專題5.1  認識分式（知識講解） 【學習目標】 理解分式的概念，明確一個代數(shù)式是分式的條件； 能求出使分式有意義、分式無意義、分式值為0的條件. 【要點整理】要點一、分式的概念一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.分式與分數(shù)的類比理解：1、分式的形式和分數(shù)類似，但它們是有區(qū)別的.分數(shù)是整式，不是分式，分式是兩個整式相除的商.分式的分母中含有字母；分數(shù)的分子、分母中都不含字母.2、分式與分數(shù)是相互聯(lián)系的：由于分式中的字母可以表示不同的數(shù)，所以分式比分數(shù)更具有一般性；分數(shù)是分式中字母取特定值后的特殊情況.3、分母中含有字母是分式的一個重要標志，判斷一個代數(shù)式是否是分式不能先化簡，如是分式，與有區(qū)別，是整式，即只看形式，要點二、分式有意義，無意義或等于零的條件    1.分式有意義的條件：分母不等于零.2.分式無意義的條件：分母等于零.3.分式的值為零的條件：分子等于零且分母不等于零.特別指出（1）分式有無意義與分母有關(guān)但與分子無關(guān)，分式要明確其是否有意義，就必須分析、討論分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值為零. （2）本章中如果沒有特殊說明，所遇到的分式都是有意義的，也就是說分式中分母的值不等于零.（3）必須在分式有意義的前提下，才能討論分式的值.【例題講解】類型一、分式的概念 1、（2021·新鄉(xiāng)市第二十二中學八年級月考）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是分式的有______________，是整式的有_____________．（只填序號）【答案】①③⑤⑥    ②④⑦    【分析】判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則是整式．解：是分式的有：，，，，是整式的有：，，．故答案為：①③⑤⑥，②④⑦．【點撥】本題主要考查分式和整式的定義，注意π不是字母，是常數(shù)，所以不是分式，是整式．舉一反三：【變式】（2020·全國八年級課時練習）在，0,，，，中，是整式的有__________；是分式的有__________．【答案】，0，，    ，     【分析】根據(jù)整式和分式的定義即可解答.形如，A、B是整式，B中含有字母，這樣的式子叫分式．注意不是字母．解：整式有，0，，；分式有，.故答案是: ，0，，；，．【點撥】本題主要考查的是分式和整式的定義，掌握分式和整式的定義是解題的關(guān)鍵． 類型二、分式有意義，分式值為0，分式無意義2．（2020·南通市東方中學八年級月考）分式的值為0，則______________．【答案】3【分析】要使分式的值為0，必須分式分子的值為0并且分母的值不為0．解：要使分式由分子．解得：或3；而時，分母；當時分母，分式?jīng)]有意義．所以的值為3．故答案為：3．【點撥】本題主要考查了分式的值為零的條件，要注意分母的值一定不能為0，分母的值是0時分式?jīng)]有意義．舉一反三：【變式】（2020·江蘇南通市·南通田家炳中學八年級月考）若分式的值為零，則x的值為__________．【答案】-3【分析】根據(jù)分式的值為零的條件，分子為0且分母不為0即可求出x的值．解：由分式的值為零的條件得，，∴x=±3且x≠3且x≠-1，∴x=-3時，分式的值為0．故答案為：-3．【點撥】本題考查了分式值為0的條件，若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可．3．（2020·江蘇南通市·八年級期中）要使式子有意義，則x的取值范圍為________．【答案】且【分析】根據(jù)分式有意義的條件列式求解即可．解：∵式子有意義，∴ ∴且∴且故答案為：且．【點撥】此題主要考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件是解答此題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2020·內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學附屬秋實中學八年級期中）要使分式有意義，則x的取值范圍為_____．【答案】且 根據(jù)分式的分母不能為0，可得答案． 解：1+x≠0，1+≠0，x≠﹣1，x≠﹣2故答案為：x≠﹣1且x≠﹣2．【點撥】本題考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．4．（2021·全國九年級專題練習）若分式的值不存在，則__________．【答案】-1【分析】根據(jù)分式無意義的條件列出關(guān)于x的方程，求出x的值即可．解：∵分式的值不存在，∴x+1=0，
解得：x=-1，
故答案為：-1．【點撥】本題考查的是分式無意義的條件，熟知分式無意義的條件是分母等于零是解答此題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2019·山東泰安市·八年級期中）已知當x=-2時，分式無意義，當x=4時，此分式的值為0，則的值為____．【答案】16【分析】根據(jù)分式無意義時分母的值為0，分式的值為0時，分式分子的值為0并且分母的值不為0求解即可解：∵當x=-2時，分式無意義，∴分母x-a=-2-a=0則a=-2．∵當x=4時，此分式的值為0，∴分子x-b=0得4-b=0解得：b=4．∴；故答案為16．【點撥】分式分母的值為0時分式?jīng)]有意義，要使分式的值為0，必須分式分子的值為0并且分母的值不為0類型三、求分式的值5、（2020·浙江金華市·）已知，則________．【答案】13【分析】把已知等式兩邊分別平方適當變形后，再將所求代數(shù)式展開整體代入求解．解：∵，∴，即，∴，故答案為：13．【點撥】此題主要考查了分式的求值以及完全平方公式，正確運用公式是解題關(guān)鍵． 舉一反三：【變式】（2021·上海長寧區(qū)·九年級一模）已知，那么的值為_______________．【答案】【分析】根據(jù)已知得到，代入所求式子中計算即可．解：∵，∴ ，∴：故答案為：-3．【點撥】本題考查了求分式的值，利用已知得到后再整體代入是解題的關(guān)鍵． 6、（2021·全國八年級）已知，則=____．【答案】22【分析】根據(jù)m2﹣5m+1=0可得m+=5，5m=m2+1，然后將原分式適當變形后整體代入計算即可．解：∵m2﹣5m+1=0，∴m﹣5+=0，5m=m2+1，∴m+=5，∴2m2﹣5m+=2m2﹣m2﹣1+=m2+﹣1=（m+）2﹣3=52﹣3=25﹣3=22．故答案為：22．【點撥】本題考查分式的求值．掌握整體代入思想是解題關(guān)鍵．在本題中還需理解．類型四、分式的值為正、負時求參數(shù)的取值范圍7、（2020·北京海淀區(qū)·人大附中八年級月考）若分式的值為正，則的取值范圍是__________．【答案】【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)即可求出答案．解：，，，故答案為：.【點撥】本題考查分式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．舉一反三：【變式】（2019·重慶一中八年級月考）若分式的值為負數(shù)，則的取值范圍是_________．【答案】【分析】由分式的值為負數(shù)，而分母為正數(shù)，則分子，再解不等式即可得解．解：∵的值為負數(shù)∴∵∴∴．故答案是：【點撥】本題考查了分式的值，從分式的整體先判斷，再到局部，解題的關(guān)鍵是得到關(guān)于的不等式．舉一反三：【變式】（2019·四川成都市·樹德中學八年級期中）若分式值為正，應(yīng)滿足的條件：__________．【答案】x＞5或x＜-3.【分析】由分式值為正可知分子和分母同號，有兩種情況：同正或同負，據(jù)此列出不等式組，解不等式組即可求出答案．解：由題意可知：或，∴x＞5或x＜-3
故答案為：x＞5或x＜-3.【點撥】本題考查分式的值的正負問題及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出不等式組，本題屬于基礎(chǔ)題型．類型五、分式的值為整數(shù)8（2020·江蘇南通市·南通第一初中八年級月考）若分式的值為正整數(shù)，則_____________．【答案】0【分析】先把分式進行因式分解，然后約分，再根據(jù)分式的值是正整數(shù)，得出的取值，從而得出的值．解：，要使的值是正整數(shù)，則分母必須是2的約數(shù)，
即或，
則或1(舍去)，
故答案為：．【點撥】本題考查了分式的化簡、分式的值；掌握分式的化簡，根據(jù)分式的值為正整數(shù)．利用約數(shù)的方法進行分析是解決問題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2018·浙江杭州市·七年級期末）已知為整數(shù)，且分式的值為整數(shù)，則可取的值為________．【答案】或或或【分析】先化簡得到原式＝，然后利用整數(shù)的整除性得到?3只能被?1，1，3，?3這幾個整數(shù)整除，從而得到m的值．解：．為整數(shù)，且的值為整數(shù)，，．當時，；當時，；當時，；當時，．故答案為：0或2或?2或?4．【點撥】此題主要考查了分式的化簡求值問題，注意化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟，解答此題的關(guān)鍵是判斷出m?1可以取的值有哪些．類型六、分式中的規(guī)律題9、（2021·和平區(qū)·天津一中八年級期末）觀察給定的分式，探索規(guī)律：（1），，，，…其中第6個分式是__________；（2），，，，…其中第6個分式是__________；（3），，，，…其中第n個分式是__________（n為正整數(shù)）．【答案】            【分析】（1）分子是連續(xù)正整數(shù)，分母是以x為底，指數(shù)是連續(xù)正整數(shù)，第六個分式的分子是6，分母是 x6（2）分子是以x為底，指數(shù)是連續(xù)偶數(shù)，分母是以y為底，指數(shù)是連續(xù)奇數(shù)，第奇數(shù)個分式符號是正，第偶數(shù)個分式符號為負，第六個分式是負號，分子是x12，分母是 y11,（3）分子是以b為底，第一個指數(shù)是2，以后依次加3，所以第n個指數(shù)是3n-1；分母是以a為底，指數(shù)是連續(xù)正整數(shù)，第奇數(shù)個分式符號是負，第偶數(shù)個分式符號為正，第n個分式的符號是（-1）n, 分子是b3n-1，分母是 an,解：（1）分子是連續(xù)正整數(shù)，分母是以x為底，指數(shù)是連續(xù)正整數(shù)，所以，第六個分式是，（2）分子是以x為底，指數(shù)是連續(xù)偶數(shù)，分母是以y為底，指數(shù)是連續(xù)奇數(shù)，第奇數(shù)個分式符號是正，第偶數(shù)個分式符號為負，所以，第六個分式是，（3）分子是以b為底，第一個指數(shù)是2，以后依次加3，所以第n個指數(shù)是3n-1；分母是以a為底，指數(shù)是連續(xù)正整數(shù)，第奇數(shù)個分式符號是負，第偶數(shù)個分式符號為正，第n個符號為（-1）n，所以，第六個分式是【點撥】本題考查了數(shù)字之間的規(guī)律，連續(xù)正整數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)和依次遞增3的數(shù)字規(guī)律，包括符號依次變化規(guī)律，熟練掌握特殊數(shù)字之間的規(guī)律是解題關(guān)鍵舉一反三：【變式1】（2019·貴州銅仁市·九年級期末）已知一列分式，，，，,,…，觀察其規(guī)律，則第n個分式是_______．【答案】【分析】分別找出符號，分母，分子的規(guī)律，從而得出第n個分式的式子．解：觀察發(fā)現(xiàn)符號規(guī)律為：正負間或出現(xiàn)，故第n項的符號為：分母規(guī)律為：y的次序依次增加2、3、4等等，故第n項為：=分子規(guī)律為：x的次數(shù)為對應(yīng)項的平方加1，故第n項為：故答案為：．【點撥】本題考查找尋規(guī)律，需要注意，除了尋找數(shù)字規(guī)律外，我們還要尋找符號規(guī)律．舉一反三：【變式2】（2020·廣東揭陽市·八年級期末）已知，·……，(即當為大于的奇數(shù)時，；當為大于的偶數(shù)時，），按此規(guī)律，_______________________．【答案】【分析】根據(jù)Sn數(shù)的變化找出Sn的值每6個一循環(huán)，結(jié)合2020＝336×6+4，即可得出S2020＝S4，此題得解．解：S1＝，S2＝﹣S1﹣1＝﹣﹣1＝﹣，S3＝＝﹣，S4＝﹣S3﹣1＝﹣1＝﹣，S5＝＝﹣（a+1），S6＝﹣S5﹣1＝（a+1）﹣1＝a，S7＝＝，…，∴Sn的值每6個一循環(huán)．∵2020＝336×6+4，∴S2020＝S4＝﹣故答案為：﹣【點撥】本題考查了規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)數(shù)值的變化找出Sn的值，每6個一循環(huán)是解題的關(guān)鍵．

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