第三章  單元小結(jié)（二） （一）教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能.整合函數(shù)模型及其應(yīng)用的基本知識(shí)與基本方法. 進(jìn)一步提升研究函數(shù)和應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問題的技能.2．過程與方法通過學(xué)生自我回顧、反思、整理、歸納所學(xué)知識(shí)，從而構(gòu)建本節(jié)的知識(shí)體系.3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)會(huì)整合知識(shí)，提升自我學(xué)習(xí)的品質(zhì)，養(yǎng)成合作、交流、創(chuàng)新的良好學(xué)習(xí)品質(zhì).（二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：整合單元知識(shí)；難點(diǎn)：提升綜合運(yùn)用單元知識(shí)能力（三）教學(xué)方法動(dòng)手練習(xí)與合作交流相結(jié)合. 在整合知識(shí)中構(gòu)建體系，在綜合練習(xí)中提升能力.（四）教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖回顧反思構(gòu)建體系1．函數(shù)模型及其應(yīng)用章文知識(shí)網(wǎng)絡(luò). 2．知識(shí)梳理（1）常見函數(shù)模型①直線模型即一次函數(shù)模型，現(xiàn)實(shí)生活中很多事例可以用直線模型表示，例如勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和位移的關(guān)系，彈簧的伸長量與拉力的關(guān)系等，其增長特點(diǎn)是直線上升（x的系數(shù)k＞1），通過圖象可以直觀地認(rèn)識(shí)它.②指數(shù)函數(shù)模型能用指數(shù)函數(shù)表示的函數(shù)模型. 指數(shù)函數(shù)增長的特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快（底數(shù)a＞1），常形象地稱為“指數(shù)爆炸”.③對(duì)數(shù)函數(shù)模型能用對(duì)數(shù)函數(shù)表達(dá)的函數(shù)模型叫對(duì)數(shù)函數(shù)模型. 對(duì)數(shù)增長的特點(diǎn)是隨著自變量的增大（底數(shù)a＞1），函數(shù)值增大的速度越來越慢. 對(duì)數(shù)增大在現(xiàn)實(shí)生活中也有廣泛的應(yīng)用.④冪函數(shù)模型能用冪函數(shù)表達(dá)的函數(shù)模型，叫做冪函數(shù)模型. 冪函數(shù)模型中最常見的是二次函數(shù)y = x2 的模型，它的應(yīng)用最為廣泛.（2）函數(shù)模型的選擇和建立①根據(jù)實(shí)際問題提供的兩個(gè)變量的數(shù)量關(guān)系可構(gòu)建和選擇正確的函數(shù)模型. 同時(shí)，要注意利用函數(shù)圖象的直觀性，作出散點(diǎn)圖，來確定適合題意的函數(shù)模型.②建立數(shù)學(xué)模型的三關(guān)a．事理關(guān)：通過閱讀、理解，明白問題講什么，熟悉實(shí)際背景，為解題打開突破口；b．文理關(guān)：將實(shí)際問題的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號(hào)語言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系；c．?dāng)?shù)理關(guān)：在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型中，對(duì)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行檢索，從而認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)數(shù)學(xué)問題. 1．題生合作，繪制網(wǎng)絡(luò)圖.2．學(xué)生回顧口述知識(shí)要點(diǎn)，老師總結(jié)，歸納進(jìn)行知識(shí)疏理.整理知識(shí)培養(yǎng)歸納能力.師生共同回顧，再現(xiàn)知識(shí)與方法.       經(jīng)典例題例1  某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品所需要的費(fèi)用為P元，而賣出x噸的價(jià)格為每噸Q元，已知P = 1000 + 5x +，Q = a +，若生產(chǎn)出的產(chǎn)品能夠全部賣掉，且在產(chǎn)量為150噸時(shí)利潤最大，此時(shí)每噸價(jià)格為40元，求實(shí)數(shù)a，b的值.  例2  某地投資建印染廠，為了保護(hù)環(huán)境，需制定治污方案. 甲方案為永久性治污方案，需一次投入100萬元；乙方案為分期治污方案，需每月投資5萬元，若投資額以月利潤1%的復(fù)利計(jì)算，試比較投產(chǎn)幾個(gè)月后甲方案與乙方案的優(yōu)勢. (必須時(shí)可用以下數(shù)據(jù)：lg1.010 = 0.0043，lg1.253 = 0.0980，lg1.250 = 0.0969，lg1.235 = 0.0917)注：1 + q + q2 +…+qn =.     例3  為了估計(jì)上積雪融化后對(duì)下游灌溉的影響，在山上建立了一個(gè)觀察站，測量最大積雪深度x與當(dāng)年灌溉面積y，現(xiàn)有連續(xù)10年的實(shí)測資料，如下表所示.年序最大積雪深度x (cm)灌溉面積y (公頃)115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9（1）描點(diǎn)畫出灌溉面積隨積雪深度變化的圖象；（2）建立一個(gè)能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型，并畫出圖象；（3）根據(jù)所建立的函數(shù)模型，若今年最大積雪深度為25cm，可以灌溉土地多少公頃？例1解析：根據(jù)題意得利潤函數(shù)解析式為：  .依題意得，解得.【評(píng)析】已給出函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用題，關(guān)鍵是考慮該題考查的是何種函數(shù)，并要注意定義域，最后結(jié)合其實(shí)際意義作出解答.例2解析：設(shè)經(jīng)過x個(gè)月后，甲、乙兩方案總的本息分別為y，z，則y = 100 (1 + 1%)x z = 5 [1 + (1+1%) + (1+1%)2 +…+(1+1%)x–1] =.設(shè)100 (1+1%)x＜500(1.01x–1)，則1.01x＞,兩邊取常用對(duì)數(shù)得，x＞故工廠投產(chǎn)23個(gè)月后，甲方案優(yōu)于乙方案，投產(chǎn)1至22個(gè)月乙方案優(yōu)于甲方案.【評(píng)析】不同的函數(shù)模型能夠刻畫現(xiàn)實(shí)世界不同的變化規(guī)律，函數(shù)模型可以處理生產(chǎn)生活中很多實(shí)際問題. 常見的函數(shù)模型有：（1）一次函數(shù)型模型：y = kx + b (k≠0)；（2）二次函數(shù)型模型：y = ax2+bx+c (a≠0)；（3）指數(shù)函數(shù)型模型：y = a·bx + c；（4）對(duì)數(shù)函數(shù)型模型：y = m·logax + n；（5）冪函數(shù)型模型：y = axn + b.例3：【解析】（1）利用計(jì)算機(jī)幾何畫板軟件，描點(diǎn)如圖甲.（2）從圖甲中可以看到，數(shù)據(jù)點(diǎn)大致落在一條直線附近，由此，我們假設(shè)灌溉面積y和最大積雪深度x滿足線性函數(shù)模型y = a + bx.取其中的兩組數(shù)據(jù)(10.4, 21.1)，(24.0, 45.8)，代入y = a + bx，得，用計(jì)算器可得a≈2.4，b≈1.8.這樣，我們得到一個(gè)函數(shù)模型；y = 2.4 + 1.8x. 作出函數(shù)圖象如圖乙，可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好，這說明它能較好地反映積雪深度與灌溉面積的關(guān)系.（3）由y = 2.4 + 1.8×25，求得y = 47.4，即當(dāng)積雪深度為25cm時(shí)，可以灌溉土地47.4公頃.【評(píng)析】擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題要根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)作函數(shù)點(diǎn)圖，然后選擇函數(shù)模型，這反映了一個(gè)較為完整的建立函數(shù)模型解決問題的過程. 備選例題例3  我國農(nóng)業(yè)科學(xué)家研究玉米的生長階段與植株高度的函數(shù)關(guān)系的例子，這里我們再進(jìn)一步研究此例，引導(dǎo)大家學(xué)習(xí)建立數(shù)學(xué)模型的方法.下表給出了某地區(qū)玉米在不同生長階段的高度數(shù)據(jù)：生長階段12345678910111213141516植株高度(cm)0.670.851.281.752.272.753.694.716.367.739.9112.7516.5520.127.3532.55生長階段171819202122232425262728293031 植株高度(cm)37.5544.7553.3871.6183.8997.46112.73135.12153.6160.32167.05174.9177.87180.19180.79 （1）作出函數(shù)圖象，近似地寫出一個(gè)函數(shù)關(guān)系式表達(dá)兩個(gè)變量之間的關(guān)系；（2）利用得出的關(guān)系式列表；（3）與表中實(shí)際數(shù)據(jù)比較，說出關(guān)系式給出的一些信息.【解】（1）作出函數(shù)圖形，如圖所示.函數(shù)的圖形近似于“S”形.以我們現(xiàn)有的知識(shí)很難找出一個(gè)函數(shù)關(guān)系式來近似地表達(dá)這個(gè)圖象，但我們仔細(xì)觀察第1個(gè)生長階段至第25個(gè)生長階段圖象后會(huì)發(fā)現(xiàn)，它與我們比較熟悉的指數(shù)函數(shù)的圖象相象.下面我們來考慮給出第1至第25個(gè)生長階段的一個(gè)指數(shù)函數(shù)關(guān)系式.假設(shè)指數(shù)函數(shù)為 y = ae bx ，并且通過點(diǎn)（2，0.85）和（23，112.73）. 把這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式，解方程組得 a = 0.534，b = 0.233.因此，用指數(shù)函數(shù)近似得到的關(guān)系式為 y = f (x) = 0.534e 0.233x.（2）由得到的關(guān)系式計(jì)算出各個(gè)生長階段的近似值如下：生長階段x12345678910111213植株高度f (x)0.670.851.071.361.712.162.733.444.345.486.928.7411.03生長階段x141516171819202122232425 植株高度f (x)13.9317.5822.228.0235.3744.6656.3771.1689.84113.41143.17180.73 （3）從表中我們可以清楚地看出. 第1到第6個(gè)生長階段與實(shí)際得到的數(shù)據(jù)相差很小，后面除第23生長階段外的其它生長階段數(shù)據(jù)相差較大.這個(gè)指數(shù)函數(shù)在玉米生長后幾個(gè)階段增長較快，與實(shí)際數(shù)據(jù)中穩(wěn)定于某一數(shù)值附近不符.要得到效果更好的關(guān)系式，我們需要更多的數(shù)學(xué)知識(shí).人們在實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)生物種群的增長也有類似玉米株高生長的“S”形曲線. 如SARS（非典型肺炎）病的傳播，時(shí)間與病例數(shù)的關(guān)系，科學(xué)家們研究發(fā)現(xiàn)這類曲線近似于以下函數(shù)：????????????? ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? y =.這類函數(shù)稱為Logistic模型.對(duì)于玉米生長的這組數(shù)據(jù)，也可以建立Logistic模型，玉米的整個(gè)生長過程近似于函數(shù)y =.Logistic模型在現(xiàn)實(shí)生活中有很多應(yīng)用. 例如，它可以預(yù)測生物生長狀況，這對(duì)我們了解生物生長發(fā)育情況，控制和預(yù)防疾病都有很大的幫助.

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