專題1.12 《三角形的證明》專題練習(xí)（基礎(chǔ)篇）一、單選題1．如果一個等腰三角形的周長為17cm，一邊長為5cm，那么腰長為（   ）A．5cm B．6cm C．7cm D．5cm或6cm2．如圖，DE是AC的垂直平分線，CE=5，△BDC的周長為15，則△ABC的周長是（　　　）A．15 B．20 C．25 D．303．如圖，上午8時，一艘船從處出發(fā)以15海里/時的速度向正北航行，11時到達(dá)處，從、兩點(diǎn)望燈塔，測得，，則處到燈塔的距離為（    ）．A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．45海里4．下列長度的三條線段，能組成直角三角形的是（   ）A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，12，135．如圖，△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E，且∠DAE＝20°，則∠BAC＝（　　）A．100° B．120° C．150° D．160°6．如圖，在中，，為邊上的中線，，則的度數(shù)為（    ）．A．55° B．65° C．75° D．45°7．到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是（　?。?/span>A．三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條高所在直線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三條中線的交點(diǎn)8．等腰三角形周長為36cm，兩邊長之比為，則底邊長為（    ）A．16cm B．4cm C．4cm或24cm D．16cm或4cm9．如果用，a、b、c表示的三邊，那么分別滿足下列條件的三角形中，直角三角形有（    ）①b2＝c2﹣a2；②a：b：c＝3：4：5；③∠C＝∠A﹣∠B；④∠A：∠B：∠C＝12：13：15A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．如圖，在中，，BD是角平分線，若，，則點(diǎn)到的距離是（　　　）
 A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm11．如圖所示，，均為正三角形，連接，交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則下面結(jié)論錯誤的是（    ）A． B． C． D．12．如圖，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上， PC⊥OA于點(diǎn)C, ∠AOB=30°，點(diǎn)D在邊OB上，且OD=DP=2．則線段PC的長度為（　?。?/span>A．3 B．2 C．1 D．13．一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)A在延長線上，已知：，，那么的度數(shù)為（    ）A． B． C． D．14．已知實(shí)數(shù)a，b為的兩邊，且滿足，第三邊，則第三邊c上的高的值是   A． B． C． D．15．如圖所示，D 為 BC 上一點(diǎn)，且 AB＝AC＝BD，則圖中∠1 與∠2 的關(guān)系是（    ）A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝180° C．∠1+3∠2＝180° D．3∠2﹣∠1＝180°  二、填空題16．如圖，AC＝BC＝10 cm，∠B＝15°，若AD⊥BD于點(diǎn)D，則AD的長為____________．17．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D．若BC=28，則BD的長為____．18．如圖，已知AB＝AC，AD是△ABC的中線，∠B＝30°，那么∠CAD＝_____°．19．如圖，為直角三角形，，于點(diǎn)，與相等的角是__________．20．若等腰三角形的一個內(nèi)角為，則其底角為________．21．如圖，在△ABC中，已知∠B=∠C，則可判定AB=AC的依據(jù)是________；22．若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，腰長為6，則這個等腰三角形的底角度數(shù)是____________．23．如圖，在四邊形ABCD中，連接BD，∠A=90°，AD=6，∠ABD=∠CBD．若BC=13，則S△DBC=_______．24．如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線DE交CA的延長線于點(diǎn)E，垂足為D，∠CBE=69°.則∠C=________°.25．若等邊的邊長為，那么的面積為______． 三、解答題26．如圖，在直角中，，的平分線交于點(diǎn)，若垂直平分，求的度數(shù)．27．如圖，為任意三角形，以邊、為邊分別向外作等邊三角形和等邊三角形，連接、并且相交于點(diǎn)．求證：（1）；（2）．28．如圖，AD是的高，AD垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)E，F．求證：．若，求AB的長．
參考答案1．D【分析】此題分為兩種情況：5cm是等腰三角形的底邊長或5cm是等腰三角形的腰長，然后進(jìn)一步根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析能否構(gòu)成三角形．解：當(dāng)5cm是等腰三角形的底邊時，則其腰長是（17?5）÷2＝6（cm），能夠組成三角形；當(dāng)5cm是等腰三角形的腰時，則其底邊是17?5×2＝7（cm），能夠組成三角形．故該等腰三角形的腰長為：6cm或5cm．故選：D．2．C【分析】由DE是AC的垂直平分線， 可得：， ，再利用線段的和差與三角形的周長公式可得答案．解： DE是AC的垂直平分線， 故選：3．D【分析】由上午8時，一條船從海島A出發(fā)，以15海里的時速向正北航行，11時到達(dá)海島B處，可求得AB的長，又由∠NAC=42°，∠NBC=84°，可得∠C=∠NAC，即可證得BC=AB，則可得從海島B到燈塔C的距離．解：根據(jù)題意得：AB=3×15=45（海里），∵∠NAC=42°，∠NBC=84°，∴∠C=∠NBC-∠NAC=42°，∴∠C=∠NAC，∴BC=AB=45（海里）．即從海島B到燈塔C的距離是45海里．故選：D．4．D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a+b=c，那么這個三角形就是直角三角形進(jìn)行分析即可．解：A：3+4=25≠8，不能組成直角三角形，不符合題意；B：5+6=61≠10，不能組成直角三角形，不符合題意；C：5+5=50≠11，不能組成直角三角形，不符合題意；D：5+12=169≠13，可以組成直角三角形，符合題意．故選：D．5．A【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，EA＝EC，得到∠B＝∠DAB和∠C＝∠EAC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算得到答案．解：∵DM是線段AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴∠B＝∠DAB，同理∠C＝∠EAC，∵∠B＋∠DAB＋∠C＋∠EAC＋∠DAE＝180°，∴∠DAB＋∠EAC＝80°，∴∠BAC＝100°，故選：A．6．B【分析】首先根據(jù)三角形的三線合一的性質(zhì)得到AD⊥BC，然后根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得到答案即可．解：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠B=25°，∴∠BAD=65°，故選：B．7．C【分析】根據(jù)角平分線的判定定理可得：到三角形三邊距離相等的點(diǎn)應(yīng)在三角形三個內(nèi)角的角平分線上，即可得出結(jié)論．解：如圖，∵OG⊥AB，OF⊥AC，OG＝OF，∴點(diǎn)O在∠A的平分線上，同理可證：點(diǎn)O在∠B的平分線上，點(diǎn)O在∠C的平分線上，即O是三條角平分線的交點(diǎn)，故選：C．8．B【分析】題中只給出了兩邊之比，沒有明確說明哪個是底哪個是腰，所以應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析，再結(jié)合三角形三邊的關(guān)系將不合題意的解舍去．解：因?yàn)閮蛇呴L之比為4:1，所以設(shè)較短一邊為z則另一邊為4z ，(1)假設(shè) z 為底邊，4z為腰；則8z+z=36,4即底邊為4；(2)假設(shè) z 為腰，4z為底邊，則2z+4z=36，z=6，4z=24；6+6<24， 該假設(shè)不成立，所以等腰三角形的底邊為4cm．故選 B．9．C【分析】利用勾股定理逆定理和三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可．解：①b2＝c2﹣a2，可以變形為b2+a2＝c2，是直角三角形；②∵a：b：c＝3：4：5，∴設(shè)a＝3x，b＝4x，c＝5x，∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，∴a2+b2＝c2，∴是直角三角形；③∵∠C＝∠A﹣∠B，∴∠C+∠B＝∠A，∵∠C+∠B+∠A＝180°，∴∠A＝90°，∴是直角三角形；④∵∠A：∠B：∠C＝12：13：15，∴設(shè)∠A＝×180°≠90°∴不是直角三角形；則直角三角形有3個，故選：C．10．C【分析】過D點(diǎn)作DE⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可．解： ∵，，∴CD＝10×＝4cm，∵BD是角平分線，∠C＝90°，過D點(diǎn)作DE⊥AB，∴點(diǎn)D到AB的距離DE=CD＝4cm，故選：C．
 11．B【分析】由等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)分別對各項(xiàng)進(jìn)行分析即可．解：，均為正三角形，，故A正確；在與中，，故B錯誤；，故C正確；，故D正確，故選：B．12．C【分析】過點(diǎn)P作PE⊥OB于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得PE=PC，再根據(jù)直角三角形30°所對的邊等于斜邊的一半可得．解：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥OB于E，∵∠AOB=30°,點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，∴∠AOP=∠POB=15°，∵OD=DP=2，∴∠OPD=∠POB=15°，∴∠PDE=30°，∴PE=PD=1，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，∴PC=PE=1，故選：C．13．A【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠DFE=60°，結(jié)合平行線的性質(zhì)得∠CBF=∠DFE=60°，結(jié)合∠ABC=45°，即可求解．解：∵，∴∠DFE=60°，∵，∴∠CBF=∠DFE=60°，∵∴∠ABC=45°，∴=60°-45°=15°．故選：A14．D【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性及偶次方的非負(fù)性，勾股定理的逆定理及三角形面積的運(yùn)算，首先根據(jù)非負(fù)性的性質(zhì)得出a、b的值是解題的關(guān)鍵，再根據(jù)勾股定理的逆定理判定三角形為直角三角形，再根據(jù)三角形的面積得出c邊上高即可．解：整理得，，所以，解得；因?yàn)?/span>，，所以，所以是直角三角形，，設(shè)第三邊c上的高的值是h，則的面積，所以．故選：D．15．D【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，，由即可得出與的關(guān)系．解：∵是的外角，∴，∴∠C=∠2-∠1，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用等腰三角形的性質(zhì)得到相等的角．16．5cm【分析】由題意可得∠ACD的度數(shù)為，利用含角的直角三角形的性質(zhì)可求解：，，，，故答案為：5cm17．14【分析】根據(jù)題意可得△ABC為等腰三角形，再由“三線合一”性質(zhì)求解即可．解：∵AB=AC，∴△ABC為等腰三角形，∵AD⊥BC，∴根據(jù)“三線合一”知，BD=BC=14，故答案為：14．18．【分析】由等腰三角形的性質(zhì)先求解，再求解，再利用三線合一的性質(zhì)求解即可得到答案．解： AB＝AC，∠B＝30°， AB＝AC，AD是△ABC的中線，平分， 故答案為：19．∠B【分析】根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余及余角的性質(zhì)可以得出答案．解：∵為直角三角形，，∴，∵于點(diǎn)，∴，∴．故答案為：∠B．20．40【分析】因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為180°，所以100°只能為頂角，從而可求出底角．解：由題意100°＞90°∴100°為三角形的頂角，
∴底角為：（180°-100°）÷2=40°．
故答案為：40．21．等角對等邊．【分析】此題根據(jù)等腰三角形的判定進(jìn)行解答即可．解：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角對等邊）．故答案為：等角對等邊．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定的應(yīng)用，注意此定理應(yīng)用的前提是：在一個三角形中，等角對等邊．22．65°或25°【分析】在等腰△ABC中，AB=AC，BD為腰AC上的高，分當(dāng)BD在△ABC內(nèi)部時和當(dāng)BD在△ABC外部時兩種情況討論，畫出圖形求解即可．解：在等腰△ABC中，AB=AC，BD為腰AC上的高，∠ABD=40°，
當(dāng)BD在△ABC內(nèi)部時，如圖1，
∵BD為高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-50°）=65°；
當(dāng)BD在△ABC外部時，如圖2，
∵BD為高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
而∠BAD=∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB=∠BAD=25°，
綜上所述，這個等腰三角形底角的度數(shù)為65°或25°．故答案為：65°或25°．23．【分析】作DP⊥BC于P，因?yàn)?/span>，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到，再利用三角形面積公式解答即可．解：作DP⊥BC于P，∵，，∴，又∵，∴．故答案為：39．24．23°【分析】設(shè)∠C的度數(shù)為x，由AB=AC可知∠EAB=2x，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知∠EBA=∠EAB=2x，∠CBE=∠EBA +∠ABC，即可求解.解：設(shè)∠C的度數(shù)為x，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=x，∠EAB=2x，∵ED為線段AB的垂直平分線，∴∠EBA=∠EAB=2x，∵∠CBE的度數(shù)為69°，∴2x+x=69°，∴∠C=x=23°.25．．【分析】過頂點(diǎn)A作AD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)及勾股定理求出BC上的高，再利用三角形面積公式求解可得答案．解：如圖，過頂點(diǎn)A作AD⊥BC于D，在等邊中，AB=BC=2，BD=，，△ABC=．故答案為：． 26．【分析】根據(jù)平分，得到，根據(jù)垂直平分，求證，進(jìn)而得到，再利用三角形內(nèi)角和定理，即可求出的度數(shù)．解：平分，，又垂直平分，，，，，，，，即，．27．（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AD=AB，AC=AE，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根據(jù)SAS推出△DAC≌△BAE即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠BEA=∠ACD，求出∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠ACE+∠AEC，代入求出即可．證明：（1）∵以AB、AC為邊分別向外做等邊△ABD和等邊△ACE，
∴AD=AB，AC=AE，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；
（2）∵△DAC≌△BAE，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠DCA+∠ACE+∠PEC
=∠BEA+∠ACE+∠PEC
=∠ACE+∠AEC
=60°+60°
=120°．28．（1）見解析；（2）【分析】（1）證明≌，得出，證出，得出，即可得出結(jié)論；（2）由（1）知，可得出，所以．解：（1）
是AD的中垂線，，在和中，≌，，是的高，，，（2）由（1）得：，，又，，，．

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