微專(zhuān)題4　函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題函數(shù)的性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，包括函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性等，在歷年的高考中函數(shù)的性質(zhì)都占有非常重要的地位．命題時(shí)常常多種性質(zhì)結(jié)合在一起進(jìn)行考查，難度較大，技巧性比較強(qiáng)．一、利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性比較大小例1　已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－2)，b＝g(1)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)A．a<b<c   B．c<b<aC．b<a<c   D．b<c<a答案　C解析　方法一　易知g(x)＝xf(x)在R上為偶函數(shù)，∴a＝g(－2)＝g(2)，∵奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，且f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．∴g(1)<g(2)<g(3)，即b<a<c.方法二　(特殊化)取f(x)＝x，則g(x)＝x2為偶函數(shù)且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，a＝g(－2)＝4，b＝g(1)＝1，c＝g(3)＝9，從而可得b<a<c.二、利用奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象解不等式例2　設(shè)函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(－∞，0)上單調(diào)遞減，若f(－2)＝0，則xf(x)<0的解集為(　　)A．(－1,0)∪(2，＋∞)   B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)   D．(－2,0)∪(0,2)答案　C解析　利用函數(shù)的性質(zhì)畫(huà)出函數(shù)f(x)的簡(jiǎn)圖如圖，所以不等式xf(x)<0可化為或由圖可知x>2或x<－2.三、利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式例3　已知函數(shù)g(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，g(x)＝－x2＋2x，函數(shù)f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(　　)A．(－∞，1)∪(2，＋∞)   B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．(1,2)   D．(－2,1)答案　D解析　∵g(x)是奇函數(shù)，∴x>0時(shí)，g(x)＝－g(－x)＝x2＋2x，易知f(x)在R上是增函數(shù)，由f(2－x2)>f(x)，可得2－x2>x，即x2＋x－2<0，∴－2<x<1.反思感悟　解決此類(lèi)不等式問(wèn)題時(shí)一定要充分利用已知條件，把已知不等式轉(zhuǎn)化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，列出不等式(組)，要注意函數(shù)定義域?qū)?shù)的影響．四、利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性求函數(shù)的最值例4　已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝若f(x)在上的最大值為m，最小值為n，求m＋n.解　如圖，畫(huà)出f(x)在(0，＋∞)上的圖象，由圖知，當(dāng)x∈時(shí)，f(x)min＝f(1)＝－1，又f ＝2，f(4)＝5，所以f(x)max＝f(4)＝5.又f(x)為奇函數(shù)，所以當(dāng)x∈時(shí)，f(x)max＝f(－1)＝－f(1)＝1，f(x)min＝f(－4)＝－f(4)＝－5.所以m＝1，n＝－5，故m＋n＝1－5＝－4.反思感悟　解決此類(lèi)求最值問(wèn)題應(yīng)充分利用：奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上具有相反的單調(diào)性且圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．五、抽象函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例5　設(shè)函數(shù)y＝f(x)是定義在(0，＋∞)上的函數(shù)，并且滿足下面三個(gè)條件：①對(duì)任意正數(shù)x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)；②當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0；③f(3)＝－1.(1)求f(1)，f 的值；(2)證明f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)；(3)如果不等式f(x)＋f(2－x)<2成立，求x的取值范圍．(1)解　因?yàn)閷?duì)任意正數(shù)x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝－1，令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，f(1)＝0，令x＝y＝3，則f(9)＝f(3)＋f(3)＝－2，令x＝，y＝9，則有f(1)＝f ＋f(9)＝0，f ＝2.(2)證明　令x1<x2，且x1，x2∈(0，＋∞)，所以>1，f <0，f(x2)＝f ＝f(x1)＋f <f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)．(3)解　由已知不等式f(x)＋f(2－x)<2化為f(2x－x2)<f ，又f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴解得1－<x<1＋.不等式解集為.六、根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性求參數(shù)例6　已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解　(1)設(shè)x<0，則－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)．于是x<0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，結(jié)合f(x)的圖象(圖略)知所以1<a≤3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3]．

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本章綜合與測(cè)試

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