB之間，如圖，過P作PQ//AD交射線OD于Q，則由平行線的性質得PQ//BC，所以：


【點撥】本題考查平行線性質的綜合應用，在添加輔助線的基礎上靈活應用平行線的性質和角的加減運算是解題關鍵．
25．問題解決：110°；問題遷移：（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由見解析；（2）∠CPD＝∠β﹣∠α，理由見解析
【分析】
小明的思路是：過P作PE∥AB，構造同旁內角，利用平行線性質，可得∠APC＝110°．
（1）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（2）畫出圖形（分兩種情況：①點P在BA的延長線上，②點P在AB的延長線上），根據(jù)平行線的性質得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
【詳解】
解：小明的思路：如圖2，過P作PE∥AB，

∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，
∴∠APC＝50°+60°＝110°，
故答案為：110；
（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如圖5，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；

（2）當P在BA延長線時，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如圖6，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；

當P在BO之間時，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如圖7，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．

【點撥】本題考查了三角形的內角和定理，平行線的性質，主要考查學生的推理能力，解決問題的關鍵是作輔助線構造內錯角以及同旁內角．
26．(1) 110°，剩余解答見解析；(2) ∠CPD=∠α+∠β，理由見解析
【分析】
(1)過P作PE∥AB，構造同旁內角，通過平行線性質，可得∠APC=50°+60°=110°
(2)過P作PE∥AD交CD于E點，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線性質得到∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案.
【詳解】
解：(1)剩余過程：∠CPE+∠PCD=180°，
∴∠CPE=180°-120°=60°
∠APC=50°+60°=110°；
故答案為：110°.
(2)∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如下圖，過P作PE∥AD交CD于點E，

∵AD∥BC
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β
故答案為：∠CPD=∠α+∠β.
【點撥】本題考查了平行線的性質和判定的應用，主要考察學生的推理能力，解決問題的關鍵是作輔助線構造內錯角以及同旁內角.
27．（1）①詳見解析；②詳見解析；（2）猜想：若平行線間有n個點，則所有角的和為（n+1）?180°，證明詳見解析
【分析】
（1）①過點作BG∥AM，則AM∥CN∥BG，依據(jù)平行線的性質，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到結論；②過E作EP∥AM，過F作FQ∥CN，依據(jù)平行線的性質，即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到結論；（2）過n個點作AM的平行線，則這些直線互相平行且與CN平行，即可得出所有角的和為（n+1）?180°．
【詳解】
解：（1）①證明：如圖1，過點作BG∥AM，則AM∥CN∥BG
∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°
∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°
∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°

②如圖，過E作EP∥AM，過F作FQ∥CN，
∵AM∥CN，∴EP∥FQ，
∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°
∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；
（2）猜想：若平行線間有n個點，則所有角的和為（n+1）?180°．
證明：如圖2，過n個點作AM的平行線，則這些直線互相平行且與CN平行，
∴結合（1）問得：
所有角的和為（n+1）?180°．

【點撥】本題主要考查了平行線的性質，解決問題的關鍵是作平行線，利用兩直線平行，同旁內角互補得出結論．
28．（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°
【分析】
（1）由兩直線平行，同旁內角互補，可得答案；
（2）過點E作AB的平行線，轉化成兩個圖1，同理可得答案；
（3）過點E，點F分別作AB的平行線，轉化成3個圖1，可得答案；
（4）由（2）（3）類比可得答案．
【詳解】
解：（1）如圖1，∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°（兩直線平行，同旁內角互補）．
故答案為：180°；
（2）如圖2，過點E作AB的平行線EF，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；

（3）如圖3，過點E，點F分別作AB的平行線，
類比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，
故答案為：540°；
（4）如圖4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，
故答案為：（n-1）×180°．
【點撥】此題考查了平行線的性質．注意掌握輔助線的作法是解此題的關鍵．
29．（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，證明詳見解析；（2）∠APC＝∠A?∠C，證明詳見解析；（3）55°．
【分析】
（1）首先過點P作PQ∥AB，結合題意得出AB∥PQ∥CD，然后由“兩直線平行，同旁內角互補”進一步分析即可證得∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）作PQ∥AB，結合題意得出AB∥PQ∥CD，根據(jù)“兩直線平行，內錯角相等”進一步分析即可證得∠APC＝∠A?∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB?∠PCD，先利用平行線性質得出∠BEF＝∠PQB＝110°，然后進一步得出∠PEG＝∠FEG，∠GEH＝∠BEG，最后根據(jù)∠PEH＝∠PEG?∠GEH即可得出答案．
【詳解】
（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，證明如下：
如圖1所示，過點P作PQ∥AB，

∴∠A+∠APQ＝180°，
又∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C+∠CPQ＝180°，
∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，
即∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）∠APC＝∠A?∠C，證明如下：
如圖2所示，過點P作PQ∥AB，

∴∠A＝∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C＝∠CPQ，
∵∠APC＝∠APQ?∠CPQ，
∴∠APC＝∠A?∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB?∠PCD，
∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，
∴∠PCD＝110°，
∵AB∥CD，
∴∠PQB＝∠PCD＝110°，
∵EF∥PC，
∴∠BEF＝∠PQB＝110°，
∵∠PEG＝∠PEF，
∴∠PEG＝∠FEG，
∵EH平分∠BEG，
∴∠GEH＝∠BEG，
∴∠PEH＝∠PEG?∠GEH
＝∠FEG?∠BEG
＝∠BEF
＝55°．
【點撥】本題主要考查了利用平行線性質與角平分線性質求角度的綜合運用，熟練掌握相關概念是解題關鍵

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