專題3.8期中全真模擬卷08-2021-2022學年八年級數(shù)學下學期期中考試高分直通車【北師大版】-試卷下載-教習網(wǎng)

?2021-2022學年八年級數(shù)學下學期期中考試高分直通車【北師大版】
專題3.8期中全真模擬卷08
姓名：__________________ 班級：______________ 得分：_________________
注意事項：
本試卷滿分120分，試題共26題，選擇12道、填空6道、解答8道 .答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【解析】A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故本選項正確；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故本選項錯誤；
C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．故本選項錯誤；
D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．故本選項錯誤．
故選：A．
2．若等腰三角形的頂角為50°，則它的底角度數(shù)為（　　）
A．40° B．50° C．65° D．60°
【分析】等腰三角形中，給出了頂角為50°，可以結合等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理直接求出底角，答案可得．
【解析】∵三角形為等腰三角形，且頂角為50°，
∴底角＝（180°﹣50°）÷2＝65°．
故選：C．
3．把不等式組2x+1＞-1x+2≤3的解集表示在數(shù)軸上，下列選項正確的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】本題的關鍵是先解不等式組，然后再在數(shù)軸上表示．
【解析】由（1）得x＞﹣1，由（2）得x≤1，所以﹣1＜x≤1．故選B．
4．點P（2a+1，4）與P'（1，3b﹣1）關于原點對稱，則2a+b＝（　?。?br /> A．3 B．﹣2 C．﹣3 D．2
【分析】根據(jù)兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反可得答案．
【解析】∵點P（2a+1，4）與P'（1，3b﹣1）關于原點對稱，
∴2a+1＝﹣1，3b﹣1＝﹣4，
解得：2a＝﹣2，b＝﹣1，
∴2a+b＝﹣2﹣1＝﹣3，
故選：C．
5．如圖，在9×6的方格紙中，小樹從位置A經(jīng)過平移旋轉后到達位置B，下列說法中正確的是（　?。?br />
A．先向右平移6格，再繞點B順時針旋轉45°
B．先向右平移6格，再繞點B逆時針旋轉45°
C．先向右平移6格，再繞點B順時針旋轉90°
D．先向右平移6格，再繞點B逆時針旋轉90°
【分析】先判斷出∠1的度數(shù)，再進行解答即可．
【解析】∵小樹經(jīng)過正方形BCDE的頂點B、D，
∴∠1＝45°，
∴小樹從位置A經(jīng)過旋轉平移后到位置B時應繞B點逆時針旋轉45°，再向右平移6格．
故選：B．
6．如圖，△ABC為鈍角三角形，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉120°得到△AB′C′，連接BB′，若AC′∥BB′，則∠CAB′的度數(shù)為（　　）

A．45° B．60° C．70° D．90°
【分析】先根據(jù)旋轉的性質(zhì)得到∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)易得∠AB′B＝30°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)由AC′∥BB′得∠C′AB′＝∠AB′B＝30°，然后利用∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′進行計算．
【解析】∵將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉120°得到△AB′C′，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，
∴∠AB′B=12（180°﹣120°）＝30°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′＝∠AB′B＝30°，
∴∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′＝120°﹣30°＝90°．
故選：D．
7．如圖．△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB交AB于D，∠ABC的平分線BE交CD與E，則∠BEC的大小是（　?。?br />
A．135°-14∠A B．135°+14∠A C．90°+12∠A D．180°-12∠A
【分析】由AB＝AC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣∠A）＝90°-12∠A，而BE是∠ABC的平分線，則∠DBE=12∠ABC＝45°-14∠A．再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和CD⊥AB，得到∠BEC＝∠BDE+∠DBE＝90°+45°-14∠A＝135°-14∠A．
【解析】∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣∠A）＝90°-12∠A，
又∵BE是∠ABC的平分線，
∴∠DBE=12∠ABC＝45°-14∠A．
∵∠BEC是△BED的外角，CD⊥AB，
∴∠BEC＝∠BDE+∠DBE＝90°+45°-14∠A＝135°-14∠A．
故選：A．
8．等腰三角形兩邊的長分別為3cm和5cm，則這個三角形的周長是（　　）
A．11cm B．13cm C．11cm或13cm D．不確定
【分析】分3cm是腰長與底邊兩種情況討論求解．
【解析】①3cm是腰長時，三角形的三邊分別為3cm、3cm、5cm，
能組成三角形，周長＝3+3+5＝11cm，
②3cm是底邊長時，三角形的三邊分別為3cm、5cm、5cm，
能組成三角形，周長＝3+5+5＝13cm，
綜上所述，這個等腰三角形的周長是11cm或13cm．
故選：C．
9．已知不等式組x-a≥0-2x＞-4有解，則a的取值范圍為（　?。?br /> A．a(chǎn)＞﹣2 B．a(chǎn)≥﹣2 C．a(chǎn)＜2 D．a(chǎn)≥2
【分析】分別解這兩個不等式，得出解集，既然有解，根據(jù)同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了的原則，建立適當?shù)牟坏仁?，進行解答．
【解析】由（1）得x≥a，由（2）得x＜2，故原不等式組的解集為a≤x＜2，
∵不等式組x-a≥0-2x＞-4有解，
∴a的取值范圍為a＜2．
故選：C．
10．如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于F，若BF＝AC，則∠ABC的大小是（　?。?br />
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】先利用AAS判定△BDF≌△ADC，從而得出BD＝DA，即△ABD為等腰直角三角形．所以得出∠ABC＝45°．
【解析】∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，
∴∠BEA＝∠ADC＝90°．
∵∠FBD+∠BFD＝90°，∠AFE+∠FAE＝90°，∠BFD＝∠AFE，
∴∠FBD＝∠FAE，
在△BDF和△ADC中，∠FDB=∠ADC∠FBD=∠CADBF=AC，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴BD＝AD，
∴∠ABC＝∠BAD＝45°，
故選：B．

11．如圖，在△ABC中，∠B＝32°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，若DE垂直平分AB，則∠C的度數(shù)為（　　）

A．90° B．84° C．64° D．58°
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，得到∠DAB＝∠B＝32°，根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計算即可．
【解析】∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝32°，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠DAC＝∠DAB＝32°，
∴∠C＝180°﹣32°﹣32°﹣32°＝84°，
故選：B．
12．如圖，O是正△ABC內(nèi)一點，OA＝3，OB＝4，OC＝5，將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO′，下列結論：①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到；②點O與O′的距離為4；③∠AOB＝150°；④S四邊形AOBO′＝6+33；⑤S△AOC+S△AOB＝6+943．其中正確的結論是（　　）

A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③
【分析】證明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′＝60°，所以△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，故結論①正確；
由△OBO′是等邊三角形，可知結論②正確；
在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，故△AOO′是直角三角形；進而求得∠AOB＝150°，故結論③正確；
S四邊形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′＝6+43，故結論④錯誤；
如圖②，將△AOB繞點A逆時針旋轉60°，使得AB與AC重合，點O旋轉至O″點．利用旋轉變換構造等邊三角形與直角三角形，將S△AOC+S△AOB轉化為S△COO″+S△AOO″，計算可得結論⑤正確．
【解析】由題意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，
又∵OB＝O′B，AB＝BC，
∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′＝60°，
∴△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，
故結論①正確；
如圖①，連接OO′，
∵OB＝O′B，且∠OBO′＝60°，
∴△OBO′是等邊三角形，
∴OO′＝OB＝4．
故結論②正確；
∵△BO′A≌△BOC，∴O′A＝5．
在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，
∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，
故結論③正確；
S四邊形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′=12×3×4+34×42＝6+43，
故結論④錯誤；
如圖②所示，將△AOB繞點A逆時針旋轉60°，使得AB與AC重合，點O旋轉至O″點．
易知△AOO″是邊長為3的等邊三角形，△COO″是邊長為3、4、5的直角三角形，
則S△AOC+S△AOB＝S四邊形AOCO″＝S△COO″+S△AOO″=12×3×4+34×32＝6+943，
故結論⑤正確．
綜上所述，正確的結論為：①②③⑤．
故選：A．

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上
13．當x　≥13　時，代數(shù)式﹣3x+5的值不大于4．
【分析】根據(jù)題意列出關于x的不等式，解之可得．
【解析】根據(jù)題意得﹣3x+5≤4，
則﹣3x≤4﹣5，
﹣3x≤﹣1，
x≥13，
故答案為：≥13．
14．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CH⊥AB于H，若AH＝2，則BH＝　6?。?br />
【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠A和∠ACH的度數(shù)，再根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AC和AB的長，進而可得答案．
【解析】∵CH⊥AB，
∴∠AHC＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∴∠ACH＝30°，
∴AC＝2AH＝4，
∵∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝8，
∴BH＝AB﹣AH＝8﹣2＝6．
故答案為：6．
15．如圖，BD⊥OA于點D，交射線OC于P，PD＝1，∠B＝30°，若P到OB的距離為1，則OP的長為　2　．

【分析】過點P作PE⊥OB于點E，可得出PD＝PE＝1，則得出∠POD＝∠POE，由直角三角形的性質(zhì)得出答案．
【解析】如圖，過點P作PE⊥OB于點E，

∵P到OB的距離為1，
∴PE＝1，
∵PD＝1，
∴PD＝PE，
又∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠POD＝∠POE，
∵∠B＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∴∠POE=12∠BOD＝30°，
∴OP＝2PE＝2．
故答案為：2．
16．如果不等式（2a﹣1）x＞1的解集是x＜12a-1，那么a的取值范圍是　a＜12?。?br /> 【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)3，不等式的兩邊同乘或除以同一個負數(shù)，不等號的方向改變，可得答案．
【解析】∵（2a﹣1）x＞1的解集為x＜12a-1，
∴2a﹣1＜0，
解得：a＜12，
故答案為：a＜12．
17．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸的交點坐標為（2，0），則下列說法：
①y隨x的增大而增大；
②b＞0；
③關于x的方程kx+b＝0的解為x＝2；
④kx+b＞0的解集是x＞2．
其中說法正確的有　②③?。ò涯阏J為說法正確的序號都填上）

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)與一元一次方程的關系對各小題分析判斷即可得解．
【解析】由圖象得：圖象過一、二、四象限，則k＜0，b＞0，
當k＜0時，y隨x的增大而減小，故①錯誤，②正確，
由圖象得：與x軸的交點為（2，0），則當x＝2時y＝0，
當x＞2時，y＜0，當x＜2時，y＞0，故③正確，④錯誤．
故答案為②③．
18．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點E是BC邊上一點，連接AE，把△ABE沿AE折疊，使點B落在點F處，當△CEF為直角三角形時，CF的長為　4或210?。?br />
【分析】當△CEF為直角三角形時，有兩種情況：
①當點F落在矩形內(nèi)部時，如答圖1所示．
連接AC，先利用勾股定理計算出AC＝10，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠AFE＝∠B＝90°，而當△CEF為直角三角形時，只能得到∠EFC＝90°，所以點A、F、C共線，即∠B沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點F處，則EB＝EF，AB＝AF＝6，可計算出CF；
②當點F落在AD邊上時，如答圖2所示．此時ABEF為正方形，根據(jù)勾股定理計算出CF．
【解析】當△CEF為直角三角形時，有兩種情況：
①當點F落在矩形內(nèi)部時，如答圖1所示．
連接AC，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10，
∵∠B沿AE折疊，使點B落在點F處，
∴∠AFE＝∠B＝90°，
當△CEF為直角三角形時，只能得到∠EFC＝90°，
∴點A、F、C共線，即∠B沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點F處，
∴EB＝EF，AB＝AF＝6，
∴CF＝10﹣6＝4；
②當點F落在AD邊上時，如答圖2所示．
此時ABEF為正方形，
∴BE＝AB＝6，CE＝8﹣6＝2，
∴CF＝210．
綜上所述，CF的長為4或210．
故答案為：4或210．

三、解答題（本大題共8小題，共60分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．解下列不等式（組）．
（1）4x+5≥6x﹣3；
（2）2x-13-5x+12≤1；
（3）x-32(2x-1)≤41+3x2＞2x-1，并寫出其整數(shù)解．
【分析】（1）移項、合并同類項、系數(shù)化為1可得；
（2）去分母、移項、合并同類項、系數(shù)化為1可得；
（3）求出每個不等式的解集，根據(jù)找不等式組解集的規(guī)律找出即可．
【解析】（1）4x+5≥6x﹣3，
4x﹣6x≥﹣3﹣5，
﹣2x≥﹣8
x≤4；

（2）2x-13-5x+12≤1，
2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≤6，
4x﹣2﹣15x﹣3≤6，
﹣11x≤11，
x≥﹣1；

（3）x-32(2x-1)≤4①1+3x2＞2x-1②，
解不等式①得：x≥-54，
解不等式②，得：x＜3，
則不等式組的解集為-54≤x＜3，
所以不等式組的整數(shù)解為﹣1，0，1，2．
20．如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）畫出△ABC關于x軸的對稱圖形△A1B1C1；
（2）畫出△A1B1C1沿x軸向右平移4個單位長度后得到的△A2B2C2；
（3）如果AC上有一點M（a，b）經(jīng)過上述兩次變換，那么對應A2C2上的點M2的坐標是?。╝+4，﹣b）?。?br /> （4）在y軸上找一點P，使△PAB的周長最小，點P的坐標為　P（0，135）?。?br />
【分析】（1）作出A1、B1、C1即可得到答案，
（2）作出A2、B2、C2即可得到答案，
（3）關于x軸的對稱的點橫坐標不變，縱坐標變?yōu)橄喾磾?shù)，沿x軸向右平移4個單位長度則橫坐標增加4，
（4）作A關于y軸對稱點A′，連接A′B，與y軸交點即為所求的點P，可以求出A′B的解析式，再令x＝0即可得答案．
【解析】（1）△ABC關于x軸的對稱圖形△A1B1C1見下圖；

（2）△A1B1C1沿x軸向右平移4個單位長度后得到的△A2B2C2見上圖；
（3）關于x軸的對稱的點橫坐標不變，縱坐標變?yōu)橄喾磾?shù)，沿x軸向右平移4個單位長度則橫坐標增加4，
∴AC上有一點M（a，b）經(jīng)過上述兩次變換，對應A2C2上的點M2的坐標是（a+4，﹣b），
故答案為：（a+4，﹣b），
（4）如下圖：

使△PAB的周長最小即是使PA+PB最小，作A關于y軸對稱點A′，連接A′B，與y軸交點即為所求的點P，
∵A（﹣3，5），
∴A′（3，5），又B（﹣2，1），
∴A′B的解析式為：y=45x+135，
令x＝0得y=135，
∴P（0，135），
故答案為：P（0，135）．
21．如圖，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，BC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E．
（1）求證：AE＝DE；
（2）若AE＝6，求CE的長．

【分析】（1）連接BE，由垂直平分線的性質(zhì)得出BE＝CE，得出∠ABE＝∠DBE＝30°，由直角三角形的性質(zhì)可得出結論；
（2）由直角三角形的性質(zhì)可得出答案．
【解答】（1）證明：連接BE，

∵∠A＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠C＝30°，
∵BC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E．
∴BE＝CE，
∴∠C＝∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝30°，
∴AE=12BE，DE=12BE，
∴AE＝DE；
（2）解：∵∠A＝90°，AE＝6，∠ABE＝30°，
∴BE＝2AE＝12，
∴CE＝BE＝12．
22．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，CD平分∠ACB．
（1）尺規(guī)作圖：作線段AB的垂直平分線l；
（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）記直線l與AB，CD的交點分別是點E，F(xiàn)．當AC＝4時，求EF的長．

【分析】（1）利用尺規(guī)作出線段AB的垂直平分線即可．
（2）連接EC，想辦法證明EF＝EC即可解決問題．
【解析】（1）如圖所示，直線l是所求作的線段AB的垂直平分線．

（2）解：連接EC．

∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，
∴AC=12AB，∠A＝60°，
∴AB＝8，
∵EF是AB的垂直平分線，
∴AE=12AB＝4，∠AEF＝90°，
∴AE＝AC，
∴△AEC是等邊三角形，
∴∠AEC＝∠ACE＝60°，EC＝AC＝4，
∴∠FEC＝∠AEF+∠AEC＝150°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACF=12∠ACB＝45°，
∴∠ECF＝∠ECA﹣∠FCA＝15°，
∴∠EFC＝180°﹣∠FEC﹣∠ECF＝15°＝∠ECF，
∴EF＝EC＝4．
23．平高集團有限公司準備生產(chǎn)甲、乙兩種開關，共8萬件，銷往東南亞國家和地區(qū)，已知2件甲種開關與3件乙種開關銷售額相同；3件甲種開關比2件乙種開關的銷售額多1500元．
（1）甲種開關與乙種開關的銷售單價各為多少元？
（2）若甲、乙兩種開關的銷售總收入不低于5400萬元，則至少銷售甲種開關多少萬件？
【分析】（1）可設甲種商品的銷售單價x元，乙種商品的銷售單價y元，根據(jù)等量關系：①2件甲種商品與3件乙種商品的銷售收入相同，②3件甲種商品比2件乙種商品的銷售收入多1500元，列出方程組求解即可；
（2）可設銷售甲種商品a萬件，根據(jù)甲、乙兩種商品的銷售總收入不低于5400萬元，列出不等式求解即可．
【解析】（1）設甲種商品的銷售單價為x元/件，乙種商品的銷售單價為y元/件，
根據(jù)題意得：2x=3y3x-2y=1500，
解得：x=900y=600．
答：甲種商品的銷售單價為900元/件，乙種商品的銷售單價為600元/件．

（2）設銷售甲種商品a萬件，依題意有
900a+600（8﹣a）≥5400，
解得a≥2．
答：至少銷售甲種商品2萬件．
24．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E．
（1）求證：CD＝BE；
（2）已知CD＝2，求AC的長；
（3）求證：AB＝AC+CD．

【分析】（1）先根據(jù)題意判斷出△ABC是等腰直角三角形，故∠B＝45°，再由DE⊥AB可知△BDE是等腰直角三角形，故DE＝BE，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出結論；
（2）由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE＝BE＝CD，再根據(jù)勾股定理求出BD的長，進而可得出結論；
（3）先根據(jù)HL定理得出Rt△ACD≌Rt△AED，故AE＝AC，再由CD＝BE可得出結論．
【解答】（1）證明：∵在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∵DE⊥AB，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DE＝BE．
∵AD是△ABC的角平分線，
∴CD＝DE，
∴CD＝BE；

（2）解：∵由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE＝BE＝CD，
∴DE＝BE＝CD＝2，
∴BD=DE2+BE2=22+22=22，
∴AC＝BC＝CD+BD＝2+22；

（3）證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD與Rt△AED中，
∵AD=ADCD=DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AE＝AC．
∵由（1）知CD＝BE，
∴AB＝AE+BE＝AC+CD．
25．如圖，點O在直線AB上，OC⊥AB，△ODE中，∠ODE＝90°，∠EOD＝60°，先將△ODE一邊OE與OC重合，然后繞點O順時針方向旋轉，當OE與OB重合時停止旋轉．
（1）當OD在OA與OC之間，且∠COD＝20°時，則∠AOE＝　130°?。?br /> （2）試探索：在△ODE旋轉過程中，∠AOD與∠COE大小的差是否發(fā)生變化？若不變，請求出這個差值；若變化，請說明理由；
（3）在△ODE的旋轉過程中，若∠AOE＝7∠COD，試求∠AOE的大?。?br />
【分析】（1）求出∠COE的度數(shù)，即可求出答案；
（2）分為兩種情況，根據(jù)∠AOC＝90°和∠DOE＝60°求出即可；
（3）根據(jù)∠AOE＝7∠COD、∠DOE＝60°、∠AOC＝90°求出即可．
【解析】（1）∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∵OD在OA和OC之間，∠COD＝20°，∠EOD＝60°，
∴∠COE＝60°﹣20°＝40°，
∴∠AOE＝90°+40°＝130°，
故答案為：130°；

（2）在△ODE旋轉過程中，∠AOD與∠COE的差不發(fā)生變化，
有兩種情況：①如圖1、∵∠AOD+∠COD＝90°，∠COD+∠COE＝60°，
∴∠AOD﹣∠COE＝90°﹣60°＝30°，
②如圖2、∵∠AOD＝∠AOC+∠COD＝90°+∠COD，∠COE＝∠DOE+∠DOC＝60°+∠DOC，
∴∠AOD﹣∠COE＝（90°+∠COD）﹣（60°+∠COD）＝30°，
即△ODE在旋轉過程中，∠AOD與∠COE的差不發(fā)生變化，為30°；

（3）如圖1、∵∠AOE＝7∠COD，∠AOC＝90°，∠DOE＝60°，
∴90°+60°﹣∠COD＝7∠COD，
解得：∠COD＝18.75°，
∴∠AOE＝7×18.75°＝131.25°；
如圖2、∵∠AOE＝7∠COD，∠AOC＝90°，∠DOE＝60°，
∴90°+60°+∠COD＝7∠COD，
∴∠COD＝25°，
∴∠AOE＝7×25°＝175°；
即∠AOE＝131.25°或175°．
26．（1）如圖1，已知點P在正三角形ABC的邊BC上，以AP為邊作正三角形APQ，連接CQ．
①求證：△ABP≌△ACQ；
②若AB＝6，點D是AQ的中點，直接寫出當點P由點B運動到點C時，點D運動路線的長．
（2）已知，△EFG中，EF＝EG＝13，F(xiàn)G＝10．如圖2，把△EFG繞點E旋轉到△EF′G′的位置，點M是邊EF′與邊FG的交點，點N在邊EG′上且EN＝EM，連接GN．求點E到直線GN的距離．

【分析】（1）①根據(jù)正三角形的性質(zhì)知∠BAC＝∠PAQ＝60°，所以∠BAC﹣∠PAC＝∠PAQ﹣∠PAC；然后再由等邊三角形的邊都相等知AB＝AC，AP＝AQ；從而根據(jù)全等三角形的判定定理SAS來證明△ABP≌△ACQ；
②如圖：當點P由點B運動到點C時，點D運動路線為DD′，由三角形中位線定理進行解答．
（2）作輔助線“過點E作底邊FG的垂線，點H為垂足”構建直角三角形，然后根據(jù)旋轉的性質(zhì)先證明△EFM≌△EGN（SAS）；最后求得∠ENG＝∠EMF＝90°、EM＝12，即點E到直線GN的距離是12．
【解析】（1）①證明：∵△ABC和△APQ是正三角形，
∴AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ．
∴∠BAC﹣∠PAC＝∠PAQ﹣∠PAC．
∴∠BAP＝∠CAQ．所以△ABP≌△ACQ．
②如圖：當點P由點B運動到點C時，點D運動路線為DD′，
∵AD＝CD，AD′＝D′Q′，
∴DD′=12CQ′=12AB＝3；
∴點D運動路線的長為3．

（2）解法一：過點E作底邊FG的垂線，點H為垂足．
在△EFG中，易得EH＝12．（6分）類似（1）可證明△EFM≌△EGN，
∴∠EFM＝∠EGN．
∵∠EFG＝∠EGF，
∴∠EGF＝∠EGN，
∴GE是∠FGN的角平分線，
∴點E到直線FG和GN的距離相等，
∴點E到直線GN的距離是12．
解法二：過點E作底邊FG的垂線，點H為垂足．
過點E作直線 GN的垂線，點K為垂足．
在△EFG中，易得EH＝12．
類似（1）可證明△EFM≌△EGN，
∴∠EFM＝∠EGN．可證明△EFH≌△EGK，
∴EH＝EK．所以點E到直線GN的距離是12．
解法三：把△EFG繞點E旋轉，對應著點M在邊FG上從點F開始運動．
由題意，在運動過程中，點E到直線GN的距離不變．
不失一般性，設∠EMF＝90°．類似（1）可證明△EFM≌△EGN，
∴∠ENG＝∠EMF＝90°．
求得EM＝12．
∴點E到直線GN的距離是12．（酌情賦分）

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