?2020-2021學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】
專題3.4第3章勾股定理單元測試（基礎(chǔ)卷）
姓名：__________________ 班級：______________ 得分：_________________
注意事項：
本試卷滿分100分，考試時間60分鐘，試題共26題，選擇8道、填空10道、解答8道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．
一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2019秋?江蘇省濱?？h期中）下列各組數(shù)中，為勾股數(shù)的是（　?。?br /> A．1，2，3 B．3，4，5 C．1.5，2，2.5 D．5，10，12
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理分別進(jìn)行分析，從而得到答案．
【解答】解：A、∵12+22≠32，∴這組數(shù)不是勾股數(shù)；
B、∵32+42＝52，∴這組數(shù)是勾股數(shù)；
C、∵1.52+22＝2.52，但這三個數(shù)不都是整數(shù)，∴這組數(shù)不是勾股數(shù)；
D、∵52+102≠122，∴這組數(shù)不是勾股數(shù)．
故選：B．
2．（2019秋?江蘇省新吳區(qū)期中）在直角三角形中，若直角邊為6和8，則斜邊為（　?。?br /> A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】在直角三角形中，已知兩直角邊為6、8，則根據(jù)勾股定理即可計算斜邊的長度．
【解答】解：在直角三角形中，
根據(jù)勾股定理：兩直角邊的平方和為斜邊的平方，
∴斜邊長=62+82=10，
故選：D．
3．（2019秋?江蘇省鎮(zhèn)江期中）如圖，將一根長13厘米的筷子置于底面直徑為6厘米，高為8厘米的圓柱形杯子中，則筷子露在杯子外面的長度至少為（　　）厘米．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】首先應(yīng)根據(jù)勾股定理求得圓柱形水杯的最大線段的長度，即62+82=10，故筷子露在杯子外面的長度至少為多少可求出．
【解答】解：如圖所示，筷子，圓柱的高，圓柱的直徑正好構(gòu)成直角三角形，
∴勾股定理求得圓柱形水杯的最大線段的長度，即62+82=10（cm），
∴筷子露在杯子外面的長度至少為13﹣10＝3cm，
故選：C．
4．（2019秋?江蘇省亭湖區(qū)校級期中）下列四組線段中，能組成直角三角形的是（　?。?br /> A．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4 B．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝5
C．a(chǎn)＝4，b＝5，c＝6 D．a(chǎn)＝7，b＝8，c＝9
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個是直角三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，這個就是直角三角形．
【解答】解：∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴能組成直角三角形的一組數(shù)是a＝3，b＝4，c＝5，
故選：B．
5．（2019秋?江蘇省金臺區(qū)校級期中）若直角三角形的兩邊長分別為a，b，且滿足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，則該直角三角形的第三邊長的平方為（　　）
A．25 B．7 C．25或7 D．25或16
【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出a、b的值，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，
∴（a﹣3）2＝0，b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
∴直角三角形的第三邊長=32+42=5，或直角三角形的第三邊長=42-32=7，
∴直角三角形的第三平方為25或7，
故選：C．
6．（2019秋?江蘇省濱海縣期中）兩個邊長分別為a，b，c的直角三角形和一個兩條直角邊都是c的直角三角形拼成如圖所示的圖形，用兩種不同的計算方法計算這個圖形的面積，則可得等式為（　?。?br />
A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a(chǎn)2+b2＝c2 D．a(chǎn)2﹣b2＝c2
【分析】用兩種方法求圖形面積，一是直接利用梯形面積公式來求；一是利用三個三角形面積之和來求．
【解答】解：根據(jù)題意得：S=12（a+b）（a+b），S=12ab+12ab+12c2，
∴12（a+b）（a+b）=12ab+12ab+12c2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得：a2+b2＝c2．
故選：C．
7．（2019秋?江蘇省江陰市校級期中）如圖，在△ABC中，點O是∠ABC、∠ACB平分線的交點，且AB＝13，BC＝15，AC＝14，則點O到邊AB的距離為（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】過B作BD⊥AC于D，則∠ADB＝∠CDB＝90°，依據(jù)勾股定理即可得到AD＝5，進(jìn)而得出BD的長，再根據(jù)面積法即可得到點O到邊AB的距離．
【解答】解：如圖所示，過B作BD⊥AC于D，則∠ADB＝∠CDB＝90°，
設(shè)AD＝x，則CD＝14﹣x，
∵Rt△ABD中，BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣x2，
Rt△BCD中，BD2＝CB2﹣CD2＝152﹣（14﹣x）2，
∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
解得x＝5，
∴AD＝5，
∴BD=AB2-AD2=132-52=12，
∵點O是∠ABC、∠ACB平分線的交點，
∴點O到△ABC的三邊的距離相等，
設(shè)點O到邊AB的距離為h，則
12AC×BD=12（AB+BC+AC）×h，
∴12×14×12=12（13+15+14）×h，
解得h＝4，
∴點O到邊AB的距離為4，
故選：C．

8．（2019秋?江蘇省建湖縣期中）如圖，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于E，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC、CF于M、F，若EM＝3，則CE2+CF2的值為（　?。?br />
A．36 B．9 C．6 D．18
【分析】根據(jù)角平分線的定義可以證明出△CEF是直角三角形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義證明得到EM＝CM＝MF然后求出EF的長度，然后利用勾股定理列式計算即可求解．
【解答】解：∵CE平分∠ACB交AB于E，CF平分∠ACD，
∴∠1＝∠2=12∠ACB，∠3＝∠4=12∠ACD，
∴∠2+∠3=12（∠ACB+∠ACD）＝90°，
∴△CEF是直角三角形，
∵EF∥BC，
∴∠1＝∠5，∠4＝∠F，
∴∠2＝∠5，∠3＝∠F，
∴EM＝CM，CM＝MF，
∵EM＝3，
∴EF＝3+3＝6，
在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2＝62＝36．
故選：A．

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．請把答案直接填寫在橫線上）
9．（2019秋?江蘇省沭陽縣期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，BC＝　8　．
【分析】由勾股定理可得結(jié)論．
【解答】解：由勾股定理得：BC=AB2-AC2=102-62=8，
故答案為：8．
10．（2019秋?江蘇省宿豫區(qū)期中）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，AC＝　5?。?br /> 【分析】在△ABC中，∠C＝90°，則AB2＝AC2+BC2，根據(jù)題目給出的BC＝12，AB＝13，根據(jù)勾股定理可以求AC的長．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，
∴AC=AB2-BC2=5．
故答案為：5．
11．（2019秋?江蘇省睢寧縣期中）在△ABC中，∠C＝90°，c＝2，則a2+b2+c2＝　8?。?br /> 【分析】由∠C＝90°，則c為斜邊，根據(jù)勾股定理計算即可．
【解答】解：
∵△ABC中，∠C＝90°，c＝2，
∴a2+b2＝c2＝4，
∴a2+b2+c2＝4+4＝8，
故答案為：8
12．（2019秋?江蘇省濱?？h期中）斜邊上的中線長為5的等腰直角三角形的面積為　25?。?br /> 【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求得斜邊的長，再根據(jù)面積公式求得其面積．
【解答】解：根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得斜邊長為10，
由等腰直角三角形的性質(zhì)得：斜邊上的中線＝斜邊上的高＝5，
則面積為 12×10×5＝25．
故答案為：25．
13．（2020春?興化市期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足為D．若∠A＝32°，則∠BCD＝　32　°．

【分析】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得到∠BCD＝∠A，得到答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝32°，
故答案為：32．
14．（2019秋?江蘇省蘇州期中）如圖，△ABC中，∠C＝90°，點D為AC上一點，∠ABD＝2∠BAC＝45°，若AD＝12，則△ABD的面積為　36?。?br />
【分析】作DE⊥DB交AB于E，則∠DEB＝90°﹣∠ABD＝45°，證出AE＝DE＝DB，設(shè)AE＝DE＝DB＝x，則BE=2x，AB＝（2+1）x，證明△BCD∽△ACB，得出BCCD=ACBC=ABBD=2+1，設(shè)BC＝y(tǒng)，則AC＝（2+1）y，CD＝（2-1）y，由AD＝AC﹣CD＝12，得出（2+1）y﹣（2-1）y＝12，解得y＝6，得出BC＝6，由三角形面積公式即可得出答案．
【解答】解：作DE⊥DB交AB于E，如圖所示：
則∠DEB＝90°﹣∠ABD＝45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DB＝DE，
∵∠ABD＝2∠BAC＝45°，
∴∠BAC＝22.5°，
∴∠ADE＝∠DEB﹣∠BAC＝22.5°＝∠BAC，
∴AE＝DE＝DB，
設(shè)AE＝DE＝DB＝x，則BE=2x，AB＝（2+1）x，
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝67.5°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝22.5°＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴BCCD=ACBC=ABBD=2+1，
設(shè)BC＝y(tǒng)，則AC＝（2+1）y，CD＝（2-1）y，
∵AD＝AC﹣CD＝12，
∴（2+1）y﹣（2-1）y＝12，
解得：y＝6，
∴BC＝6，
∴△ABD的面積=12AD×BC=12×12×6＝36；
故答案為：36．

15．（2019秋?江蘇省大豐區(qū)期中）△ABC為直角三角形，分別以三邊向形外作三個正方形，且S1＝7，S2＝2，則S3＝　5?。?br />
【分析】根據(jù)勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根據(jù)正方形的面積公式計算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC為直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2，
由題意得：S1＝AB2＝7，S2＝BC2＝2，
∴S3＝AC2＝AB2﹣BC2＝7﹣2＝5，
故答案為：5．
16．（2019秋?江蘇省鎮(zhèn)江期中）如圖，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S1，S2，S3表示，若S1＝5，S2＝3，則S3＝　2?。?br />
【分析】利用直角△ABC的邊長就可以表示出S1、S2、S3的大?。切蔚倪厺M足勾股定理．
【解答】解：設(shè)直角三角形ABC的三邊BC、CA、AB的長分別為a、b、c，則c2＝a2+b2
可得：S1＝S2+S3；
∵S1＝5，S2＝3，
則S3＝5﹣3＝2，
故答案為：2
17．（2019秋?江蘇省常州期中）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，分別以△ABC的邊AB、BC、AC向外作等腰Rt△ABF，等腰Rt△BEC和等腰Rt△ADC，記△ABF、△BEC，△ADC的面積分別是S1，S2，S3，則S1、S2、S3之間的數(shù)量關(guān)系是　12S1＝S2+S3　

【分析】根據(jù)勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式計算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∵△ABF、△BEC、△ADC都是等腰直角三角形，
∴S1=12AB2，S2=12EC2=14BC2，S3=12AD2=14AC2，
S2+S3=14BC2+14AC2=14AB2，
∴S2+S3=12S1，
故答案為：12S1＝S2+S3．
18．（2020春?泉山區(qū)校級期中）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，正方形A，B，C的面積分別是8cm2，10cm2，14cm2，則正方形D的面積是　17　cm2．

【分析】根據(jù)勾股定理有S正方形1+S正方形2＝S大正方形＝49，S正方形C+S正方形D＝S正方形2，S正方形A+S正方形B＝S正方形1，等量代換即可求正方形D的面積．
【解答】解：根據(jù)勾股定理可知，
∵S正方形1+S正方形2＝S大正方形＝49，
S正方形C+S正方形D＝S正方形2，
S正方形A+S正方形B＝S正方形1，
∴S大正方形＝S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝49．
∴正方形D的面積＝49﹣8﹣10﹣14＝17（cm2）；
故答案為：17．

三、解答題（本大題共8小題，共64分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2019秋?江蘇省姜堰區(qū)縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，已知AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC，試說明：AC⊥CD．

【分析】在△ABC中，根據(jù)勾股定理求出AC2的值，再在△ACD中根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷出AC⊥CD．
【解答】證明：在△ABC中AB⊥BC，根據(jù)勾股定理：AC2＝AB2+BC2＝12+22＝5，
∵在△ACD中，AC2+CD2＝5+4＝9，AD2＝9，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴根據(jù)勾股定理的逆定理，△ACD為直角三角形，
∴AC⊥CD．
20．（2019秋?江蘇省沭陽縣期中）某中學(xué)有一塊四邊形空地ABCD，如圖現(xiàn)計劃在該空地上種草皮，經(jīng)測量∠A＝90°，AB＝16m，BC＝25m，CD＝15m，AD＝12m．若每平方米草皮需100元，問需投入多少元？

【分析】根據(jù)勾股定理得出BD的長，再利用勾股定理的逆定理得出△DBC是直角三角形，進(jìn)而求出總的面積求出答案即可．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝16m，DA＝12m，
∴DB=162+122=20（m），
∵BC＝25m，CD＝15m，
∴BD2+BC2＝DC2，
∴△DBC是直角三角形，
∴S△ABD+S△DBC=12×12×16+12×15×20＝246（m2），
∴需投入總資金為：100×246＝24600（元）．

21．（2019秋?江蘇省阜寧縣期中）在四邊形ABCD中，AC⊥DC，AD＝13cm，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求四邊形ABCD的面積．

【分析】利用勾股定理求出AC的長度，在△ABC中根據(jù)勾股定理逆定理可以得出是直角三角形，根據(jù)直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半計算即可求解．
【解答】解：在Rt△ACD中，
AC=AD2-CD2=132-122=5cm，
在△ABC中，
∵AB2+BC2＝9+16＝25，
AC2＝52＝25，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴四邊形ABCD的面積=12AB?BC+12AC?CD=12×3×4+12×5×12＝36cm2．
22．（2019秋?江蘇省邳州市期中）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，且AC+AD＝32，BD＝5，CD＝16，試確定AB的長．

【分析】設(shè)AD＝x，則AC＝32﹣x，根據(jù)勾股定理可求出x的值，在直角三角形ABD中，再利用勾股定理即可求出AB的長．
【解答】解：設(shè)AD＝x，則AC＝32﹣x，
∵AD⊥BC于點D，
∴△ADC和△ADB是直角三角形，
∵CD＝16，
∴x2+162＝（32﹣x）2，
解得：x＝12，
∴AD＝12，
在直角三角形ABD中，AB=52+122=13．
23．（2019秋?江蘇省灌云縣期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝25，AC＝24，AM＝AC，BN＝BC，求MN的長．

【分析】先根據(jù)勾股定理求出BC的長，再根據(jù)MN＝AM+BN﹣AB即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝24，AB＝25，
∴BC=252-242=7．
又∵AC＝24，BC＝7，AM＝AC，BN＝BC，
∴AM＝24，BN＝7，
∴MN＝AM+BN﹣AB＝24+7﹣25＝6．
24．（2019秋?江蘇省沭陽縣期中）△ABC的三邊長分別是a、b、c，且a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1．
（1）判斷三角形的形狀；
（2）若以邊b為直徑的半圓面積為2π，求△ABC的面積；
（3）若以邊a、b為直徑的半圓面積分別為p、q，求以邊c為直徑的半圓面積．（用p、q表示）
【分析】（1）先求出a2+b2及c2的值，再根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行解答即可；
（2）先求出b＝4，得出n＝2，a＝3，即可得出答案；
（3）由圓面積公式得出p=πa28，q=πb28，由勾股定理和圓面積公式是即可得出答案．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵在△ABC中，三條邊長分別是a、b、c，且a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1（n＞1），
∴a2+b2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝（n2+1）2，c2＝（n2+1）2，
∴a2+b2＝c2，
∴∠C＝90°，△ABC是直角三角形．
（2）∵以邊b為直徑的半圓的半徑為r，則12π（b2）2＝2π，
解得：b＝4，
∴2n＝4，
∴n＝2，
∴a＝3，
∴△ABC的面積=12ab=12×3×4＝6；
（3）∵以邊a、b為直徑的半圓面積分別為p、q，
∴p=12π（a2）2=πa28，q=12π（b2）2=πb28，
∵△ABC是直角三角形，
∴a2+b2＝c2，
∴以邊c為直徑的半圓面積=12π（c2）2=πc28=π8（a2+b2）=πa28+πb28=p+q．
25．（2019秋?江蘇省蘇州期中）如圖，在吳中區(qū)上方山動物園里有兩只猴子在一棵樹CD上的點B處，且BC＝5m，它們都要到池塘A處吃東西，其中一只猴子甲沿樹爬至C再沿CA走到離樹24m處的池塘A處，另一只猴子乙先爬到樹頂D處后再沿纜繩DA線段滑到A處．已知猴子甲所經(jīng)過的路程比猴子乙所經(jīng)過的路程多2m，設(shè)BD為xm．
（1）請用含有x的整式表示線段AD的長為　27﹣x　m；
（2）求這棵樹高有多少米？

【分析】已知BC，要求CD求BD即可，可以設(shè)BD為x，找到兩只猴子經(jīng)過路程相等的等量關(guān)系，即BD+DA＝BC+CA，根據(jù)此等量關(guān)系列出方程即可求解．
【解答】解：（1）設(shè)BD為x米，且存在BD+DA＝BC+CA﹣2，
即BD+DA＝27，DA＝27﹣x，
故答案為：27﹣x；
（2）∵∠C＝90°
∴AD2＝AC2+DC2
∴（27﹣x）2＝（x+5）2+242
∴x＝2
∴CD＝5+2＝7，
答：樹高7米
26．（2019秋?江蘇省鼓樓區(qū)期中）如圖（1）是用硬板紙做成的兩個全等的直角三角形，兩直角邊的長分別為a和b，斜邊長為c，請你開動腦筋，將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形．
（1）畫出拼成的這個圖形的示意圖，并用這個圖形證明勾股定理；
（2）假設(shè)圖（1）中的直角三角形有若干個，你能運用圖（1）中所給的直角三角形拼出另一種能證明勾股定理的圖形嗎？請畫出拼后的示意圖（無需證明）

【分析】（1）此題要由圖中給出的三個三角形組成一個梯形，而且上底和下底分別為a，b，高為a+b；此題主要是利用梯形的面積和三角形的面積公式進(jìn)行計算，根據(jù)圖中可知，由此列出等式即可求出勾股定理；
（2）此題的方法很多，這里只舉一種例子，即把四個直角三角形組成一個正方形．
【解答】解解：（1）如圖所示，是梯形；

由上圖我們根據(jù)梯形的面積公式可知，梯形的面積=12（a+b）（a+b）．
從上圖我們還發(fā)現(xiàn)梯形的面積＝三個三角形的面積，即 12ab+12ab+12c2．
兩者列成等式化簡即可得：a2+b2＝c2；
（2）畫邊長為（a+b）的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊．



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初中數(shù)學(xué)蘇科版八年級上冊電子課本 舊教材

3.1 勾股定理

版本： 蘇科版

年級： 八年級上冊

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