再練一課(范圍：§3.2)1．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是(　　)A．y＝   B．y＝|x|－1C．y＝   D．y＝－x2答案　B解析　A中函數(shù)y＝不是偶函數(shù)且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故A錯誤；B中函數(shù)滿足題意，故B正確；C中函數(shù)不是偶函數(shù)，故C錯誤；D中函數(shù)不滿足在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故D錯誤．2．函數(shù)f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)A.  B．－  C．－2  D．2答案　A解析　易知f(x)在上單調(diào)遞減，∴f(x)max＝f(－2)＝2－＝.3．已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上的解析式為f(x)＝x＋1，則下列大小關(guān)系正確的是(　　)A．f(1)>f(2)   B．f(1)>f(－2)C．f(－1)>f(－2)   D．f(－1)<f(2)答案　D解析　∵當(dāng)x≥0時，f(x)＝x＋1單調(diào)遞增，∴f(1)<f(2)，又∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(1)＝f(－1)，f(2)＝f(－2)，∴D對．4．(多選)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且在區(qū)間[a，b](a<b<0)上的值域為[－3,4]，則在區(qū)間[－b，－a]上(　　)A．有最大值4   B．有最小值－4C．有最大值3   D．有最小值－3答案　BC解析　方法一　根據(jù)題意作出y＝f(x)的簡圖，由圖知，選BC.方法二　當(dāng)x∈[－b，－a]時，－x∈[a，b]，由題意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4，所以－4≤f(x)≤3，即在區(qū)間[－b，－a]上f(x)min＝－4，f(x)max＝3.5．設(shè)f(x)是定義在[－2b,3＋b]上的偶函數(shù)，且在[－2b,0]上單調(diào)遞增，則f(x－1)≥f(3)的解集為(　　)A．[－3,3]   B．[－2,4]C．[－1,5]   D．[0,6]答案　B解析　因為f(x)是定義在[－2b,3＋b]上的偶函數(shù)，所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，由函數(shù)f(x)在[－6,0]上單調(diào)遞增，得f(x)在[0,6]上單調(diào)遞減．故f(x－1)≥f(3)?f(|x－1|)≥f(3)?|x－1|≤3，故－2≤x≤4.6．設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為[－5,5]，若當(dāng)x∈[0,5]時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)<0的解集是__________________．答案　(－2,0)∪(2,5]解析　∵f(x)為奇函數(shù)，∴畫出f(x)在x軸左側(cè)的圖象如圖所示，當(dāng)－2<x<0或2<x≤5時，f(x)<0.7．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在區(qū)間[－3,2]上的最大值為4，則a的值為________．答案　－3或解析　f(x)的對稱軸為直線x＝－1.當(dāng)a>0時，f(x)max＝f(2)＝4，解得a＝；當(dāng)a<0時，f(x)max＝f(－1)＝4，解得a＝－3.綜上，a＝或a＝－3.8．已知函數(shù)f(x)＝則f(x)的最小值是________．答案　2－6解析　當(dāng)x≤1時，f(x)min＝0，當(dāng)x>1時，f(x)min＝2－6，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時取到最小值，又2－6<0，所以f(x)min＝2－6.9．已知函數(shù)f(x)＝－(a>0，x>0)．(1)求證：f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．(1)證明　設(shè)x2>x1>0，則x2－x1>0，x1x2>0，∵f(x2)－f(x1)＝－＝－＝>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)解　∵f(x)在上的值域是，又由(1)得f(x)在上單調(diào)遞增，∴f ＝，f(2)＝2，易得a＝.10．已知函數(shù)f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，試證f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．(1)證明　設(shè)x1<x2<－2，則f(x1)－f(x2)＝－＝.因為(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增．(2)解　設(shè)1<x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝－＝.因為a>0，x2－x1>0，所以要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，所以a≤1.綜上所述，a的取值范圍為0<a≤1.11．已知函數(shù)f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)A．(1，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案　D解析　當(dāng)a>0時，a2＋a－[－3(－a)]>0?a2－2a>0?a>2；當(dāng)a<0時，－3a－[(－a)2＋(－a)]<0?a2＋2a>0?a<－2.綜上，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．12．奇函數(shù)f(x)滿足f(1)＝0，且f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則<0的解集為(　　)A．(－1,1)   B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)   D．(1，＋∞)∪(－1,0)答案　D解析　由于函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，因此原不等式可化為x2f(x)<0，即f(x)<0，因為f(1)＝0，且f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以x>1或－1<x<0.13．已知函數(shù)f(x)＝，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．答案　[3，＋∞)解析　設(shè)t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函數(shù)的定義域為(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因為函數(shù)t＝x2－2x－3的圖象的對稱軸為x＝1，所以函數(shù)t在(－∞，－1]上單調(diào)遞減，在[3，＋∞)上單調(diào)遞增．所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[3，＋∞)．14．已知函數(shù)f(x)＝不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案　(－∞，－2)解析　二次函數(shù)y1＝x2－4x＋3的對稱軸是x＝2，所以該函數(shù)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，所以x2－4x＋3≥3，同樣可知函數(shù)y2＝－x2－2x＋3在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以－x2－2x＋3<3，所以f(x)在R上單調(diào)遞減，所以由f(x＋a)>f(2a－x)得到x＋a<2a－x，即2x<a在[a，a＋1]上恒成立，所以2(a＋1)<a，a<－2，所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2)．15．函數(shù)f(x)的定義域為D，若對于任意x1，x2∈D，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)≤f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在D上為非減函數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個條件：①f(0)＝0；②f ＝f(x)；③f(1－x)＝1－f(x)．則f ＋f ＝________.答案　解析　由①③，令x＝0，可得f(1)＝1.由②，令x＝1，可得f ＝f(1)＝.令x＝，可得f ＝f ＝.由③結(jié)合f ＝，可知f ＝，令x＝，可得f ＝f ＝，因為<<且函數(shù)f(x)在[0,1]上為非減函數(shù)，所以f ＝，所以f ＋f ＝.16．函數(shù)f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在區(qū)間[0,2]上有最小值3，求a的值．解　f(x)＝42－2a＋2，①當(dāng)≤0，即a≤0時，函數(shù)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增．∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2.由a2－2a＋2＝3，得a＝1±.∵a≤0，∴a＝1－.②當(dāng)0<<2，即0<a<4時，f(x)min＝f ＝－2a＋2.由－2a＋2＝3，得a＝－?(0,4)，舍去．③當(dāng)≥2，即a≥4時，函數(shù)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減，f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18.由a2－10a＋18＝3，得a＝5±.∵a≥4，∴a＝5＋.綜上所述，a＝1－或a＝5＋.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊電子課本

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