一、選擇題(每小題3分，共30分)
1．下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是( )
A．y＝3x－1 B．y＝3x2－1
C．y＝(x＋1)2－x2 D．y＝x3＋2x－3
2．若二次函數(shù)y＝x2＋bx＋5配方后為y＝(x－2)2＋k，則b，k的值分別為( )
A．0，5 B．0，1 C．－4，5 D．－4，1
3．在平面直角坐標系中，將拋物線y＝x2－4先向右平移2個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線解析式為( )
A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x－2)2－2
C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x＋2)2－2
4．若(2，5)，(4，5)是拋物線y＝ax2＋bx＋c上的兩個點，則它的對稱軸是( )
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
5．若二次函數(shù)y＝(m＋1)x2－mx＋m2－2m－3的圖象經過原點，則m的值必為( )
A．－1或3 B．－1 C．3 D．－3或1
6．拋物線y＝x2－2x＋1與坐標軸的交點個數(shù)為( )
A．無交點 B．1個 C．2個 D．3個
7．同一坐標系中，一次函數(shù)y＝ax＋1與二次函數(shù)y＝x2＋a的圖象可能是( )
8．如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，∠OBC＝45°，則下列各式成立的是( )
A．b－c－1＝0 B．b＋c＋1＝0
C．b－c＋1＝0 D．b＋c－1＝0
9．如圖，正方形ABCD中，AB＝8 cm，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別從B，C兩點同時出發(fā)，以1 cm/s的速度沿BC，CD運動，到點C，D時停止運動，設運動時間為t(s)，△OEF的面積S(cm2)，則S(cm2)與t(s)的函數(shù)關系可用圖象表示為( )
10．(泰安)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，且a≠0)中的x與y的部分對應值如下表：
下列結論：①ac＜0；②當x＞1時，y的值隨x的增大而減??；③3是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的一個根；④當－1＜x＜3時，ax2＋(b－1)x＋c＞0.其中正確的個數(shù)為( )
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
二、填空題(每小題3分，共24分)
11．二次函數(shù)y＝x2＋2x－4的圖象的開口方向是 ，對稱軸是 ，頂點坐標是 ．
12拋物線y＝2x2＋8x＋m與x軸只有一個公共點，則m的值為 ．
13．若拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點是A(2，1)，且經過點B(1，0)，則拋物線的函數(shù)關系式為 ．
14．公路上行駛的汽車急剎車時，剎車距離s(m)與時間t(s)的函數(shù)關系式為s＝20t－5t2，當遇到緊急情況時，司機急剎車，但由于慣性的作用，汽車要滑行 米才能停下來．
15．隧道的截面是拋物線形，且拋物線的解析式為y＝－eq \f(1,8)x2＋3.25，一輛車高3 m，寬4 m，該車 通過該隧道．(填“能”或“不能”)
16．一個y關于x的函數(shù)同時滿足兩個條件：①圖象過(2，1)點；②當x＞0時，y隨x的增大而減小．這個函數(shù)解析式為 ．(寫出一個即可)
17．如圖，二次函數(shù)y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)與一次函數(shù)y2＝kx＋m(k≠0)的圖象相交于點A(－2，4)，B(8，2)，則使y1＞y2成立的x的取值范圍是 ．
18．(廣安)如圖，把拋物線y＝eq \f(1,2)x2平移得到拋物線m，拋物線m經過點A(－6，0)和原點O(0，0)，它的頂點為P，它的對稱軸與拋物線y＝eq \f(1,2)x2交于點Q，則圖中陰影部分的面積為 ．
三、解答題(共66分)
19．(9分)已知二次函數(shù)y＝－x2－2x＋3.
(1)求它的頂點坐標和對稱軸；
(2)求它與x軸的交點；
(3)畫出這個二次函數(shù)圖象的草圖．
20．(8分)如圖，二次函數(shù)y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c的圖象經過A(2，0)，B(0，－6)兩點．
(1)求這個二次函數(shù)的解析式；
(2)設該二次函數(shù)的對稱軸與x軸交于點C，連接BA，BC，求△ABC的面積．
21.(8分)已知二次函數(shù)y＝x2＋bx－c的圖象與x軸兩交點的坐標分別為(m，0)，(－3m，0)(m≠0)．
(1)求證：4c＝3b2；
(2)若該函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝1，試求二次函數(shù)的最小值．
22．(9分)如圖，矩形ABCD的兩邊長AB＝18 cm，AD＝4 cm，點P，Q分別從A，B同時出發(fā)，P在邊AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度勻速運動，Q在邊BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度勻速運動．設運動時間為x(秒)，△PBQ的面積為y(cm2)．
(1)求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；
(2)求△PBQ的面積的最大值．
23．(9分)如圖，四邊形ABCD是菱形，點D的坐標是(0，eq \r(3))，以點C為頂點的拋物線y＝ax2＋bx＋c 恰好經過x軸上A，B兩點．
(1)求A，B，C三點的坐標；
(2)求過A，B，C三點的拋物線的解析式；
(3)若將上述拋物線沿其對稱軸向上平移后恰好過D點，求平移后拋物線的解析式，并指出平移了多少個單位？
24.(11分)(武漢)九(1)班數(shù)學興趣小組經過市場調查，整理出某種商品在第x(1≤x≤90)天的售價與銷量的相關信息如下表：
已知該商品的進價為每件30元，設銷售該商品的每天利潤為y元．
(1)求出y與x的函數(shù)關系式；
(2)問銷售該商品第幾天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是多少？
(3)該商品在銷售過程中，共有多少天每天銷售利潤不低于4800元？請直接寫出結果．
25．(12分)如圖，已知拋物線經過點A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點M是線段BC上的點(不與B，C重合)，過M作NM∥y軸交拋物線于N，若點M的橫坐標為m，請用含m的代數(shù)式表示MN的長；
(3)在(2)的條件下，連接NB，NC，是否存在點m，使△BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由．
x
－1
0
1
3
y
－1
3
5
3
時間x(天)
1≤x＜50
50≤x≤90
售價(元/件)
x＋40
90
每天銷量(件)
200－2x
第22章檢測題 教師版
(時間：120分鐘 滿分：120分)

一、選擇題(每小題3分，共30分)
1．下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是( B )
A．y＝3x－1 B．y＝3x2－1
C．y＝(x＋1)2－x2 D．y＝x3＋2x－3
2．若二次函數(shù)y＝x2＋bx＋5配方后為y＝(x－2)2＋k，則b，k的值分別為( D )
A．0，5 B．0，1 C．－4，5 D．－4，1
3．在平面直角坐標系中，將拋物線y＝x2－4先向右平移2個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線解析式為( B )
A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x－2)2－2
C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x＋2)2－2
4．若(2，5)，(4，5)是拋物線y＝ax2＋bx＋c上的兩個點，則它的對稱軸是( C )
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
5．若二次函數(shù)y＝(m＋1)x2－mx＋m2－2m－3的圖象經過原點，則m的值必為( C )
A．－1或3 B．－1 C．3 D．－3或1
6．拋物線y＝x2－2x＋1與坐標軸的交點個數(shù)為( C )
A．無交點 B．1個 C．2個 D．3個
7．同一坐標系中，一次函數(shù)y＝ax＋1與二次函數(shù)y＝x2＋a的圖象可能是( C )
8．如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，∠OBC＝45°，則下列各式成立的是( B )
A．b－c－1＝0 B．b＋c＋1＝0
C．b－c＋1＝0 D．b＋c－1＝0
9．如圖，正方形ABCD中，AB＝8 cm，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別從B，C兩點同時出發(fā)，以1 cm/s的速度沿BC，CD運動，到點C，D時停止運動，設運動時間為t(s)，△OEF的面積S(cm2)，則S(cm2)與t(s)的函數(shù)關系可用圖象表示為( B )
10．(泰安)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，且a≠0)中的x與y的部分對應值如下表：
下列結論：①ac＜0；②當x＞1時，y的值隨x的增大而減小；③3是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的一個根；④當－1＜x＜3時，ax2＋(b－1)x＋c＞0.其中正確的個數(shù)為( B )
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
二、填空題(每小題3分，共24分)
11．二次函數(shù)y＝x2＋2x－4的圖象的開口方向是__向上___，對稱軸是__x＝－1___，頂點坐標是__(－1，－5)___．
12拋物線y＝2x2＋8x＋m與x軸只有一個公共點，則m的值為__8___．
13．若拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點是A(2，1)，且經過點B(1，0)，則拋物線的函數(shù)關系式為__y＝－x2＋4x－3___．
14．公路上行駛的汽車急剎車時，剎車距離s(m)與時間t(s)的函數(shù)關系式為s＝20t－5t2，當遇到緊急情況時，司機急剎車，但由于慣性的作用，汽車要滑行__20___米才能停下來．
15．隧道的截面是拋物線形，且拋物線的解析式為y＝－eq \f(1,8)x2＋3.25，一輛車高3 m，寬4 m，該車__不能___通過該隧道．(填“能”或“不能”)
16．一個y關于x的函數(shù)同時滿足兩個條件：①圖象過(2，1)點；②當x＞0時，y隨x的增大而減小．這個函數(shù)解析式為__y＝－x2＋5___．(寫出一個即可)
17．如圖，二次函數(shù)y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)與一次函數(shù)y2＝kx＋m(k≠0)的圖象相交于點A(－2，4)，B(8，2)，則使y1＞y2成立的x的取值范圍是__x＜－2或x＞8___．
18．(廣安)如圖，把拋物線y＝eq \f(1,2)x2平移得到拋物線m，拋物線m經過點A(－6，0)和原點O(0，0)，它的頂點為P，它的對稱軸與拋物線y＝eq \f(1,2)x2交于點Q，則圖中陰影部分的面積為__eq \f(27,2)___．
三、解答題(共66分)
19．(9分)已知二次函數(shù)y＝－x2－2x＋3.
(1)求它的頂點坐標和對稱軸；
(2)求它與x軸的交點；
(3)畫出這個二次函數(shù)圖象的草圖．
解：(1)頂點(－1，4)，對稱軸x＝－1
(2)(－3，0)，(1，0)
(3)圖略
20．(8分)如圖，二次函數(shù)y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c的圖象經過A(2，0)，B(0，－6)兩點．
(1)求這個二次函數(shù)的解析式；
(2)設該二次函數(shù)的對稱軸與x軸交于點C，連接BA，BC，求△ABC的面積．
解：(1)y＝－eq \f(1,2)x2＋4x－6
(2)∵該拋物線對稱軸為直線x＝－eq \f(4,2×（－\f(1,2)）)＝4，∴點C的坐標為(4，0)，∴AC＝OC－OA＝4－2＝2，∴S△ABC＝eq \f(1,2)×AC×OB＝eq \f(1,2)×2×6＝6
21.(8分)已知二次函數(shù)y＝x2＋bx－c的圖象與x軸兩交點的坐標分別為(m，0)，(－3m，0)(m≠0)．
(1)求證：4c＝3b2；
(2)若該函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝1，試求二次函數(shù)的最小值．
解：(1)由題意，m，－3m是一元二次方程x2＋bx－c＝0的兩根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，得m＋(－3m)＝－b，m·(－3m)＝－c，∴b＝2m，c＝3m2，∴4c＝12m2，3b2＝12m2，∴4c＝3b2 (2)由題意得－eq \f(b,2)＝1，∴b＝－2，由(1)得c＝eq \f(3,4)b2＝eq \f(3,4)×(－2)2＝3，∴y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴二次函數(shù)的最小值為－4
22．(9分)如圖，矩形ABCD的兩邊長AB＝18 cm，AD＝4 cm，點P，Q分別從A，B同時出發(fā)，P在邊AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度勻速運動，Q在邊BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度勻速運動．設運動時間為x(秒)，△PBQ的面積為y(cm2)．
(1)求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；
(2)求△PBQ的面積的最大值．
解：(1)∵S△PBQ＝eq \f(1,2)PB·BQ，PB＝AB－AP＝18－2x，BQ＝x，∴y＝eq \f(1,2)(18－2x)x，即y＝－x2＋9x(0＜x≤4)
(2)由(1)知：y＝－x2＋9x，∴y＝－(x－eq \f(9,2))2＋eq \f(81,4)，∵當0＜x≤eq \f(9,2)時，y隨x的增大而增大，而0＜x≤4，∴當x＝4時，y最大值＝20，即△PBQ的最大面積是20 cm2
23．(9分)如圖，四邊形ABCD是菱形，點D的坐標是(0，eq \r(3))，以點C為頂點的拋物線y＝ax2＋bx＋c 恰好經過x軸上A，B兩點．
(1)求A，B，C三點的坐標；
(2)求過A，B，C三點的拋物線的解析式；
(3)若將上述拋物線沿其對稱軸向上平移后恰好過D點，求平移后拋物線的解析式，并指出平移了多少個單位？
解：(1)A，B，C的坐標分別為(1，0)，(3，0)，(2，eq \r(3))
(2)y＝－eq \r(3)(x－2)2＋eq \r(3) (3)設拋物線的解析式為y＝－eq \r(3)(x－2)2＋k，代入D(0，eq \r(3))，可得k＝5eq \r(3)，平移后的拋物線的解析式為y＝－eq \r(3)(x－2)2＋5eq \r(3)，∴平移了5eq \r(3)－eq \r(3)＝4eq \r(3)個單位
24.(11分)(武漢)九(1)班數(shù)學興趣小組經過市場調查，整理出某種商品在第x(1≤x≤90)天的售價與銷量的相關信息如下表：
已知該商品的進價為每件30元，設銷售該商品的每天利潤為y元．
(1)求出y與x的函數(shù)關系式；
(2)問銷售該商品第幾天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是多少？
(3)該商品在銷售過程中，共有多少天每天銷售利潤不低于4800元？請直接寫出結果．
解：(1)當1≤x＜50時，y＝(x＋40－30)(200－2x)＝－2x2＋180x＋2000；當50≤x≤90時，y＝(90－30)(200－2x)＝－120x＋12000.綜上，y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2x2＋180x＋2000（1≤x＜50）,－120x＋12000（50≤x≤90）))
(2)當1≤x＜50時，y＝－2x2＋180x＋2000＝－2(x－45)2＋6050，∵a＝－2＜0，∴當x＝45時，y有最大值，最大值為6050元；當50≤x≤90時，y＝－120x＋12000，∵k＝－120＜0，∴y隨x的增大而減小，∴當x＝50時，y有最大值，最大值為6000元．綜上可知，當x＝45時，當天的銷售利潤最大，最大利潤為6050元 (3)41
25．(12分)如圖，已知拋物線經過點A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點M是線段BC上的點(不與B，C重合)，過M作NM∥y軸交拋物線于N，若點M的橫坐標為m，請用含m的代數(shù)式表示MN的長；
(3)在(2)的條件下，連接NB，NC，是否存在點m，使△BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由．
解：(1)y＝－x2＋2x＋3
(2)易求直線BC的解析式為y＝－x＋3，∴M(m，－m＋3)，又∵MN⊥x軸，∴N(m，－m2＋2m＋3)，∴MN＝(－m2＋2m＋3)－(－m＋3)＝－m2＋3m(0＜m＜3) (3)S△BNC＝S△CMN＋S△MNB＝eq \f(1,2)|MN|·|OB|，∴當|MN|最大時，△BNC的面積最大，MN＝－m2＋3m＝－(m－eq \f(3,2))2＋eq \f(9,4)，所以當m＝eq \f(3,2)時，△BNC的面積最大為eq \f(1,2)×eq \f(9,4)×3＝eq \f(27,8)
x
－1
0
1
3
y
－1
3
5
3
時間x(天)
1≤x＜50
50≤x≤90
售價(元/件)
x＋40
90
每天銷量(件)
200－2x

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22.1.1 二次函數(shù)

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