28.1（1） 銳角三角函數(shù) 正弦 同步練習(xí) 知識(shí)點(diǎn)1 正弦函數(shù)1．（2020·重慶·九年級(jí)期中）如圖，在中，，，，則的值為（    ）A． B． C． D．2．（2021·安徽肥西·九年級(jí)期末）在Rt△ABC中，各邊都擴(kuò)大3倍，則銳角A的正弦值（　?。?/span>A．?dāng)U大3倍 B．縮小3倍 C．不變 D．不能確定3．（2021·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt中，CD是斜邊AB上的高，，則下列比值中不等于的是（    ）A． B． C． D．4．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P的坐標(biāo)為，與x軸正半軸的夾角為，則的值為（    ）A． B． C． D．5．（2021·福建省福州屏東中學(xué)九年級(jí)月考）如圖所示，∠1是放置在正方形網(wǎng)格中的一個(gè)角，則sin∠1的值是_____． 知識(shí)點(diǎn)2 正弦函數(shù)的應(yīng)用6．（2021·浙江杭州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，弦AB＝6，sinC＝，則⊙O的半徑為（    ）A．5 B．10 C． D．7．（云南省2021年中考數(shù)學(xué)真題）在中，，若，則的長(zhǎng)是（    ）A． B． C．60 D．808．（2020·湖南隆回·九年級(jí)期末）如圖，在中，，，，則的面積是(  )A． B． C． D．9．（2018·吉林·中考模擬）已知：如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)C，OA=OB，⊙O的直徑為4，AB=8．（1）求OB的長(zhǎng)；（2）求sinA的值．   素質(zhì)提升10．（2021·陜西碑林·九年級(jí)期中）已知△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，則sinB＝（    ）A． B． C． D．11．（2021·貴州德江·九年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，，則sinB的值為（    ）A． B． C． D．2 12．（2020·山東·肥城市湖屯鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在上，將矩形沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，那么的值為(　　)．A． B． C． D．13．（江蘇省揚(yáng)州市2020年中考數(shù)學(xué)試題）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D，則的值為（    ）A． B． C． D．14．（2021·江蘇溧陽(yáng)·九年級(jí)期末）如圖，在2×4的方格中，兩條線段的夾角（銳角）為∠1，則sin∠1=______________．15．（浙江省湖州市2021年中考數(shù)學(xué)真題）如圖，已知是⊙的直徑，是所對(duì)的圓周角，．（1）求的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，的延長(zhǎng)線交⊙于點(diǎn)．若，求的長(zhǎng)．        16．（山東省菏澤市2021年中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，是直徑，弦，垂足為，為上一點(diǎn)，為弦延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交直徑的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為8，，求的長(zhǎng)．                    28.1.1 正弦 參考答案 知識(shí)點(diǎn)1 正弦函數(shù)1．（2020·重慶·九年級(jí)期中）如圖，在中，，，，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出sinB= ，代入即可得出答案．【詳解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，∴sinB== ，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，主要考查學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)的定義的理解和記憶，題目比較典型．2．（2021·安徽肥西·九年級(jí)期末）在Rt△ABC中，各邊都擴(kuò)大3倍，則銳角A的正弦值（　?。?/span>A．?dāng)U大3倍 B．縮小3倍 C．不變 D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，可得答案．【詳解】解：由題意，得Rt△ABC中，各邊都擴(kuò)大3倍，則銳角A的正弦值不變，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)的概念,屬于簡(jiǎn)單題.理解正弦函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.3．（2021·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt中，CD是斜邊AB上的高，，則下列比值中不等于的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用銳角三角函數(shù)定義判斷即可．【詳解】在中， ,在中， , , , ,在中，,故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵．4．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P的坐標(biāo)為，與x軸正半軸的夾角為，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，過(guò)作軸于由 可得 再利用勾股定理求解 結(jié)合 從而可得答案．【詳解】解：如圖，過(guò)作軸于 故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)含義，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握構(gòu)造直角三角形求解銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．5．（2021·福建省福州屏東中學(xué)九年級(jí)月考）如圖所示，∠1是放置在正方形網(wǎng)格中的一個(gè)角，則sin∠1的值是_____．【答案】【分析】先利用勾股定理的逆定理證明△ABC直角三角形，然后利用正弦的定義求解．【詳解】解：如圖，∵AC＝，BC＝，AB＝，∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC為等腰直角三角形，∴sin∠1＝sin45°＝．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．靈活應(yīng)用勾股定理和銳角三角函數(shù)．也考查了勾股定理的逆定理． 知識(shí)點(diǎn)2 正弦函數(shù)的應(yīng)用6．（2021·浙江杭州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，弦AB＝6，sinC＝，則⊙O的半徑為（    ）A．5 B．10 C． D．【答案】A【分析】過(guò)B作直徑BD，連接AD，如圖，根據(jù)圓周角定理和三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：過(guò)B作直徑BD，連接AD，∵BD為直徑，∴∠BAD＝90°，∵∠D＝∠C，∴sinD＝sinC＝，∵AB＝6，∴BD＝10，∴⊙O的半徑為5，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理和解直角三角形，正確的作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．7．（云南省2021年中考數(shù)學(xué)真題）在中，，若，則的長(zhǎng)是（    ）A． B． C．60 D．80【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A==，AC=100，∴BC=100×3÷5=60，∴AB==80，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．8．（2020·湖南隆回·九年級(jí)期末）如圖，在中，，，，則的面積是(  )A． B． C． D．【答案】C【分析】在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解決問(wèn)題．【詳解】解：在Rt△ACB中，∵∠C=90°，AB=8cm，
∴sinA==，
∴BC=6（cm），
∴AC=（cm），
∴S△ABC=?BC?AC=×6×2=6（cm2）．
故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．9．（2018·吉林·中考模擬）已知：如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)C，OA=OB，⊙O的直徑為4，AB=8．（1）求OB的長(zhǎng)；（2）求sinA的值．【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）先由OA=OB可知△OAB是等腰三角形，再根據(jù)切線的性質(zhì)可知OC⊥AB，故可求出BC的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出OB的長(zhǎng)即可．（2）根據(jù)OA=OB求出OA的長(zhǎng)，再根據(jù)角的三角函數(shù)值求出sinA的值即可．試題解析：（1）由已知，OC=2，BC=4．在Rt△OBC中，由勾股定理，得；（2）在Rt△OAC中，∵OA=OB=，OC=2，∴sinA=．考點(diǎn)：1、切線的性質(zhì)；2、勾股定理 素質(zhì)提升10．（2021·陜西碑林·九年級(jí)期中）已知△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，則sinB＝（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理逆定理以及正弦的定義求解即可．【詳解】解：∵△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，即42+32＝52，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°．sinB＝．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理逆定理以及正弦的定義，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．11．（2021·貴州德江·九年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，，則sinB的值為（    ）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理，可得AB與BC的關(guān)系，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可得答案．【詳解】解：∵∠C=90°，，∴，，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，先利用勾股定理得出BA與BC的關(guān)系，再利用正弦函數(shù)的定義．  12．（2020·山東·肥城市湖屯鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在上，將矩形沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，那么的值為(　　)．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，，由勾股定理得，進(jìn)而得，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，列出方程，求出x的值，即可得到答案．【詳解】∵四邊形為矩形，∴，．∵矩形沿直線折疊，頂點(diǎn)恰好落在邊上的處，∴，，∵在中，，∴，設(shè)，則，∵在中， ，∴，解得：，∴，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形中折疊的性質(zhì)以及勾股定理和正弦三角函數(shù)的定義，掌握勾股定理，列方程，是解題的關(guān)鍵．13．（江蘇省揚(yáng)州市2020年中考數(shù)學(xué)試題）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)圓周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出∠ABC的正弦值．【詳解】∵和∠ABC所對(duì)的弧長(zhǎng)都是，∴根據(jù)圓周角定理知，∠ABC＝，∴在Rt△ACB中，AB=根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義知，sin∠ABC＝，∴=，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義和圓周角的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是利用圓周角定理把求的正弦值轉(zhuǎn)化成求∠ABC的正弦值，本題是一道比較不錯(cuò)的習(xí)題．14．（2021·江蘇溧陽(yáng)·九年級(jí)期末）如圖，在2×4的方格中，兩條線段的夾角（銳角）為∠1，則sin∠1=______________．【答案】【分析】解：如圖添加字母，過(guò)A作AB∥ED，可得∠1=∠CAB，連結(jié)BC，在△ABC中由勾股定理AC=，AB =，BC=，由AB2+BC2=5+5=10=AC2，證得∠ABC=90°，由AB=BC可得∠CAB=45°，利用三角函數(shù)定義sin∠CAB=。【詳解】解：如圖添加字母，過(guò)A作AB∥ED，使AB=ED，∠1=∠CAB，連結(jié)BC，在△ABC中，AC=，AB =，BC=，∵AB2+BC2=5+5=10=AC2，∴∠ABC=90°，AB=BC，∴∠CAB=45°，sin∠CAB，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理及逆定理，以及銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確得出是直角三角形是解題關(guān)鍵．15．（浙江省湖州市2021年中考數(shù)學(xué)真題）如圖，已知是⊙的直徑，是所對(duì)的圓周角，．（1）求的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，的延長(zhǎng)線交⊙于點(diǎn)．若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）【分析】（1）連結(jié)，根據(jù)圓周角性質(zhì)，得；根據(jù)直徑所對(duì)圓周角為直角、直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；（2）根據(jù)含角的直角三角形性質(zhì)，得；根據(jù)垂徑定理、特殊角度三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】（1）連結(jié)， 是的直徑，，（2），，∴，，且是直徑 ．【點(diǎn)睛】本題考查了圓、含角的直角三角形、三角函數(shù)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角、垂徑定理、含角的直角三角形、三角函數(shù)、直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，從而完成求解．16．（山東省菏澤市2021年中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，是直徑，弦，垂足為，為上一點(diǎn)，為弦延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交直徑的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為8，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）連接OE，證明OE⊥EF即可；（2）由證得，運(yùn)用正弦的概念可得結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：連接OE，如圖，∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA．∵EF=PF，∴∠EPF=∠PEF∵∠APH=∠EPF，∴∠APH=∠EPF，∴∠AEF=∠APH．∵CD⊥AB，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°．∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE⊥EF．∵OE是的半徑∴EF是圓的切線，（2）∵CD⊥AB∴是直角三角形∵∴ 設(shè)，則 由勾股定理得， 由（1）得，是直角三角形∴ ∴，即∵ ∴解得，【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓的切線的判定，勾股定理和解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握切線的判定是解答此題的關(guān)鍵．
  

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初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)下冊(cè)電子課本

28.1 銳角三角函數(shù)

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