知識系統(tǒng)整合 規(guī)律方法收藏1.同一函數(shù)的判定方法(1)定義域相同；(2)對應(yīng)關(guān)系相同(兩點必須同時具備)．2.函數(shù)解析式的求法(1)定義法；(2)換元法；(3)待定系數(shù)法；(4)解方程(組)法；(5)賦值法．3.函數(shù)的定義域的求法(1)已給出函數(shù)解析式：函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合．(2)實際問題：求函數(shù)的定義域既要考慮解析式有意義，還應(yīng)考慮使實際問題有意義．(3)復(fù)合函數(shù)問題①若函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，函數(shù)f[g(x)]的定義域應(yīng)由a≤g(x)≤b解出；②若函數(shù)f[g(x)]的定義域為[a，b]，則函數(shù)f(x)的定義域為函數(shù)g(x)在[a，b]上的值域．注意：①函數(shù)f(x)中的x與函數(shù)f[g(x)]中的g(x)地位相同．②定義域所指永遠是x的范圍．4.函數(shù)值域的求法(1)配方法(二次或四次)；(2)判別式法；(3)換元法；(4)函數(shù)的單調(diào)性法．5.判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)設(shè)x1，x2是所研究區(qū)間內(nèi)任意兩個自變量的值，且x1<x2；(2)判定f(x1)與f(x2)的大?。鹤鞑畋容^或作商比較；(3)根據(jù)單調(diào)性定義下結(jié)論．6.函數(shù)奇偶性的判定方法首先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，再看函數(shù)f(－x)與f(x)之間的關(guān)系：①若函數(shù)f(－x)＝f(x)，則f(x)為偶函數(shù)；若函數(shù)f(－x)＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù)；②若f(－x)－f(x)＝0，則f(x)為偶函數(shù)；若f(x)＋f(－x)＝0，則f(x)為奇函數(shù)；③若＝1(f(－x)≠0)，則f(x)為偶函數(shù)；若＝－1(f(－x)≠0)，則f(x)為奇函數(shù)．7.冪函數(shù)的圖象特征(1)冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限內(nèi)，圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)，至于是否在第二、三象限內(nèi)出現(xiàn)，則要看冪函數(shù)的奇偶性．(2)冪函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的變化規(guī)律為：在第一象限內(nèi)直線x＝1的右側(cè)，圖象從下到上，相應(yīng)的指數(shù)由小到大，直線x＝1的左側(cè)，圖象從下到上，相應(yīng)的指數(shù)由大到小．8.函數(shù)的應(yīng)用解決函數(shù)應(yīng)用題關(guān)鍵在于理解題意，提高閱讀能力．一方面要加強對常見函數(shù)模型的理解，弄清其產(chǎn)生的實際背景，把數(shù)學問題生活化；另一方面，要不斷拓寬知識面，增加間接的生活閱歷，諸如了解一些物價、行程、產(chǎn)值、利潤、環(huán)保等實際問題，及有關(guān)角度、面積、體積、造價的問題，培養(yǎng)實際問題數(shù)學化的意識和能力． 學科思想培優(yōu)一、函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域是指函數(shù)y＝f(x)中自變量x的取值范圍．確定函數(shù)的定義域是進一步研究函數(shù)其他性質(zhì)的前提，而研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決數(shù)學問題是中學數(shù)學的重要組成部分．所以熟悉函數(shù)定義域的求法，對于函數(shù)綜合問題的解決起著至關(guān)重要的作用．[典例1]　(1)函數(shù)f(x)＝＋(3x－1)0的定義域是(　　)A.   B.C.   D.∪(2)已知函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域是[－2,3]，則y＝f(2x－1)的定義域是(　　)A.  B．[－1,4]C.[－5,5]  D．[－3,7]解析　(1)由題意，得解得x<1且x≠.(2)設(shè)u＝x＋1，由－2≤x≤3，得－1≤x＋1≤4，所以y＝f(u)的定義域為[－1,4]．再由－1≤2x－1≤4，解得0≤x≤，即函數(shù)y＝f(2x－1)的定義域是.答案　(1)D　(2)A 二、分段函數(shù)問題所謂分段函數(shù)是指在定義域的不同子區(qū)間上的對應(yīng)關(guān)系不同的函數(shù)．分段函數(shù)是一個函數(shù)而非幾個函數(shù)，其定義域是各子區(qū)間的并集，值域是各段上值域的并集．分段函數(shù)求值等問題是高考?？嫉膯栴}．[典例2]　已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為________．解析　①當1－a<1，即a>0時，此時a＋1>1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－(舍去)；②當1－a>1，即a<0時，此時a＋1<1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－，符合題意．綜上所述，a＝－.答案　－三、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，某些數(shù)學問題，通過函數(shù)的單調(diào)性可將函數(shù)值間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量之間的關(guān)系進行研究，從而達到化繁為簡的目的，特別是在比較大小、證明不等式、求值或求最值、解方程(組)等方面應(yīng)用十分廣泛．奇偶性是函數(shù)的又一重要性質(zhì)，利用奇偶函數(shù)圖象的對稱性可以縮小問題研究的范圍，常能使求解的問題避免復(fù)雜的討論．[典例3]　定義在(－1,1)上的函數(shù)f(x)滿足：①對任意的x，y∈(－1,1)，均有f(x)＋f(y)＝f；②當x∈(－1,0)時，f(x)>0.(1)判定函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)判定函數(shù)f(x)在(－1,0)上的單調(diào)性．解　(1)令x＝y＝0，得2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.再令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)在(－1,1)上是奇函數(shù)．(2)設(shè)－1<x1<x2<0，則x2－x1>0.f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f.∵－1<x1<x2<0，∴1＋x1>0,1＋x2>0，且0<x1x2<1，∴0<1－x1x2<1，∴>0.∵x2－x1－1＋x1x2＝(x2－1)＋x1(x2－1)＝(1＋x1)(x2－1)<0，∴0<x2－x1<1－x1x2，∴0<<1.∵x∈(－1,0)時，f(x)>0，且f(x)為奇函數(shù)，∴x∈(0,1)時，f(x)<0，∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)．∴f(x)在(－1,0)上單調(diào)遞減．四、函數(shù)圖象及應(yīng)用函數(shù)的圖象是函數(shù)的重要表示方法，它具有明顯的直觀性，通過函數(shù)的圖象能夠掌握函數(shù)重要的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性等．反之，掌握好函數(shù)的性質(zhì)，有助于函數(shù)圖象正確地畫出．函數(shù)圖象廣泛應(yīng)用于解題過程中，利用數(shù)形結(jié)合解題具有直觀、明了、易懂的優(yōu)點．[典例4]　設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．(1)證明：函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；(2)畫出這個函數(shù)的圖象；(3)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并說明在各個單調(diào)區(qū)間上f(x)的單調(diào)性；(4)求函數(shù)的值域．解　(1)證明：∵函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，且f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)．(2)當0≤x≤3時，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2.當－3≤x<0時，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2.即f(x)＝根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)圖象如下圖．(3)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．f(x)在區(qū)間[－3，－1)和[0,1)上單調(diào)遞減，在[－1,0)和[1,3]上單調(diào)遞增．(4)當0≤x≤3時，函數(shù)f(x)＝(x－1)2－2的最小值為－2，最大值為f(3)＝2；當－3≤x<0時，函數(shù)f(x)＝(x＋1)2－2的最小值為－2，最大值為f(－3)＝2.故函數(shù)f(x)的值域為[－2,2].五、冪函數(shù)的圖象問題對于給定的冪函數(shù)圖象，能從函數(shù)圖象的分布、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)．注意圖象與函數(shù)解析式中指數(shù)的關(guān)系，能夠根據(jù)圖象比較指數(shù)的大?。?/span> [典例5]　如圖是冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限內(nèi)的圖象，則a，b，c，d的大小關(guān)系為(　　)A.a<b<c<dB.a<b<d<cC.b<a<c<dD.b<a<d<c解析　由冪函數(shù)的圖象特征可知，在第一象限內(nèi)直線x＝1的右側(cè)，圖象從下到上，相應(yīng)的指數(shù)由小到大．故選A.答案　A六、函數(shù)模型及其應(yīng)用建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型解決實際問題的步驟：(1)對實際問題進行抽象概括，確定變量之間的主被動關(guān)系，并用x，y分別表示；(2)建立函數(shù)模型，將變量y表示為x的函數(shù)，此時要注意函數(shù)的定義域；(3)求解函數(shù)模型，并還原為實際問題的解．[典例6]　已知A，B兩城市相距100 km，在兩地之間距離A城市x km的D處修建一垃圾處理廠來解決A，B兩城市的生活垃圾和工業(yè)垃圾．為保證不影響兩城市的環(huán)境，垃圾處理廠與市區(qū)距離不得少于10 km.已知垃圾處理費用和距離的平方與垃圾量之積的和成正比，比例系數(shù)為0.25.若A城市每天產(chǎn)生的垃圾量為20 t，B城市每天產(chǎn)生的垃圾量為10 t．(1)求x的取值范圍；(2)把每天的垃圾處理費用y表示成x的函數(shù)；(3)垃圾處理廠建在距離A城市多遠處，才能使每天的垃圾處理費用最少？解　(1)由題意可得x≥10,100－x≥10.所以10≤x≤90.所以x的取值范圍為[10,90]．(2)由題意，得y＝0.25[20x2＋10(100－x)2]，即y＝x2－500x＋25000(10≤x≤90)．(3)由y＝x2－500x＋25000＝2＋(10≤x≤90)，則當x＝時，y最?。?/span>即當垃圾處理廠建在距離A城市 km時，才能使每天的垃圾處理費用最少．  

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