2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中考試高分直通車（北師大版）專題1.3圖形的平移與旋轉(zhuǎn)（精講精練）【目標(biāo)導(dǎo)航】【知識(shí)梳理】1.平移：（1）平移的條件：平移的方向、平移的距離（2）平移的性質(zhì)①把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同．②新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等．（3）平移變換與坐標(biāo)變化向右平移a個(gè)單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x+a，y）；向左平移a個(gè)單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x-a，y）
向上平移b個(gè)單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x，y+b）；向下平移b個(gè)單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x，y-b）3. 旋轉(zhuǎn)：（1）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．（2）旋轉(zhuǎn)三要素：①旋轉(zhuǎn)中心； ②旋轉(zhuǎn)方向； ③旋轉(zhuǎn)角度．注意：三要素中只要任意改變一個(gè)，圖形就會(huì)不一樣．4.中心對(duì)稱：（1）中心對(duì)稱的定義
把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)．．
（2）中心對(duì)稱的性質(zhì)
①關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形能夠完全重合；
②關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分．（3）把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心．5. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)
（1）兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)是P′（-x，-y）．
（2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)或圖形屬于中心對(duì)稱，它是中心對(duì)稱在平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用，它具有中心對(duì)稱的所有性質(zhì)．但它主要是用坐標(biāo)變化確定圖形．
注意：運(yùn)用時(shí)要熟練掌握，可以不用圖畫和結(jié)合坐標(biāo)系，只根據(jù)符號(hào)變化直接寫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．【典例剖析】考點(diǎn)1圖形的平移【例1】（2021秋?會(huì)寧縣期末）線段CD是由線段AB平移得到的，點(diǎn)A（3，﹣1）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣2，5），則點(diǎn)B（0，4）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（　　）A．（5，﹣7） B．（4，3） C．（﹣5，10） D．（﹣3，7）【變式1-1】（2021秋?松江區(qū)期末）如圖，△ABC沿射線BC方向平移到△DEF（點(diǎn)E在線段BC上），如果BC＝8cm，EC＝5cm，那么平移距離為（　?。?/span>A．3cm B．5cm C．8cm D．13cm【變式1-2】（2021?濱城區(qū)模擬）如圖，已知一個(gè)斜邊長(zhǎng)為2的直角三角板的直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，兩直角邊分別落在兩個(gè)坐標(biāo)軸上．現(xiàn)將該三角板向右平移使點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，得到△OCB′，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（　?。?/span>A．（1，0） B．（，） C．（1，） D．（﹣1，）【變式1-3】（2021秋?江州區(qū)期中）將點(diǎn)P（﹣2，6），先向右平移4個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，則平移后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（　?。?/span>A．（2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣6，2） D．（﹣6，10）考點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)【例2】（2021?武漢模擬）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至△DEC，使點(diǎn)D落在BC的延長(zhǎng)線上．已知∠A＝33°，∠B＝30°，則∠ACE的大小是（　?。?/span>A．63° B．58° C．54° D．52°【變式2-1】（2021秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)40°到△DBE（其中點(diǎn)D與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，點(diǎn)E與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)），連接AD，若AD∥BC，則∠ABE的度數(shù)為（　　）A．25° B．30° C．35° D．40°【變式2-2】（2021秋?松山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB1C1，連接BC1，則BC1的長(zhǎng)為（　　）A． B． C．4 D．6【變式2-3】（2021秋?鞏義市期末）如圖，△ABC中∠BAC＝100°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°，得到△ADE，這時(shí)點(diǎn)B、C、D恰好在同一直線上，則∠E的度數(shù)為（　?。?/span>A．50° B．75° C．65° D．60°【變式2-4】（2021秋?海勃灣區(qū)期末）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊AB上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，連接BE，下列四個(gè)結(jié)論：①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC；其中一定正確的是（　　）A．①② B．②③ C．③④ D．②③④考點(diǎn)3中心對(duì)稱【例3】（2021?延慶區(qū)一模）下列各組圖形中，△A'B'C'與△ABC成中心對(duì)稱的是（　?。?/span>A． B． C． D．【變式3-1】（2021春?長(zhǎng)春期末）如圖，已知△ABC和△A'B'C'關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。?/span>A．∠ABC＝∠A'B'C' B．∠AOB＝∠A'OB' C．AB＝A'B' D．OA＝OB'【變式3-2】（2019秋?任丘市期末）已知下列命題，其中正確的個(gè)數(shù)是（　?。?/span>（1）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定不全等；（2）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形；（3）兩個(gè)全等的圖形一定關(guān)于中心對(duì)稱．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【變式3-3】（2021?東營(yíng)區(qū)一模）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C（0，）旋轉(zhuǎn)180°得到△A'B'C，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），則點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（　?。?/span>A．（﹣a，﹣b） B．（a，﹣b+2） C．（﹣a，﹣b） D．（﹣a，﹣b+2）考點(diǎn)4關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)【例4】（2021春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知點(diǎn)A（﹣1，3a﹣1）與點(diǎn)B（2b+1，﹣2）關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)C（a+2，b）與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．（1）求點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；（2）順次聯(lián)結(jié)點(diǎn)A、D、B、C，求所得圖形的面積．【變式4-1】（2021秋?鎮(zhèn)原縣期末）點(diǎn)P（2a+1，4）與P'（1，3b﹣1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則2a+b＝（　　）A．3 B．﹣2 C．﹣3 D．2【變式4-2】（2021秋?韓城市期中）已知點(diǎn)P（2x，y2+4）與Q（x2+1，﹣4y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求x+y的值．【變式4-3】（2021春?肇源縣期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫出△ABC，則△ABC的面積是　4　；（2）若點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為?。ī?/span>4，﹣3）　；（3）已知P為x軸上一點(diǎn)，若△ABP的面積為4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．考點(diǎn)5關(guān)于旋轉(zhuǎn)作圖問題【例5】（2021秋?平定縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（﹣5，2），B（﹣2，4），C（﹣1，1）．（1）在圖中作出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱；（2）畫出將△ABC以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°對(duì)應(yīng)的△A2B2C2；（3）直接寫出點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式5-1】（2021秋?嘉定區(qū)期末）如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在小方格頂點(diǎn)上（小方格的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度），按下列要求畫出圖形和回答問題：（1）在圖中畫出：△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△A1B1C1；（2）在圖中畫出：（1）中的△A1B1C1關(guān)于直線MN的軸對(duì)稱的圖形△A2B2C2；（3）在（2）中的△A2B2C2可以用原△ABC通過怎樣的一次運(yùn)動(dòng)得到的？請(qǐng)你完整地描述這次運(yùn)動(dòng)的過程．【變式5-2】（2021秋?新?lián)釁^(qū)期末）如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，3），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．（1）作出△ABC以O為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的△A1B1C1；（2）作出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的△A2B2C2，寫出B2和C2的坐標(biāo)；（3）直接寫出△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周掃過的圖形面積．【變式5-3】（2021秋?鐵力市期末）在建立平面直角坐標(biāo)系的方格紙中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的小正方形，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，0），請(qǐng)按要求畫圖與作答．（1）把△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得△A′B′C′．（2）把△ABC向右平移6個(gè)單位得△A″B″C″．（3）△A′B′C′與△A″B″C″是否成中心對(duì)稱，若是，找出對(duì)稱中心P′，并寫出其坐標(biāo)．【變式5-4】（2021秋?撫順縣期末）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度．Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．（1）將△ABC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，得到△A1B1C，請(qǐng)畫出△A1B1C并寫出點(diǎn)B1的坐標(biāo)；（2）平移△ABC，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2坐標(biāo)為（﹣2，﹣6），請(qǐng)畫出平移后對(duì)應(yīng)的△A2B2C2，并寫出點(diǎn)B2的坐標(biāo)；（3）若將△A1B1C繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可得到△A2B2C2，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)中心P點(diǎn)的坐標(biāo)．考點(diǎn)6平移對(duì)稱有關(guān)作圖問題【例6】（2021秋?南崗區(qū)期末）三角形ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．將三角形ABC向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到三角形A1B1C1．（1）畫出平移后的三角形；（2）直接寫出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)：（3）請(qǐng)直接寫出三角形的面積為　　．【變式6-1】（2021秋?道外區(qū)期末）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（5，6），B（﹣2，3），C（3，1）．請(qǐng)?jiān)谒o的平面直角坐標(biāo)系中按要求完成以下問題：（1）畫出三角形ABC；（2）將三角形ABC先向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的三角形A1B1C1（點(diǎn)A1，B1，C1分別是點(diǎn)A，B，C移動(dòng)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）．①請(qǐng)畫出三角形A1B1C1；②并判斷線段AC與A1C1的位置與數(shù)量關(guān)系．【變式6-2】（2021秋?香坊區(qū)校級(jí)期中）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．在圖中平移三角形ABC，使點(diǎn)A移到點(diǎn)D處，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F．（1）請(qǐng)?jiān)诜礁窦堉挟嫵銎揭坪蟮娜切?/span>DEF；（2）分別連接CD，CF，請(qǐng)直接寫出三角形CDF的面積；（3）過點(diǎn)D作CF的垂線，垂足為H，延長(zhǎng)AB交直線DH于點(diǎn)G，請(qǐng)畫出圖形；直接寫出四邊形BGHC的面積．【變式6-3】（2021秋?杭州期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)的三角形）ABC的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（﹣4，5）、（﹣1，3）．（1）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格平面內(nèi)畫出平面直角坐標(biāo)系；（2）點(diǎn)D（m，n）是△ABC邊BC上任意一點(diǎn)，三角形經(jīng)過平移后得到△A1B1C1，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P1（m+6，n﹣2）．①直接寫出點(diǎn)B1的坐標(biāo)　    　；②畫出△ABC平移后的△A1B1C1．（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使△AOP的面積等于△ABC面積的，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式6-4】（2021春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）如圖：在正方形網(wǎng)格中有一個(gè)△ABC，按要求進(jìn)行下列作圖（只能借助于網(wǎng)格）．（1）畫出先將△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF．（2）連接AD、BE，那么AD與BE的關(guān)系是　      　，線段AB掃過的部分所組成的封閉圖形的面積為　　．考點(diǎn)7關(guān)于旋轉(zhuǎn)的幾何綜合問題【例7】（2021秋?齊河縣期末）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BDA，連接OD．（1）求證：△BOD是等邊三角形；（2）若AD＝AO，∠AOC＝100°時(shí)，求∠BOC的度數(shù)．【變式7-1】（2021秋?同心縣期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△DEC，點(diǎn)D恰好在AB上．（1）若AC＝4，求DE的值；（2）確定△ACD的形狀，并說明理由．【變式7-2】（2021秋?肇源縣期末）如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，將△APB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，可得到△CQB．（1）求點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離； （2）求∠APB的度數(shù)．【變式7-3】（2021秋?松山區(qū)期末）（1）如圖1，O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，將△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，連接OD．求：①旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)　；②線段OD的長(zhǎng)　　；③求∠BDC的度數(shù)．（2）如圖2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）內(nèi)一點(diǎn)，連接OA、OB、OC，將△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，連接OD．當(dāng)OA、OB、OC滿足什么條件時(shí)，∠ODC＝90°？請(qǐng)給出證明．

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