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第二講：平行線及其判定
一、 主要內(nèi)容
1、平行線的定義及畫法 2、平行公理及推論 3、直線平行的判定

二、基本概念
1、平行線的定義及畫法
1．定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，如果直線a與b平行，記作a∥b．
要點詮釋：
(1)平行線的定義有三個特征：一是在同一個平面內(nèi)；二是兩條直線；三是不相交，三者缺一不可；
(2)有時說兩條射線平行或線段平行，實際是指它們所在的直線平行，兩條線段不相交并不意味著它們就平行．
(3)在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有相交和平行兩種．特別地，重合的直線視為一條直線，不屬于上述任何一種位置關(guān)系．
2.平行線的畫法：
用直尺和三角板作平行線的步驟：
①落：用三角板的一條斜邊與已知直線重合.
②靠：用直尺緊靠三角板一條直角邊.
③推：沿著直尺平移三角板,使與已知直線重合的斜邊通過已知點.
④畫：沿著這條斜邊畫一條直線,所畫直線與已知直線平行.
1．下列敘述正確的是 ( )
A． 兩條直線不相交就平行
B． B．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線叫做平行線
C．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線
D．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段叫做平行線
【答案】C
【解析】在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系是不相交就平行，但在空間就不一定了，故A選項錯；平行線是在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線，不相交的兩條曲線就不是平行線，故B選項錯；平行線是針對兩條直線而言．不相交的兩條線段所在的直線不一定不相交，故D選項錯．
【總結(jié)升華】本例屬于對概念的考查，應(yīng)從平行線的概念入手進行判斷．
舉一反三：【變式】下列說法錯誤的是（　?。?br /> 　 A． 無數(shù)條直線可交于一點
　 B． 直線的垂線有無數(shù)條，但過一點與垂直的直線只有一條
　 C． 直線的平行線有無數(shù)條，但過直線外一點的平行線只有一條
　 D． 互為鄰補角的兩個角一個是鈍角，一個是銳角
【答案】D
2、平行公理及推論
1．平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．
2．推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．
要點詮釋：
(1)平行公理特別強調(diào)“經(jīng)過直線外一點”，而非直線上的點，要區(qū)別于垂線的第一性質(zhì)．
(2)公理中“有”說明存在；“只有”說明唯一．
(3)“平行公理的推論”也叫平行線的傳遞性.
2．下列說法中正確的有 ( )
①一條直線的平行線只有一條；②過一點與已知直線平行的直線只有一條；③因為a∥b，c∥d，所以a∥d；④經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．
A．1個 B 2個 C．3個 D．4個
【答案】 A
【解析】一條直線的平行線有無數(shù)條，故①錯；②中的點在直線外還是在直線上位置不明確，所以②錯，③中b與c的位置關(guān)系不明確，所以③也是錯誤的；根據(jù)平行公理可知④正確，故選A．
【總結(jié)升華】本題主要考察的是“平行公理及推論”的內(nèi)容，要正確理解必須要抓住關(guān)鍵字詞及其重要特征，在理解的基礎(chǔ)上記憶，在比較中理解．
舉一反三：【變式】直線a∥b，b∥c，則直線a與c的位置關(guān)系是 .
【答案】平行
3、直線平行的判定
判定方法1：同位角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語言：
∵　∠3＝∠2
∴　AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）
判定方法2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語言：
∵　∠1＝∠2
∴　AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）
判定方法3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.如上圖，幾何語言：
∵　∠4＋∠2＝180°
∴　AB∥CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）
要點詮釋：平行線的判定是由角相等或互補，得出平行，即由數(shù)推形.
3.如圖，下列條件中不能判定AB∥CD的是（　?。?br /> A． ∠3=∠4 B．∠1=∠5
C．∠1+∠4=180° D．∠3=∠5
【思路點撥】根據(jù)平行線的判定方法進行判斷．
【答案】D
【解析】解：∠3=∠5是同旁內(nèi)角相等，但不一定互補，所以不能判定AB∥CD．
【總結(jié)升華】正確識別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵，只有同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補，才能推出兩被截直線平行．
舉一反三：【變式1】如圖，下列條件中，不能判斷直線∥的是（ ）.
A． ∠1=∠3　　B．∠2=∠3　　
C．∠4=∠5　　D．∠2+∠4=1800

【答案】B


【變式2】已知，如圖，BE平分DABC，CF平分DBCD，D1=D2，求證：AB//CD．
【答案】∵ D1=D2
∴ 2D1=2D2 ，即∠ABC＝∠BCD
∴ AB//CD （內(nèi)錯角相等，兩直線平行）



4.如圖所示，由(1)∠1＝∠3，(2)∠BAD＝∠DCB，可以判定哪兩條直線平行．
【思路點撥】試著將復(fù)雜的圖形分解成“基本圖形”．
【答案與解析】解：(1)由∠1＝∠3，
可判定AD∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；
(2)由∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3得：
∠2＝∠BAD-∠1＝∠DCB-∠3＝∠4（等式性質(zhì)），即∠2＝∠4
可以判定AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．
綜上，由（1）（2）可判定：AD∥BC，AB∥CD.
【總結(jié)升華】本題探索結(jié)論的過程采用了“由因索果”的方法．即在條件下探索由這些條件可推導(dǎo)出哪些結(jié)論，再由這些結(jié)論推導(dǎo)出新的結(jié)論，直到得出結(jié)果．
5.在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行嗎？為什么？
【答案與解析】解：這兩條直線平行.理由如下：
如圖：∵ b⊥a, c⊥a ∴ ∠1＝∠2＝90°
∴ b∥c (同位角相等，兩直線平行) ．
【總結(jié)升華】本題的結(jié)論可以作為兩直線平行的判定方法.
舉一反三：【變式】已知，如圖，EF^EG，GM^EG，D1=D2，AB與CD平行嗎？請說明理由．



【答案】解：AB∥CD．理由如下：如圖：
∵ EF^EG，GM^EG (已知)，∴ ∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定義)．
又∵ ∠1＝∠2(已知)，
∴ ∠FEQ -∠1＝∠MGE -∠2 (等式性質(zhì))，
即∠3＝∠4．∴ AB∥CD (同位角相等，兩直線平行)．
三、課堂講解
1、下列說法正確的是 ( )
A．不相交的兩條線段是平行線.
B．不相交的兩條直線是平行線.
C．不相交的兩條射線是平行線.
D．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.
【答案】D
【解析】平行線定義中三個關(guān)鍵詞語：“同一平面內(nèi)”，“不相交”，“兩條直線”.
【總結(jié)升華】本例屬于對概念的考查，應(yīng)從平行線的概念入手進行判斷．
2、在同一平面內(nèi)，下列說法：（1）過兩點有且只有一條直線；（2）兩條直線有且只有一個公共點；（3）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；（4）過一點有且只有一條直線與已知直線平行。其中正確的個數(shù)為：( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B 【解析】正確的是：（1）(3).
【總結(jié)升華】對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同的幾何語言的表達要注意區(qū)分不同表述之間的聯(lián)系和區(qū)別．
3、下列命題中正確的有（　?。?br /> ①相等的角是對頂角； ②若a∥b，b∥c，則a∥c；
③同位角相等； 　　　 ④鄰補角的平分線互相垂直．
　 A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】C
4、下列圖形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（　?。?br /> A．B．C． D．
【答案】B
5、一個學(xué)員在廣場上駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是( )
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°
【答案】A提示：“方向相同”有兩層含義，即路線平行且方向相同，在此基礎(chǔ)上準確畫出示意圖．
圖B顯然不同向，因為路線不平行．
圖C中，∠1＝180°-130°＝50°，路線平行但不同向．
圖D中，∠1＝180°-130°＝50°，路線平行但不同向．
只有圖A路線平行且同向，故應(yīng)選A．
6、如圖所示，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．試說明AB∥EF的理由．
【思路點撥】利用輔助線把AB、EF聯(lián)系起來．
【答案與解析】
解法1：如圖所示,在∠BCD的內(nèi)部作∠BCM＝25°,在∠CDE的內(nèi)部作∠EDN＝10°
∵ ∠B＝25°,∠E＝10°(已知)，∴ ∠B＝∠BCM,∠E＝∠EDN(等量代換)．
∴ AB∥CM，EF∥DN(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．
又∵ ∠BCD＝45°，∠CDE＝30°(已知)，
∴ ∠DCM＝20°，∠CDN＝20°(等式性質(zhì))．
∴ ∠DCM＝∠CDN(等量代換)．∴ CM∥DN(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．
∵ AB∥CM，EF∥DN(已證)，∴ AB∥EF(平行線的傳遞性)．
解法2：如圖所示，分別向兩方延長線段CD交EF于M點、交AB于N點．
∵ ∠BCD＝45°，∴ ∠NCB＝135°．∵ ∠B＝25°，
∴ ∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°(三角形的內(nèi)角和等于180°)．
又∵ ∠CDE＝30°，∴ ∠EDM＝150°．又∵∠E＝10°，
∴∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°(三角形的內(nèi)角和等于180°)．
∴∠CNB＝∠EMD(等量代換)．所以AB∥EF(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．
7、已知，如圖，BE平分DABD，DE平分DCDB，且D1與D2互余，試判斷直線AB、CD的位置關(guān)系，請說明理由．
【答案】解：AB∥CD，理由如下：
∵ BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，
∴ ∠ABD＝2∠1，∠CDB＝2∠2．
又∵ ∠1+∠2＝90°，∴ ∠ABD+∠CDB＝180°．
∴ AB∥CD(同旁內(nèi)角互補，兩直線平行)．
8、已知，如圖，AB^BD于B，CD^BD于D，D1+D2=180°，求證：CD//EF．
【答案】
證明：∵AB^BD于B，CD^BD于D，∴AB∥CD．
又∵D1+D2=180°，∴AB∥EF．∴CD//EF．







【達標檢測】
一、選擇題
1.下列關(guān)于作圖的語句正確的是 （ ）.
A．畫直線AB=10厘米.
B．畫射線OB=10厘米.
C．已知A，B，C三點，過這三點畫一條直線.
D．過直線AB外一點畫一條直線和直線AB平行.
2．有下列四種說法：
（1）過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行
（2）平面內(nèi)，過一點能且只能作一條直線與已知直線垂直
（3）直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短
（4）平行于同一條直線的兩條直線平行．
其中正確的個數(shù)是（　　）
　 A．1個 B．2個 C．3個 D． 4個
3．若直線a∥b，b∥c，則a∥c的依據(jù)是 ( ).
A．平行的性質(zhì) B．等量代換
C．平行于同一直線的兩條直線平行. D．以上都不對
4．下列說法中不正確的是 ( ).
A．同位角相等，兩直線平行.
B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行.
C．同旁內(nèi)角相等，兩直線平行.
D．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行.
5．如圖所示，給出了過直線外一點P作已知直線l的平行線的方法，其依據(jù)是 ( ).
A．同位角相等，兩直線平行. B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行.
C．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行. D．以上都不對.

6．如圖所示，直線a、b被直線c所截，現(xiàn)給出下列四個條件：①∠1＝∠5；②∠1＝∠7；③∠2+∠1＝180°；④∠1＝∠3．其中能判定a∥b的序號是( ).
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
二、填空題
7．如圖所示，直線a，b被c所截，∠1＝30°，∠2:∠3＝1:5，則直線a與b的位置關(guān)系是________．

8．如圖，直線a和b被直線c所截，∠1＝110°，當(dāng)∠2＝_____時，有直線a∥b成立．

9.如圖，直線a與直線b交于點A，與直線c交于點B，∠1=120°，∠2=45°，若使直線b與直線c平行，則可將直線b繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)　 　．
三、解答題
10、如圖，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD與AE相交于F，∠CFE=∠E．求證：AD∥BC．
【答案與解析】
一、選擇題
1.【答案】D
2.【答案】D.
【解析】（1）過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行，正確；
（2）平面內(nèi)，過一點能且只能作一條直線與已知直線垂直，正確；
（3）直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，正確；
（4）平行于同一條直線的兩條直線平行，正確；
正確的有4個，故選：D．
3．【答案】C
【解析】這是平行線的傳遞性，其實質(zhì)是平行公理的推論．
4. 【答案】C
【解析】同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.
5. 【答案】A
【解析】這種作法的依據(jù)是：同位角相等，兩直線平行．
6. 【答案】A
【解析】∠2和∠3，∠1和∠3不是由“三線”產(chǎn)生的角．
二、填空題
7．【答案】平行；
【解析】由已知可得：∠2＝30°，所以∠1＝∠2，可得：a∥b.
8．【答案】70°；
9.【答案】15°．
【解析】∵∠1=120°，∴∠3=60°，∵∠2=45°，∴當(dāng)∠3=∠2=45°時，b∥c，
∴直線b繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°﹣45°=15°．故答案為：15°．
三、解答題
10、【解析】證明：∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∠CFE=∠E，∴∠1=∠CFE=∠E，
∴∠2=∠E，∴AD∥BC．
【達標檢測】
一、選擇題
1.下列說法中正確的有( )
①一條直線的平行線只有一條． ②過一點與已知直線平行的直線只有一條．
③因為a∥b，c∥d，所以a∥d．④經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．如果兩個角的一邊在同一直線上，另一邊互相平行，則這兩個角( )
A．相等 B．互補 C．互余 D．相等或互補
3．如圖，能夠判定DE∥BC的條件是 ( )
A．∠DCE+∠DEC＝180° B．∠EDC＝∠DCB
C．∠BGF＝∠DCB D．CD⊥AB，GF⊥AB
4．一輛汽車在廣闊的草原上行駛，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，那么這兩次拐彎的角度可能是 ( ) ．
A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°．
B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°．
C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°．
D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°．
5．如圖，下列說法錯誤的是（　?。?br /> 　A．若a∥b，b∥c，則a∥c B．若∠1=∠2，則a∥c
　 C．若∠3=∠2，則b∥c D．若∠3+∠5=180°，則a∥c
二、填空題
6、規(guī)律探究：同一平面內(nèi)有直線a1，a2，a3…，a100，若a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4…，按此規(guī)律，a1和a100的位置是________．
7、已知兩個角的兩邊分別平行，其中一個角為40°，則另一個角的度數(shù)是
8、如圖，AB⊥EF于點G，CD⊥EF于點H，GP平分∠EGB，HQ平分∠CHF，則圖中互相平行的直線有 ．


三、解答題
9如圖，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，要使AB∥EF，∠4應(yīng)為多少度?說明理由．

10、已知：如圖，AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2，求證：BE∥CF．


【答案與解析】
一、選擇題
1. 【答案】A
【解析】只有④正確，其它均錯．
2. 【答案】D
3. 【答案】B
【解析】內(nèi)錯角相等，兩直線平行．
4. 【答案】B
5.【答案】C.
【解析】A、若a∥b，b∥c，則a∥c，利用了平行公理，正確；
B、若∠1=∠2，則a∥c，利用了內(nèi)錯角相等，兩直線平行，正確；
C、∠3=∠2，不能判斷b∥c，錯誤；
D、若∠3+∠5=180°，則a∥c，利用同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，正確；
故選C．
二、填空題
7. 【答案】0或1或2或3個；
6、【答案】a1∥a100；
【解析】為了方便，我們可以記為a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥a99⊥a100，因為a1⊥a2∥a3，所以a1⊥a3，而a3⊥a4，所以a1∥a4∥a5．同理得a5∥a8 ∥a9，a9∥a12 ∥a13，…，接著這樣的規(guī)律可以得a1∥a97∥a100，所以a1∥a100．
7、【答案】 40°或140°
8、【答案】AB∥CD，GP∥HQ；
【解析】
理由：∵ AB⊥EF，CD⊥EF．∴ ∠AGE＝∠CHG＝90°．∴ AB∥CD．
∵ AB⊥EF．∴ ∠EGB＝∠2＝90°．∴ GP平分∠EGB．
∴ ∠1＝EGB＝45°．
∴ ∠PGH＝∠1+∠2＝135°．
同理∠GHQ＝135°，∴ ∠PGH＝∠GHQ．
∴ GP∥HQ．

三、解答題
9. 【解析】
解：∠4＝100°．理由如下：
∵ ∠1＝60°，∠2＝60°，∴ ∠1＝∠2，∴ AB∥CD
又∵∠3＝∠4＝100°，∴ CD∥EF，∴ AB∥EF．
10、【解析】
證明：∵AB⊥BC，BC⊥CD，
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠ABC﹣∠1=∠DCB﹣∠2，
∴∠CBE=∠BCF，
∴BE∥CF．

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7.2 探索平行線的性質(zhì)

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