專題18.13 《平行四邊形》之幾何模型-將軍飲馬（知識講解） 幾何模型1：兩定一動型（兩點之間線段最短）                    圖一                             圖二   幾何模型2：兩動一定型（兩點之間線段最短）此處M、N均為折點，分別作點P關(guān)于OA（折點M所在直線）、OB（折點N所在直線）的對稱點，化折線段PM+MN+NP為P’M+MN+NP’’，當(dāng)P’、M、N、P’’共線時，△PMN周長最小．幾何模型3（1）：兩定兩動型（兩點之間線段最短）在OA、OB上分別取點M、N使得四邊形PMNQ的周長最小。考慮PQ是條定線段，故只需考慮PM+MN+NQ最小值即可，類似，分別作點P、Q關(guān)于OA、OB對稱，化折線段PM+MN+NQ為P’M+MN+NQ’，當(dāng)P’、M、N、Q’共線時，四邊形PMNQ的周長最小。幾何模型3（2）：兩定兩動型（將軍過橋）（兩點之間線段最短）       圖1                   圖2             圖3【將軍過橋】已知將軍在圖1中點A處，現(xiàn)要過河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？考慮MN長度恒定，只要求AM+NB最小值即可．問題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時A點落在A’位置（如圖2）．問題化為求A’N+NB最小值，顯然，當(dāng)共線時，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置（如圖3）．幾何模型4：一定兩動型（點線之間垂線段最短）在OA、OB上分別取M、N使得PM+MN最小。此處M點為折點，作點P關(guān)于OA對稱的點P’，將折線段PM+MN轉(zhuǎn)化為P’M+MN，即過點P’作OB垂線分別交OA、OB于點M、N，得PM+MN最小值（點到直線的連線中，垂線段最短）例題講解：幾何模型1：兩定一動型（兩點之間線段最短）1 （2020·內(nèi)蒙古包頭市·包頭外國語實驗學(xué)校八年級期中）如圖，四邊形OABC為正方形，邊長為10，點A，C分別在x軸、y軸的正半軸上，點D在OA上，且D點的坐標為（4，0），P是OB上的一個動點，則PD＋PA的最小值是_____．【答案】.解：作出D關(guān)于OB的對稱點D′，則D′的坐標是（0，4）．則PD+PA的最小值就是AD′的長．

則OD′=4，OA=10,
∴AD′=
則PD+PA和的最小值是．
故答案是：．【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理以及最短路線問題，正確作出P的位置是關(guān)鍵．【變式1】（2020·湖北黃岡市·八年級期末）如圖，正方形 中，， 是 的中點，點 是對角線 上一動點，則 的最小值為（    ）A．4 B． C． D．【答案】B解：連接DE，交AC于點P，連接BD，點B與點D關(guān)于AC對稱，的長即為的最小值，是BC的中點，，在中，的最小值是．故選：B．【點撥】本題考查兩點對稱的性質(zhì)、兩點間的距離、勾股定理等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【變式2】（2020·湖南長沙市·九年級一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，動點P滿足＝S矩形ABCD，則點P到A、B兩點的距離之和PA+PB的最小值為（　?。?/span>A．10 B．8 C．8 D．8【答案】C【分析】根據(jù)S△PAB＝S矩形ABCD，得出動點P在與AB平行且與AB的距離是4的直線l上，作A關(guān)于直線l的對稱點E，連接AE，連接BE，則BE的長就是所求的最短距離．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．解：設(shè)中邊上的高是．，，，動點在與平行且與的距離是4的直線上，如圖，作關(guān)于直線的對稱點，連接，，則的長就是的最小值．在中，，，，即的最小值為．故選：C．【點撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．幾何模型2：兩動一定型（兩點之間線段最短）2 （2020·重慶市蜀都中學(xué)校八年級期中）如下圖，，在、上分別找一點M、N，當(dāng)周長最小時，的度數(shù)是_____________．【答案】120°【分析】根據(jù)要使△AMN的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，進而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．解：作A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值．
∵∠DAB=120°，
∴∠AA′M+∠A″=180°-∠BAD=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，故答案為：120°．【點撥】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．【變式】（2020·無錫市胡埭中學(xué)八年級月考）如圖．在五邊形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分別找一點M、N，使得△AMN的周長最小時，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為（    ）A．84° B．88° C．90° D．96°【答案】B【分析】根據(jù)要使的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出關(guān)于和的對稱點 ,,即可得出，進而得出 即可得出答案． 解：如圖示，作關(guān)于和的對稱點， ，連接，交于，交于 ，則即為的周長最小值．延長，作于點，，，，，，且， ，，故選：B．【點撥】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出，的位置是解題關(guān)鍵．幾何模型3：兩定兩動型（兩點之間線段最短）3（2021·全國八年級）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標是，點的坐標是，在軸和軸上分別有兩點、，則，，，四點組成的四邊形的最小周長為__．【答案】．【分析】作點A關(guān)于y軸的對稱點C，點B關(guān)于x軸的對稱點D，連接CD交y軸于P，交x軸于Q，則此時，四邊形APQB的周長最小，且四邊形的最小周長=AB+CD，根據(jù)兩點間的距離公式即可得到結(jié)論． 解：作點關(guān)于軸的對稱點，點關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于，交軸于，則此時，四邊形的周長最小，且四邊形的最小周長，點的坐標是，點的坐標是，，，，，四邊形的最小周長，故答案為：．【點撥】本題考查了坐標與圖形性質(zhì)，軸對稱-最短路徑問題，兩點間的距離公式，正確的確定點P和點Q的位置是解題的關(guān)鍵．4（2020·深圳亞迪學(xué)校）如圖，菱形ABCD的邊長為6，，對角線BD上有兩個動點E、F（點E在點F的左側(cè)），若，則的最小值為________．【答案】【分析】作AM⊥AC，連接CM交BD于F，根據(jù)菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理解答即可．解：如圖，連接AC，作AM⊥AC，使得AM＝EF＝2，連接CM交BD于F，∵AC，BD是菱形ABCD的對角線，∴BD⊥AC，∵AM⊥AC，∴AM∥BD，∴AM∥EF，∵AM＝EF，AM∥EF，∴四邊形AEFM是平行四邊形，∴AE＝FM，∴AE＋CF＝FM＋FC＝CM，根據(jù)兩點之間線段最短可知，此時AE＋FC最短，∵四邊形ABCD是菱形，AB＝6，∠ABC＝60°∴BC＝AB，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝6，在Rt△CAM中，CM＝∴AE＋CF的最小值為．故答案為：．【點撥】本題考查菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、兩點之間線段最短、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，把問題轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短解決，屬于中考填空題中的壓軸題．【變式】（2020·沙坪壩區(qū)·重慶一中八年級期末）如圖，在直角坐標系中，直線：與軸交于點，與軸交于點，分別以、為邊作矩形，點、在直線上，且，則的最小值是________．【答案】【分析】如圖，過點B作BM∥AC交x軸于M，在直線BM上截取BB′＝DE＝1，過點B′作B′F⊥OM于F，過點E作EH⊥OC于H，連接B′H．證明BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，再根據(jù)B′H≥B′F，求出B′F即可解決問題．【詳解】如圖，過點B作BM∥AC交x軸于M，在直線BM上截取BB′＝DE＝1，過點B′作B′F⊥OM于F，過點E作EH⊥OC于H，連接B′H．與x軸交于點C，與y軸變于點A，令x=0，y=，令y=0,得x=∴A（0，），C（，0），∴OA＝，OC＝，∴AC==2OA，∴∠ACO＝30°，∵EH⊥OC，∴EH＝EC，∵BB′＝DE，BB′∥DE，∴四邊形DBB′E是平行四邊形，∴BD＝B′E，∵BM∥AC，∴∠BMC＝∠ACO＝30°，∵∠BCM＝90°，BC＝，∴BM＝2BC＝3，∴B′M＝1＋3，∵∠MFB′＝90°，∴B′F＝MB′＝，∵BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，B′H≥B′F，∴BD＋EC≥，∴BD＋EC的最小值為，故答案為．【點撥】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形，垂線段最短，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．幾何模型4：一定兩動型（點線之間垂線段最短）5（2020·深圳市南山區(qū)第二外國語學(xué)校（集團）學(xué)府中學(xué)九年級一模）如圖，中，，為邊上的一動點，則的最小值等于（    ）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】過點P作PE⊥AD，交AD的延長線于點E，有銳角三角函數(shù)可得EP=PD，即PB+PD=PB+PE，則當(dāng)點B，點P，點E三點共線且BE⊥AD時，PB+PE有最小值，即最小值為BE．解：如圖，過點P作PE⊥AD，交AD的延長線于點E，
∵AB∥CD
∴∠EDP=∠DAB=60°，
∴sin∠EDP=，∴EP=PD，∴PB+PD=PB+PE
∴當(dāng)點B，點P，點E三點共線且BE⊥AD時，PB+PE有最小值，即最小值為BE，
∵sin∠A=，∴BE=，故選C.【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短，銳角三角函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得到當(dāng)點B，點P，點E三點共線且BE⊥AD時，符合題意.【變式】（2020·成都市鐵中府河學(xué)校九年級期中）如圖，在矩形中，，垂足為，動點分別在上，則的值為__________，的最小值為_____________．【答案】3        【分析】在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的長，設(shè)A點關(guān)于BD的對稱點A′，連接A′D，可證明△ADA′為等邊三角形，當(dāng)PQ⊥AD時，則PQ最小，所以當(dāng)A′Q⊥AD時AP＋PQ最小，從而可求得AP＋PQ的最小值等于DE的長．解：設(shè)，則，∵四邊形為矩形，且，，，，又，，，即，，在中，由勾股定理可得，即，解得：，，如圖，設(shè)點關(guān)于的對稱點為，連接，則，是等邊三角形，,∴當(dāng)、三點在一條線上時，最小，由垂線段最短可知當(dāng)時，最小，．故答案是：3；．【點撥】本題主要考查軸對稱的應(yīng)用，利用最小值的常規(guī)解法確定出A的對稱點，從而確定出AP＋PQ的最小值的位置是解題的關(guān)鍵，利用條件證明△A′DA是等邊三角形，借助幾何圖形的性質(zhì)可以減少復(fù)雜的計算．

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