【新教材2019人教必修第一冊】暑假高一能力提升 專題12一元二次函數(shù)、方程和不等式解析版學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________  一、單選題1．（2020·江蘇贛榆一中月考）不等式的解集是．A． B． C． D．或【答案】D【詳解】或.故選D.2．（2020·湖北荊州·期末）已知是正實數(shù)，且，則的最小值為A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】由，再結(jié)合基本不等式求最值即可得解.【詳解】解：因為且是正實數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，即的最小值為，故選：C.【點睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，重點考查了運算能力，屬基礎(chǔ)題.3．（2020·安徽省舒城中學(xué)開學(xué)考試（文））下列說法中，正確的是（    ）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．，，則【答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項判斷.【詳解】選項A，少了為正數(shù)條件，不一定成立，如，則，所以A不正確；選項B，因為，即，所以B正確；選項C，若，當(dāng)時，則，所以C不正確；選項D，兩個同向不等式相減，差不一定同向，如，兩式相減，所以D不正確.故選：B.【點睛】本題考查不等式命題的真假判斷，熟記不等式性質(zhì)成立的條件是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4．（2020·貴州威寧·期末）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先分別得到，，，即可得到，，的大小關(guān)系.【詳解】，，.所以，又，，均為正數(shù)，即.故選：C【點睛】本題主要考查幾個數(shù)的比較大小，同時考查學(xué)生分析問題的能力，屬于簡單題.5．（2020·宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校開學(xué)考試（理））若不等式 對任意實數(shù) 均成立，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，再對二次項系數(shù)進行分類討論，結(jié)合一元二次不等式在上恒成立，即可求得參數(shù)范圍.【詳解】由題意，不等式，可化為， 當(dāng)，即時，不等式恒成立，符合題意； 當(dāng)時，要使不等式恒成立，需 ， 解得，綜上所述，所以的取值范圍為，故選：.【點睛】本題考查一元二次不等式恒成立求參數(shù)范圍的問題，屬基礎(chǔ)題.6．（2018·懷化市宏宇中學(xué)高二期中（文））若二次不等式在區(qū)間[2,5]上有解，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【解析】 關(guān)于不等式在上有解，所以在上有解，即在上有解，設(shè)，所以恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)的值域為，所以，故選A.點睛：本題主要考查了不等式的有解問題，其中解答中涉及到不等式的有解問題的轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值等知識點的綜合考查，關(guān)鍵在于把不等式的有解問題轉(zhuǎn)化函數(shù)的值域問題，利用函數(shù)的性質(zhì)求解.7．（2020·上海市建平中學(xué)月考）蔬菜價格隨著季節(jié)的變化而有所變化．根據(jù)對農(nóng)貿(mào)市場蔬菜價格的調(diào)查得知，購買千克甲種蔬菜與千克乙種蔬菜所需費用之和大于元，而購買千克甲種蔬菜與千克乙種蔬菜所需費用之和小于元．設(shè)購買千克甲種蔬菜所需費用為元，購買千克乙種蔬菜所需費用為元，則．A． B．C． D．，大小不確定【答案】C【詳解】設(shè)甲、乙兩種蔬菜的價格分別為，元，則，，，兩式分別乘以，，整理得，即，所以．故選．8．（2020·四川武侯·成都七中）實數(shù)，，滿足且，則下列關(guān)系成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等式可變形為，利用完全平方可得大小，由得，做差，配方法比較大小.【詳解】由可得，利用完全平方可得所以，由可得，，，綜上，故選：D【點睛】本題主要考查了做差法比較兩個數(shù)的大小，考查了推理與運算能力，屬于難題. 二、多選題9．（2020·江蘇清江浦·淮陰中學(xué)月考）設(shè)a＞b＞0，則下列不等式一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】對選項A，利用做差法即可判斷；對選項B，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷，對選項C，利用基本不等式即可判斷，對選項D，利用賦值法即可判斷.【詳解】對選項A，，因為，所以，.所以，故A錯誤；對選項B，因為，所以，即，故B正確；對選項C，因為，所以， 即，故C正確；對選項D，設(shè)，，滿足，此時，，不滿足，故D錯誤.故選：BC【點睛】本題主要考查利用作差法，基本不等式法和賦值法比較大小，屬于簡單題. 比較兩個數(shù)的大小主要有四種方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）函數(shù)單調(diào)性法；（4）基本不等式法.10．（2019·全國高一課時練習(xí)）若，則下列說法正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】代入特殊值可探究A,B,C三個選項是否正確，通過作差法得，結(jié)合已知條件，即可判斷的大小關(guān)系.【詳解】A：例如當(dāng)，成立，但是不成立，故A錯誤. B：當(dāng)時，顯然不成立，故本選項說法不正確；C：當(dāng)時，成立，但，故C錯誤.D：，因為，所以，又，所以，即.故選:D.【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.11．（2020·全國高一課時練習(xí)）下列敘述中不正確的是（    ）A．若，，則“”的充要條件是“”B．若，則“”的充要條件是“”C．“”是“方程有一個正根和一個負根”的充分不必要條件D．“”是“”的充分不必要條件【答案】ABC【分析】當(dāng)，，，判斷A選項錯誤；當(dāng)，，判斷B選項錯誤；根據(jù) “”是“方程有一個正根和一個負根”的充要條件判斷C選項錯誤；根據(jù)不等式性質(zhì)判斷D選項正確【詳解】解：A選項：當(dāng)，，此時，但，故A選項錯誤；B選項：當(dāng)，，此時，但，故B選項錯誤；C選項：方程有一個正根和一個負根等價于，所以“”是“方程有一個正根和一個負根”的充要條件，故C選項錯誤；D選項：因為，所以充分性滿足 ，因為或，所以必要性不滿足，故D選項正確；故選：ABC【點睛】本題考查充分條件與必要條件的判定、一元二次不等式的求解、一元二次方程的根的分布、不等式的性質(zhì)，是中檔題.12．（2020·運城市景勝中學(xué)開學(xué)考試）、如圖，已知直線y=3x+3交x軸于點A，交y軸于點B，過A、B兩點的拋物線交x軸于另一點C(3，0).若該拋物線的對稱軸上存在點Q滿足△ABQ是等腰三角形，則點Q的坐標可以是（    ）A．(1，1) B．(1，0) C．(1，6) D．(1，-6)【答案】AB【分析】根據(jù)直線的解析式y=3x+3，當(dāng)x=0和y=0時就可以求出點A、B的坐標，設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，根據(jù)A、B、C三點的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，將拋物線化為頂點式，求出對稱軸，設(shè)出Q點的坐標，△ABQ是等腰三角形的情況分為3種，即A、B、Q分別為等腰三角形的頂點，利用等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理、兩點之間的距離公式即可求出Q點的坐標．【詳解】∵y=3x+3，∴當(dāng)x=0時，y=3，當(dāng)y=0時，x=-1∴A（-1，0），B（0，3），設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，由題意，得，解得，∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴拋物線的對稱軸為x=1設(shè)Q（1，t），①當(dāng)AQ=BQ時，如圖，過點B作BF⊥QF，交對稱軸于F.
由勾股定理可得，，得，解得t=1，∴Q（1，1）；②當(dāng)AB是腰時，Q是對稱軸與x軸交點時，AB=BQ，如圖.，解得t=0或6，當(dāng)Q點的坐標為（1，6）時，其在直線AB上，A、B和Q三點共線，舍去，則此時Q的坐標是（1，0）；③當(dāng)AQ=AB時，如圖.
，解得，則Q的坐標是和，綜上所述：Q的坐標可能為．故選：AB.【點睛】本題考查二次函數(shù)相關(guān)相關(guān)的幾何問題，屬于中檔題.  三、填空題13．（2020·廣西南寧三中開學(xué)考試）若正數(shù)a，b滿足ab=a+b+2，則ab的取值范圍是_____．【答案】【解析】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，整理得，解得或（舍去）∴。∴ab的取值范圍是。答案：。點睛：運用基本不等式的注意點（1）應(yīng)用基本不等式的前提是“一正、二定、三相等”，且三個條件缺一不可；（2）運用公式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如逆用就是；逆用就是等．還要注意“添、拆項”技巧和公式等號成立的條件等．14．（2020·全國高一課時練習(xí)）若命題“，使得”為假命題，則實數(shù)的范圍__________．【答案】【解析】由題意：x2＋(a－1)x＋1＞0恒成立．則對應(yīng)方程x2＋(a－1)x＋1＝0無實數(shù)根．則Δ＝(a－1)2－4＜0，即a2－2a－3＜0，所以－1＜a＜3.15．（2020·湖南天心·長郡中學(xué)高二期末）設(shè),則的最大值為 ________．【答案】【詳解】由兩邊同時加上得兩邊同時開方即得：（且當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”），從而有（當(dāng)且僅當(dāng),即時，“=”成立）故填：.考點：基本不等式.【名師點睛】本題考查應(yīng)用基本不等式求最值，先將基本不等式轉(zhuǎn)化為（a>0,b>0且當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”）再利用此不等式來求解.本題屬于中檔題，注意等號成立的條件.16．（2020·遼寧沈陽·高一期末）設(shè)函數(shù)，對于，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______【答案】【分析】把不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為在恒成立，利用基本不等式求得的最小值，進而得到，結(jié)合一元二次不等式的解法，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，因為對于，不等式恒成立，即在恒成立，即在恒成立，又由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，即，即，解得或，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題主要考查了不等式的恒成立問題，一元二次不等式的解法，以及基本不等式求最值的綜合應(yīng)用，著重考查轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題. 四、解答題17．（2020·江蘇揚中市第二高級中學(xué)開學(xué)考試）已知函數(shù)，.（1）若對任意，都有成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若對任意，都有成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）通過分離變量將問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，通過二次函數(shù)性質(zhì)求得的最大值，進而得到結(jié)果；（2）通過分離變量將問題轉(zhuǎn)化為存在，使得成立，通過二次函數(shù)性質(zhì)求得的最小值，進而得到結(jié)果；（3）將問題轉(zhuǎn)化為，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可分別求得最值，進而構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意得：對任意恒成立，即對任意恒成立，當(dāng)時，取得最大值，，即的取值范圍為.（2）由題意得：存在，使得成立，即存在，使得成立，當(dāng)時，取得最小值，，即的取值范圍為.（3）由題意得：當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，，解得：，即的取值范圍為.【點睛】本題考查與二次函數(shù)有關(guān)的恒成立和能成立問題的求解，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值的求解問題，屬于?？碱}型.18．（2017·山東師范大學(xué)附中高二期中（理））“足寒傷心，民寒傷國”，精準扶貧是鞏固溫飽成果、加快脫貧致富、實現(xiàn)中華民族偉大“中國夢”的重要保障．某地政府在對石山區(qū)鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)實施精準扶貧的工作中，準備投入資金將當(dāng)?shù)剞r(nóng)產(chǎn)品進行二次加工后進行推廣促銷，預(yù)計該批產(chǎn)品銷售量萬件（生產(chǎn)量與銷售量相等）與推廣促銷費萬元之間的函數(shù)關(guān)系為（其中推廣促銷費不能超過3萬元）．已知加工此批農(nóng)產(chǎn)品還要投入成本萬元（不包含推廣促銷費用），若加工后的每件成品的銷售價格定為元/件．（1）試將該批產(chǎn)品的利潤萬元表示為推廣促銷費萬元的函數(shù)；（利潤銷售額成本推廣促銷費）（2）當(dāng)推廣促銷費投入多少萬元時，此批產(chǎn)品的利潤最大？最大利潤為多少？【答案】(1)詳見解析;(2) 當(dāng)推廣促銷費投入2萬元時，利潤最大為14萬元.【解析】試題分析：（1）結(jié)合題意可得；（2）由，通過變形利用基本不等式可得，即得最大利潤為14萬元。試題解析：（1）由題意知                                          （2）由（1）得 ，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時等號成立。當(dāng)時，。                                答：當(dāng)推廣促銷費投入2萬元時，利潤最大為14萬元.19．（2018·陽春市第一中學(xué)開學(xué)考試）已知關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象與x軸有2個交點.（1）求k的取值范圍；（2）若圖象與x軸交點的橫坐標為，，且它們的倒數(shù)之和是，求k的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩交點，得出時，有兩個不相等的實數(shù)根，從而可知，解不等式即可得出答案； 
（2）由根與系數(shù)關(guān)系得出方程，解方程即可得出答案．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象與x軸有兩交點，∴當(dāng)時，有兩個不相等的實數(shù)根.∴.解得；（2）當(dāng)時，，則，，∵，解得：或（舍去），∴.【點睛】本題考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.20．（2020·沙坪壩·重慶南開中學(xué)月考）某城市上年度電價為0.80元/千瓦時，年用電量為千瓦時.本年度計劃將電價降到0.55元/千瓦時～0.7元/千瓦時之間，而居民用戶期望電價為0.40元/千瓦時（該市電力成本價為0.30元/千瓦時)，經(jīng)測算，下調(diào)電價后，該城市新增用電量與實際電價和用戶期望電價之差成反比，比例系數(shù)為.試問當(dāng)?shù)仉妰r最低為多少元/千瓦時，可保證電力部門的收益比上年度至少增加20%.【答案】電價最低為元/千瓦時，可保證電力部門的收益比上一年度至少增加.【解析】試題分析： 根據(jù)題意列新增用電量，再乘以單價利潤得收益，列不等式，解一元二次不等式，根據(jù)限制條件取交集得電價取值范圍，即得最低電價試題解析：設(shè)新電價為元/千瓦時，則新增用電量為千瓦時.依題意，有， 即，整理，得，解此不等式，得或，又，所以，，因此，，即電價最低為元/千瓦時，可保證電力部門的收益比上一年度至少增加.21．（2021·河南高二三模（理））已知，，，證明：（1）；（2）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)，利用基本不等式可證得結(jié)論；（2）將不等式左側(cè)配湊化簡為，結(jié)合（1）中結(jié)論可得到結(jié)論.【詳解】（1），，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號）；（2）.由（1）可知：，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.22．（2020·眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)期中）設(shè)函數(shù),（1）若不等式的解集為，求的值；（2）若，求的最小值．（3）若 求不等式的解集.【答案】（1）2；（2）；（3）分類討論，詳見解析.【分析】（1）根據(jù)不等式與相應(yīng)的方程之間的關(guān)系得出關(guān)于的方程組，求解可得出的值； （2）由得，再代入中運用均值不等式可求得最小值； （3）由已知將不等式化為，即，對分①，②，③，④四種情況分別討論得出不等式的解集.【詳解】（1）由不等式的解集為可得：方程的兩根為，3且,由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，所以（2）由已知得,則，當(dāng)時，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）；當(dāng)時，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）；所以的最小值為；（3）由得，又因為 所以不等式化為，即，當(dāng)時，，原不等式或若，原不等式此時原不等式的解的情況應(yīng)由與1的大小關(guān)系決定，故（1）當(dāng)時，不等式的解集為；（2）當(dāng)時，，不等式；（3）當(dāng)時，，不等式 .綜上所述，不等式的解集為：①當(dāng)時，或；②當(dāng)時，；③當(dāng)時，；④當(dāng)時，.故得解.【點睛】本題綜合考查二次函數(shù)與一元二次不等式、一元二次方程之間的轉(zhuǎn)化的關(guān)系，以及利用均值不等式求解最值和討論參數(shù)的范圍求解一元二次不等式，屬于中檔題.  

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