第三章   單元小結(jié)（一） （一）教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能整合函數(shù)與方程的基本知識(shí)和基本方法，進(jìn)一步提升函數(shù)與方程思想.2．過(guò)程與方法通過(guò)學(xué)生自我回顧、反思、整理、歸納所學(xué)知識(shí)，從而構(gòu)建本節(jié)的知識(shí)體系3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)會(huì)整合知識(shí)，提升自我學(xué)習(xí)的品質(zhì)，養(yǎng)成合作、交流、創(chuàng)新的良好學(xué)習(xí)品質(zhì).（二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：整合單元知識(shí)；難點(diǎn)：提升綜合運(yùn)用單元知識(shí)的能力.（三）教學(xué)方法動(dòng)手練習(xí)與合作交流相結(jié)合，在整合知識(shí)中構(gòu)建單元知識(shí)體系，在綜合練習(xí)中提升綜合運(yùn)用單元知識(shí)的能力.（四）教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖回顧反思構(gòu)建體系1．函數(shù)與方程單元知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 2．知識(shí)梳理①二次函數(shù)的零點(diǎn)與一元二次方程根的關(guān)系對(duì)于二次函數(shù)f (x) = ax2 + bx + c (a≠0)，當(dāng)f (x) = 0時(shí)，就是一元二次方程ax2 + bx + c = 0，因此，二次函數(shù)f (x) = ax2 + bx + c (a≠0)的零點(diǎn)就是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的根；也即二次函數(shù)f (x) = ax2 + bx + c的圖象——拋物線與x軸相交時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的根.②函數(shù)的零點(diǎn)的理解（1）函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)自變量取該值時(shí)，其函數(shù)值等于零.(2)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)定義可知，函數(shù)f (x)的零點(diǎn)就是f (x) = 0的根，因此判斷一個(gè)函數(shù)是否有零點(diǎn)，有幾個(gè)零點(diǎn)，就是判斷方程f (x) = 0是否有實(shí)根，有幾個(gè)實(shí)根.③函數(shù)零點(diǎn)的判定判斷一個(gè)函數(shù)是否有零點(diǎn)，首先看函數(shù)f (x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，并且是否存在f (a)·f (b)＜0，若滿足，那么函數(shù)y = f (x)在區(qū)間（a，b）內(nèi)必有零點(diǎn).④用二分法求方程的近似解要注意以下問(wèn)題：（1）要看清題目要求的精確度，它決定著二分法步驟的結(jié)束.（2）初始區(qū)間的選定一般在兩個(gè)整數(shù)間，不同的初始區(qū)間結(jié)果是相同的，但二分的次數(shù)卻相差較大.（3）在二分法的第四步，由|a – b|＜，便可判斷零點(diǎn)近似值為a或b.⑤用二分法求曲線的近似交點(diǎn)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的解，最終轉(zhuǎn)化為求方程的根；（2）求曲線y = f (x)和y = g(x)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，實(shí)際上就是求函數(shù)y = f (x) – g (x)的零點(diǎn)，即求方程f (x) – g (x) = 0的實(shí)數(shù)解. 1．師生合作，繪制單元知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖2．學(xué)生回顧口述知識(shí)要點(diǎn)，老師總結(jié)、歸納，師生共同進(jìn)行知識(shí)疏理.整理知識(shí)，培養(yǎng)歸納能力；師生共同回顧、再現(xiàn)知識(shí)與方法.經(jīng)典例題剖析 例1  利用計(jì)算器，求方程2x + 2x – 5 = 0的近似解. (精確到0.1)        例2 確定函數(shù)f (x) =+ x – 4 的零點(diǎn)個(gè)數(shù).     例3（1）試說(shuō)明方程2x3 – 6x2 +3 = 0有3個(gè)實(shí)數(shù)解，并求出全部解的和（精確到0.01）（2）探究方程2x3 – 6x2 +5 = 0，方程2x3 – 6x2 +8 = 0全部解的和，你由此可以得到什么結(jié)論？ 1．學(xué)生自主完成例1、例2、例3，求解學(xué)生代表板書解答過(guò)程，老師點(diǎn)評(píng)，總結(jié).例1【解析】設(shè)f (x) = 2x + 2x – 5，由于函數(shù)在R上是增函數(shù)，所以函數(shù)f (x)在R上至多一個(gè)零點(diǎn).∵f (1) = –1＜0，f (2) = 3＞0，∴f (1) f (2)＜0，∴函數(shù)f (x) = 2x + 2x – 5在(1, 2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，則二分法逐次計(jì)算，列表如下：取區(qū)間中點(diǎn)值中點(diǎn)函數(shù)值(1, 2)1.50.83(正數(shù))(1, 1, 5)1.25–0.12(負(fù)數(shù))(1.25, 1.5)1.3750.34(正數(shù))(1.25, 1.375)1.31250.11(正數(shù))(1.25, 1.3125)  ∵|1.3125 – 1.25| = 0.0625＜0.1，∴函數(shù)f (x)的零點(diǎn)近似值為1.3125.∴方程2x + 2x – 5 = 0的近似解是1.3125.例2【解析】設(shè)，則f (x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即y1與y2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出兩函數(shù)圖象如圖.由圖知，y1與y2在區(qū)間(0, 1)內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)x = 4時(shí)，y1 = –2，y2 = 0，當(dāng)x = 8時(shí)，y1 = –3，y2 = – 4，∴在(4, 8)內(nèi)兩曲線又有一個(gè)交點(diǎn)，又和y2 = x – 4均為單調(diào)函數(shù).∴兩曲線只有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).例3【解析】（1）設(shè)函數(shù) f (x) =2x3 – 6x2 +3，∵f (–1) = –5＜0，f (0) = 3＞0，f (1) = –1＜0，f (2) = –5＜0，f (3) = 3＞0，函數(shù)y = f (x)的圖象是連續(xù)的曲線，∴方程2x3 – 6x2 +3 = 0有3個(gè)實(shí)數(shù)解．首先以區(qū)間[–1，0]為計(jì)算的初始區(qū)間，用二分法逐步計(jì)算，列表如下：端點(diǎn)或中點(diǎn)的橫坐標(biāo)a0 = –1，b0 = 0x0 = (–1+0) / 2 = – 0.5x1 = (–1– 0.5) /2 = – 0.75x2 = (– 0.75 – 0.5) / 2= – 0.625x3 = (– 0.75 – 0.625) / 2= – 0.687 5x4 = (– 0.687 5 – 0.625) / 2= – 0.656 25x5 = (– 0.656 25 – 0.625) / 2= – 0.640 625x6= (– 0.656 25 – 0.640 625) / 2= – 0.648 437 5x7= – 0.644 531 25 計(jì)算端點(diǎn)或中點(diǎn)的函數(shù)值定區(qū)間f (–1) = –5，f (0) =3[–1，0]f (x0) = f (– 0.5)  = 1.25＞0[–1，–0.5]f (x1) = f (– 0.75)＜0[– 0.75，–0.5]f (x2) = f (– 0.625)＞0[– 0.75，–0.625]f (x3) = f (– 0.687 5)＜0[– 0.687 5，–0.625]f (x4) = f (– 0.656 25)＜0[– 0.656 25，–0.625]f (x5) = f (– 0.640 625)＞0[– 0.656 25，–0.640 625]f (x6) = f (– 0.648 437 25)＜0[– 0.648 437 5，–0.640 625]f (x7)＜0[– 0.644 531 25，–0.640 625]由上表計(jì)算可知，區(qū)間[– 0.64453125，– 0.640625]的左、右兩端點(diǎn)精確到0.01所取的近似值都是 – 0.64，所以– 0.64可以作為方程2x3 – 6x2 +3 = 0在區(qū)間[–1，0]上的一個(gè)近似解．同理可求得方程2x3 – 6x2 +3 = 0在區(qū)間[0，1]和[2，3]內(nèi)且精確到0.01的近似解分別為0.83，2.81．所以方程2x3 – 6x2 +3 = 0全部解的和為– 0.64 + 0.83 + 2.81 = 3．（2）利用同樣方法可求得方程2x3 – 6x2 +5 = 0和方程2x3 – 6x2 +8 = 0全部解的和也為3．由于3只與未知數(shù)的系數(shù)比相等，即 – (– 6÷2) = 3，所以猜想：一般地，對(duì)于一元三次方程ax3+ bx3 + cx +d = 0有三個(gè)根xl，x2，x3，則和為x1 +x2 +x3 =．動(dòng)手嘗試練習(xí)提升綜合應(yīng)用知識(shí)的能力.備選例題例1  求函數(shù)y = x3 – 2x2 – x + 2的零點(diǎn)，并畫出它的圖象.【解析】因?yàn)?/span>x3 – 2x – x + 2 = x2 (x – 2) – (x – 2) = (x – 2) (x2 – 1) = (x – 2) (x – 1) (x + 1)，所以已知函數(shù)的零點(diǎn)為–1，1，2.3個(gè)零點(diǎn)把x軸分成4個(gè)區(qū)間：，[–1，1]，[1，2]，.在這4個(gè)區(qū)間內(nèi)，取x的一些值(包括零點(diǎn))，列出這個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)值表：x…–1.5–1–0.500.511.522.5…y…– 4.3801.8821.130–0.6302.63…在直角坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)連線，這個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示.例2 求函數(shù)f (x) = x3 + x2 – 2x – 2的一個(gè)為正實(shí)數(shù)的零點(diǎn)（誤差不超過(guò)0.1）.【解析】由于f (1) = –2＜0，f (2) = 6＞0，可以取區(qū)間[1，2]作為計(jì)算的初始區(qū)間.用二分法逐次計(jì)算，列表如下：端點(diǎn)（中點(diǎn)）坐標(biāo)計(jì)算中點(diǎn)的函數(shù)值取區(qū)間|an – bn|  [1，2]1x0 = (1 + 2)/2 = 1.5f(x0)=0.625＞0[1，1.5]0.5x1 = (1 + 1.5)/2 = 1.25f(x1)= –0.984＜0[1.25，1.5]0.25x2=(1.25+1.5)/2 =1.375f(x2)= –0.260＜0[1.375，1.5]0.125x3=(1.375+1.5)/2=1.438   由上表的計(jì)算可知，區(qū)間[1.375，1.5 ]的長(zhǎng)度小于0.2，所以這個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)x3 = 1.438可作為所求函數(shù)誤差不超過(guò)0.1的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值.函數(shù)f (x) = x3 + x2 – 2x – 2的圖象如圖所示.實(shí)際上還可用二分法繼續(xù)算下去，進(jìn)而得到這個(gè)零點(diǎn)精確度更高的近似值.     

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