?2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期中考試高分直通車【北師大版】
專題3.4期中全真模擬卷04
姓名：__________________ 班級：______________ 得分：_________________
注意事項：
本試卷滿分120分，試題共25題，選擇10道、填空8道、解答7道 .答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．不等式﹣2x+5≥1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】求出不等式的解集，表示在數(shù)軸上即可．
【解析】不等式﹣2x+5≥1，
移項得：﹣2x≥﹣4，
解得：x≤2．
表示在數(shù)軸上，如圖所示：
．
故選：C．
2．如圖，在正方形網(wǎng)格中，線段A′B′是線段AB繞某點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)角α得到的，點(diǎn)A′與A對應(yīng)，則角α的大小為（　?。?br />
A．30° B．60° C．90° D．120°
【分析】如圖：連接AA′，BB′，作線段AA′，BB′的垂直平分線交點(diǎn)為O，點(diǎn)O即為旋轉(zhuǎn)中心．連接OA，OB′，∠AOA′即為旋轉(zhuǎn)角．
【解析】如圖：連接AA′，BB′，作線段AA′，BB′的垂直平分線交點(diǎn)為O，點(diǎn)O即為旋轉(zhuǎn)中心．連接OA，OB′

∠AOA′即為旋轉(zhuǎn)角，
∴旋轉(zhuǎn)角為90°
故選：C．
3．如圖，在△ABC中，以點(diǎn)B為圓心，以BA長為半徑畫弧交邊BC于點(diǎn)D，連接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，則∠DAC的度數(shù)是（　　）

A．70° B．44° C．34° D．24°
【分析】由AB＝BD，∠B＝40°得到∠ADB＝70°，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解析】∵AB＝BD，∠B＝40°，
∴∠ADB＝70°，
∵∠C＝36°，
∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝34°．
故選：C．
4．下列手機(jī)手勢解鎖圖案中，是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．
【解析】A、不是中心對稱圖形；
B、是中心對稱圖形；
C、不是中心對稱圖形；
D、不是中心對稱圖形．
故選：B．
5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC．用直尺和圓規(guī)在邊AC上確定一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，則符合要求的作圖痕跡是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可進(jìn)行判斷．
【解析】要使點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，
需作AB的垂直平分線，
所以A選項符合題意．
故選：A．
6．如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分線DE交AC于D，交AB于E，下列結(jié)論中錯誤的是（　　）

A．BD平分∠ABC
B．△BCD的周長等于AB+BC
C．AD＝BD＝BC
D．△BCD的面積等于△BED的面積
【分析】先求出∠ABC＝∠C＝72°，再用垂直平分線判斷出∠ABD＝∠A＝36°，進(jìn)而判斷出BD是∠ABD的角平分線，判斷出選項A正確，再用三角形的周長公式，即可判斷出選項B正確，再求出∠BDC＝∠C，進(jìn)而判斷出BD＝BD，即可判斷出選項C正確，再判斷出BE＜BC，再用三角形的面積公式，即可判斷出選項D錯誤．
【解析】在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵DE是AB的垂直平分線，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣ABD＝36°＝∠ABD，
∴BD是∠ABC的角平分線，故選項A正確；
△BCD的周長為BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝AB+BC，故選項B正確，
在△BCD中，∠CBD＝36°，∠C＝72°，
∴∠BDC＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，故選項C正確；
過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的角平分線，
∴DE＝DF，
∴S△BDE=12BE?DE=12BE?DF，
S△BCD=12BC?DF，
在Rt△BDE中，∠BED＝90°，
∴BD＞BE，
∴BC＞BE，
∴S△BDE＜S△BCD，故選項D錯誤，
故選：D．

7．如圖，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂線MN交AC于點(diǎn)D，交AB于M，有下面4個結(jié)論：
①射線BD是△ABC是角平分線；②圖中共有三個等腰三角形；③△BCD的周長＝AB+BC；④△AMD≌△BCD．
其中正確的有（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AD＝BD，然后根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)求出∠ABD，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及等腰三角形兩底角相等求出ABC、∠C的度數(shù)，再求出∠CBD，然后對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【解析】∵M(jìn)N是AB的中垂線，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C=12（180°﹣36°）＝72°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°，
∴∠ABD＝∠CBD，射線BD是△ABC是角平分線，故①正確；
在△BCD中，∠BDC＝180°﹣∠CBD﹣∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠C＝∠BDC，
∴△BCD是等腰三角形，
等腰三角形還有△ABC，△ABD，共3個，故②正確；
△BCD的周長＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝AB+BC，故③正確；
④△AMD是有一個銳角是36°的直角三角形，△BCD是頂角為36°的等腰三角形，兩三角形不全等，故本小題錯誤；
綜上所述，正確的有①②③共3個．
故選：C．
8．如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊AB上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為E，連接BE，下列四個結(jié)論：
①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC；
其中一定正確的是（　?。?br />
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故①錯誤，③正確；得到∠ACD＝∠BCE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠A＝∠ADC=180°-∠ACD2，∠CBE=180°-∠BCE2，求得∠A＝∠EBC，故④正確；由于∠A+∠ABC不一定等于90°，于是得到∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故②錯誤．
【解析】∵將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，
∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故①錯誤，③正確；
∴∠ACD＝∠BCE，
∴∠A＝∠ADC=180°-∠ACD2，∠CBE=180°-∠BCE2，
∴∠A＝∠EBC，故④正確；
∵∠A+∠ABC不一定等于90°，
∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故②錯誤．
故選：C．
9．關(guān)于x的不等式組x-13≤1a-x＜2恰好只有四個整數(shù)解，則a的取值范圍是（　　）
A．a(chǎn)＜3 B．2＜a≤3 C．2≤a＜3 D．2＜a＜3
【分析】此題可先根據(jù)一元一次不等式組解出x的取值，再根據(jù)不等式組x-13≤1a-x＜2恰好只有四個整數(shù)解，求出實數(shù)a的取值范圍．
【解析】由不等式x-13≤1，可得：x≤4，
由不等式a﹣x＜2，可得：x＞a﹣2，
由以上可得不等式組的解集為：a﹣2＜x≤4，
因為不等式組x-13≤1a-x＜2恰好只有四個整數(shù)解，
所以可得：0≤a﹣2＜1，
解得：2≤a＜3，
故選：C．
10．如圖，△ABC是等邊三角形，D是線段BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AC的延長線上，且DE＝DF＝AD，點(diǎn)D從B運(yùn)動到C的過程中，△BED周長的變化規(guī)律是（　?。?br />
A．不變 B．一直變小
C．先變大后變小 D．先變小后變大
【分析】由“AAS”可證△BED≌△CDF，由全等三角形的性質(zhì)可得BD＝CF，BE＝CD，可得△BED周長＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，即可求解．
【解析】∵AD＝DE＝DF，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DFA，
∵∠DAE+∠DAF＝∠BAC＝60°，
∴∠DEA+∠DFA＝60°，
∵∠ABC＝∠DEA+∠EDB＝60°，
∴∠EDB＝∠DFA，
∵∠ACB＝∠CFD+∠CDF＝60°，
∴∠CDF＝∠BED，且∠EDB＝∠DFA，DE＝DF，
∴△BDE≌△CFD（AAS），
∴BD＝CF，BE＝CD，
∴△BED周長＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，
∴點(diǎn)D在BC邊上從B至C的運(yùn)動過程中，
∴AD的長先變小后變大，
∴△BED周長先變小后變大，
故選：D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上
11．等腰三角形的一個角為40°，則它的頂角為　40°或100°?。?br /> 【分析】分40°角為底角和頂角兩種情況求解即可．
【解析】
當(dāng)40°角為頂角時，則頂角為40°，
當(dāng)40°角為底角時，則頂角為180°﹣40°﹣40°＝100°，
故答案為：40°或100°．
12．不等式3﹣x＞13的解集為　x＜83?。?br /> 【分析】依次移項、合并同類項、系數(shù)化為1即可得．
【解析】移項，得：﹣x＞13-3，
合并同類項，得：﹣x＞-83，
系數(shù)化為1，得：x＜83，
故答案為：x＜83．
13．一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象如圖所示，當(dāng)y＞0時，則x＜　1　．

【分析】首先根據(jù)函數(shù)圖象可得出y＝kx+b與x軸交于點(diǎn)（1，0），再根據(jù)y＞0時，圖象在x軸上方，因此x的取值范圍是x＜1．
【解析】根據(jù)函數(shù)圖象可得出y＝kx+b與x軸交于點(diǎn)（1，0），
所以當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是x＜1．
故答案是：1．
14．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，將△ABC繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在直線BC上，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′，則∠BCC′＝　65°或25°?。?br /> 【分析】此題應(yīng)分兩種情況考慮：①當(dāng)點(diǎn)A′在CB的延長線上，②當(dāng)點(diǎn)A′在線段BC上時；可根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行求解．
【解析】如圖：
△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，則∠ABC＝∠ACB＝50°；
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠A′BC′＝∠A′BC＝50°；
①當(dāng)點(diǎn)A′在CB的延長線上時；
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：BC′＝BC，
故∠BCC′=12∠A′BC′＝25°；
②當(dāng)點(diǎn)A′在線段BC上時；
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：BC′＝BC，
故∠BCC′=12（180°﹣∠A′BC′）＝65°；
綜上可得：∠BCC′＝65°或25°．
故答案為：65°或25°．

15．某種型號汽車每行駛100km耗油10L，其油箱容量為40L．為了有效延長汽車使用壽命，廠家建議每次加油時油箱內(nèi)剩余油量不低于油箱容量的18，按此建議，一輛加滿油的該型號汽車最多行駛的路程是　350　km．
【分析】設(shè)行駛xkm，由油箱內(nèi)剩余油量不低于油箱容量的18，列出不等式，即可求解．
【解析】設(shè)行駛xkm，
∵油箱內(nèi)剩余油量不低于油箱容量的18，
∴40-10100x≥40×18．
∴x≤350
故該輛汽車最多行駛的路程是350km，
故答案為：350．
16．某景點(diǎn)擬在如圖的矩形荷塘上架設(shè)小橋，若荷塘中小橋的總長為100米，則荷塘周長為　200m?。?br />
【分析】根據(jù)圖形得出荷塘中小橋的總長為矩形的長與寬的和，進(jìn)而得出答案．
【解析】∵荷塘中小橋的總長為100米，
∴荷塘周長為：2×100＝200（m）
故答案為：200m．
17．如圖所示，在△ABC中，DM、EN分別垂直平分AB和AC，交BC于D、E，若∠DAE＝50°，則∠BAC＝　115　度，若△ADE的周長為19cm，則BC＝　19　cm．

【分析】根據(jù)中垂線的性質(zhì)可知∠B＝∠BAD、∠C＝∠CAE，所以∠BAC+∠B+∠C＝∠DAE+2（∠B+∠C）＝180°，所以∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）．
【解析】①∵DM、EN分別垂直平分AB和AC，
∴AD＝BD，AE＝EC，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC（等邊對等角），
∵∠BAC＝∠DAE+∠BAD+∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE+∠B+∠C；
又∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠DAE＝50°，
∴∠BAC＝115°；

②∵△ADE的周長為19cm，
∴AD+AE+DE＝19cm，
由①知，AD＝BD，AE＝EC，
∴BD+DE+EC＝19，即BC＝19cm．
故答案為：115，19．
18．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對稱，再作△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點(diǎn)B2成中心對稱，如此作下去，則△B2nA2n+1B2n+1（n是正整數(shù)）的頂點(diǎn)A2n+1的坐標(biāo)是?。?n+1，3）?。?br />
【分析】首先根據(jù)△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，可得A1的坐標(biāo)為（1，3），B1的坐標(biāo)為（2，0）；然后根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，分別求出點(diǎn)A2、A3、A4的坐標(biāo)各是多少；最后總結(jié)出An的坐標(biāo)的規(guī)律，求出A2n+1的坐標(biāo)是多少即可．
【解析】∵△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，
∴A1的坐標(biāo)為（1，3），B1的坐標(biāo)為（2，0），
∵△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對稱，
∴點(diǎn)A2與點(diǎn)A1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對稱，
∵2×2﹣1＝3，2×0-3=-3，
∴點(diǎn)A2的坐標(biāo)是（3，-3），
∵△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點(diǎn)B2成中心對稱，
∴點(diǎn)A3與點(diǎn)A2關(guān)于點(diǎn)B2成中心對稱，
∵2×3﹣1＝5，2×0﹣（-3）=3，
∴點(diǎn)A3的坐標(biāo)是（5，3），
∵△B3A4B4與△B3A3B2關(guān)于點(diǎn)B3成中心對稱，
∴點(diǎn)A4與點(diǎn)A3關(guān)于點(diǎn)B3成中心對稱，
∵2×4﹣1＝7，2×0-3=-3，
∴點(diǎn)A4的坐標(biāo)是（7，-3），
…，
∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，
∴An的橫坐標(biāo)是2n﹣1，A2n+1的橫坐標(biāo)是2（2n+1）﹣1＝4n+1，
∵當(dāng)n為奇數(shù)時，An的縱坐標(biāo)是3，當(dāng)n為偶數(shù)時，An的縱坐標(biāo)是-3，
∴頂點(diǎn)A2n+1的縱坐標(biāo)是3，
∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整數(shù)）的頂點(diǎn)A2n+1的坐標(biāo)是（4n+1，3）．
故答案為：（4n+1，3）．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．解下列不等式或不等式組，并將解集在數(shù)軸上表示出來．
（1）4x+5≥6x﹣3
（2）x-3(x-2)≤41+2x3＞x-1．
【分析】（1）根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：移項、合并同類項、系數(shù)化為1可得；
（2）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．
【解析】（1）移項，得：4x﹣6x≥﹣3﹣5，
合并同類項，得：﹣2x≥﹣8，
系數(shù)化為1，得：x≤4，
表示在數(shù)軸上如下：


（2）解不等式x﹣3（x﹣2）≤4，得：x≥1，
解不等式1+2x3＞x﹣1，得：x＜4，
∴不等式組的解集為1≤x＜4，
表示在數(shù)軸上如下：

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2）．請解答下列問題：
（1）畫出△ABC向左平移6個單位得到的△A1B1C1，并寫出A1的坐標(biāo)．
（2）畫出△ABC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C2，并寫出A2的坐標(biāo)．
（3）畫出△A2B2C2關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的△A3B3C3，并寫出A3的坐標(biāo)．

【分析】（1）分別畫出A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)A1、B1、C1即可；
（2）分別畫出A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)A2、B2、C2即可；
（3）分別畫出A2、B2、C2的對應(yīng)點(diǎn)A3、B3、C3即可．
【解析】（1）△A1B1C1，如圖所示；A1（﹣4，2）；
（2）△A2B2C2如圖所示；并寫出A2（4，0），
（3）△A3B3C3如圖所示，A3（﹣4，0）、

21．如圖，將Rt△ABC沿某條直線折疊，使斜邊的兩個端點(diǎn)A與B重合，折痕為DE．
（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，試求△ACD的周長；
（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度數(shù)．

【分析】（1）折疊時，對稱軸為折痕DE，DE垂直平分線段AB，由垂直平分線的性質(zhì)得DA＝DB，再把△ACD的周長進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)化即可；
（2）設(shè)∠CAD＝x，則∠BAD＝2x，根據(jù)（1）DA＝DB，可證∠B＝∠BAD＝2x，在Rt△ABC中，利用互余關(guān)系求x，再求∠B．
【解析】（1）由折疊的性質(zhì)可知，DE垂直平分線段AB，
根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得：DA＝DB，
所以，DA+DC+AC＝DB+DC+AC＝BC+AC＝14cm；

（2）設(shè)∠CAD＝x，則∠BAD＝2x，
∵DA＝DB，
∴∠B＝∠BAD＝2x，
在Rt△ABC中，∠B+∠BAC＝90°，
即：2x+2x+x＝90°，x＝18°，
∠B＝2x＝36°．
22．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到CE，連接AE．求證：AE∥BC．

【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)得AC＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD＝CE，∠DCE＝60°，則∠DCE＝∠ACB，所以∠BCD＝∠ACE，接著證明△BCD≌△ACE得到∠EAC＝∠B＝60°，從而得到∠EAC＝∠ACB，然后根據(jù)平行線的判定方法得到結(jié)論．
【解析】∵△ABC是等邊三角形，
∴AC＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，
∵線段CD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴∠DCE＝∠ACB，
即∠BCD+∠DCA＝∠DCA+∠ACE，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD與△ACE中，
BC=AC∠BCD=∠ACEDC=EC，
∴△BCD≌△ACE，
∴∠EAC＝∠B＝60°，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴AE∥BC．
23．甲、乙兩家超市以相同的價格出售同樣的商品，五一期間，為了吸引顧客，各自推出了不同的優(yōu)惠方案，在甲超市累計購買商品超出了400元后，超過部分按原價七折優(yōu)惠；在乙超市購買商品只按原價的八折優(yōu)惠；設(shè)顧客累計購物x元（x＞400）在甲，乙兩個超市所支付的費(fèi)用分別為y1元，y2元．
（1）寫出y1，y2與x之間的關(guān)系式．
（2）試比較顧客到哪家超市購物更優(yōu)惠？說明你的理由．
【分析】（1）根據(jù)題意寫出y1，y2與x之間的關(guān)系式；
（2）分y1＝y(tǒng)2，y1＞y2，y1＜y2三種情況列出方程或不等式，解方程或不等式即可．
【解析】（1）y1＝400+（x﹣400）×0.7＝0.7x+120，
y2＝0.8x；
（2）由y1＝y(tǒng)2，即0.7x+120＝0.8x，解得x＝1200，
由y1＞y2，即0.7x+120＞0.8x，解得x＜1200，
由y1＜y2得，0.7x+120＜0.8x，解得x＞1200，
因為x＞400，所以，當(dāng)x＝1200時，甲，乙哪個超市購買所支付的費(fèi)用相同，
當(dāng)400＜x＜1200時，乙超市購買更合算，
當(dāng)x＞1200時，甲超市購買購買更合算．
24．感知：
如圖①，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°．判斷DB與DC的大小關(guān)系并證明．
探究：
如圖②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DB與DC的大小關(guān)系變嗎？請說明理由．
應(yīng)用：
如圖③，四邊形ABDC中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，則AB﹣AC＝　2a?。ㄓ煤琣的代數(shù)式表示）

【分析】感知：判斷出△ADC≌△ADB，即可得出結(jié)論；
探究：欲證明DB＝DC，只要證明△DFC≌△DEB即可．
應(yīng)用：先證明△DFC≌△DEB，再證明△ADF≌△ADE，結(jié)合BD=2EB即可解決問題．
【解析】感知：解：BD＝DC，
理由：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠DAB，
∵∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，
∴∠C＝90°＝∠B，
在△ADC和△ADB中，∠C=∠B=90°∠DAC=∠DABAD=AD，
∴△ADC≌△ADB（AAS），
∴BD＝DC；

探究：
證明：如圖②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，
∴∠B＝∠FCD，
在△DFC和△DEB中，∠F=∠DEB∠FCD=∠BDF=DE
∴△DFC≌△DEB，
∴DC＝DB；

應(yīng)用：
解；如圖③連接AD、DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，
∴∠B＝∠FCD，
在△DFC和△DEB中，∠F=∠DEB∠FCD=∠BDC=DB
∴△DFC≌△DEB，
∴DF＝DE，CF＝BE，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，AD=ADDE=DF
∴Rt△ADF≌Rt△ADE，
∴AF＝AE，
∴AB﹣AC＝（AE+BE）﹣（AF﹣CF）＝2BE，
在Rt△DEB中，∵∠DEB＝90°，∠B＝∠EDB＝45°，BD＝a，
∴BE=22BD=22a，
∴AB﹣AC＝2BE=2a．
故答案為2a．

25．如圖，在△BAD和△BCE中，∠BAD＝∠BCE＝90°，且AD＝AB，BC＝CE，連接DE，點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，過點(diǎn)E與AD平行的直線交射線AM于點(diǎn)N．
（1）當(dāng)A、B、C三點(diǎn)在同一直線上時（如圖①），求證：AM＝MN；
（2）將圖中的△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A、B、E三點(diǎn)在同一直線上時（如圖②）．求證：△ACN為等腰直角三角形；
（3）將圖中△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到如圖③位置時（即A、B、M在一條直線上），△CAN是否仍為等腰直角三角形？若是，試證明之；若不成立，請說明理由．

【分析】（1）由“AAS”可證△ADM≌△NEM，可得結(jié)論；
（2）易證AB＝DA＝NE，∠ABC＝∠NEC＝135°，從而可以證得△ABC≌△NEC，進(jìn)而可以證得AC＝NC，∠ACN＝∠BCE＝90°，則有△ACN為等腰直角三角形；
（3）同（2）的方法證明△ACN為等腰直角三角形，即可．
【解析】證明：（1）∵EN∥AD，
∴∠MAD＝∠MNE，∠ADM＝∠NEM．
∵點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，
∴DM＝ME，
在△ADM和△NEM中，
∠MAD=∠MNE∠ADM=∠NEMDM=ME，
∴△ADM≌△NEM（AAS），
∴AM＝NM；
（2）∵△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，
∴AB＝AD，CB＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB＝45°，
∵AD∥NE，
∴∠DAE+∠NEA＝180°，
∵∠DAE＝90°，
∴∠NEA＝90°，
∴∠NEC＝135°，
∵A，B，E三點(diǎn)在同一直線上，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝135°．
∴∠ABC＝∠NEC．
∵△ADM≌△NEM（已證），
∴AD＝NE．
∵AD＝AB，
∴AB＝NE．
在△ABC和△NEC中，
AB=NE∠ABC=∠NECBC=EC，
∴△ABC≌△NEC（SAS）．
∴AC＝NC，∠ACB＝∠NCE．
∴∠ACN＝∠BCE＝90°．
∴△ACN為等腰直角三角形；
（3）、（2）中的結(jié)論是仍成立，
理由：如圖3中，
∵AD∥NE，M為DE的中點(diǎn)，
∴易得△ADM≌△NEM，
∴AD＝NE．
∵AD＝AB，
∴AB＝NE，
∵AD∥NE，
∴AN⊥NE，
在四邊形BCEN中，
∵∠BCE＝∠BNE＝90°
∴∠NBC+∠NEC＝360°﹣180°＝180°
∵∠NBC+∠ABC＝180°
∴∠ABC＝∠NEC
在△ABC和△NEC中，
AB=NE∠ABC=∠NECBEC，
∴△ABC≌△NEC（SAS）
∴AC＝NC，∠ACB＝∠NCE．
∴∠ACN＝∠BCE＝90°．
∴△ACN為等腰直角三角形，

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