第2課時(shí)　對(duì)數(shù)函數(shù)及其圖象、性質(zhì)(二)課后訓(xùn)練鞏固提升A組1.下列函數(shù)中,既是單調(diào)函數(shù),又是奇函數(shù)的是(　　)A.y=x-1 B.y=3|x|C.y=log3x D.y=log23x解析:因?yàn)?/span>y=log23x=xlog23,所以該函數(shù)是正比例函數(shù),既是奇函數(shù),又是增函數(shù).答案:D2.若函數(shù)y=lg是奇函數(shù),則實(shí)數(shù)a的值等于 (　　)A.1 B.-1 C.2 D.0解析:因?yàn)楹瘮?shù)y=lg是奇函數(shù),所以lg=-lg=lg,即-a=,化簡得4-4a+a2(1-x2)=1-x2,所以解得a=1.答案:A3.已知函數(shù)f(x)=loga(2x-a)在區(qū)間上恒有f(x)>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A. B. C. D.解析:當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以loga>0,即0<-a<1,解得<a<,故<a<1;當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以loga(1-a)>0,即1-a>1,解得a<0,此時(shí)無解.綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選A.答案:A4.若函數(shù)f(x)=loga|x-2|(a>0,且a≠1)在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增,則f(x)在區(qū)間(2,+∞)內(nèi)的單調(diào)性為(　　)A.先增后減 B.先減后增C.單調(diào)遞增 D.單調(diào)遞減解析:當(dāng)1<x<2時(shí),函數(shù)f(x)=loga|x-2|=loga(2-x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增,所以0<a<1;函數(shù)f(x)=loga|x-2|在區(qū)間(2,+∞)內(nèi)的解析式為f(x)=loga(x-2)(0<a<1),故在區(qū)間(2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.答案:D5.已知函數(shù)y=log2(x2-2kx+k)的值域?yàn)?/span>R,則k的取值范圍是(　　)A.0<k<1 B.0≤k<1C.k≤0或k≥1 D.k=0或k≥1解析:令t=x2-2kx+k,由y=log2(x2-2kx+k)的值域?yàn)?/span>R.可知函數(shù)t=x2-2kx+k的圖象一定與x軸有交點(diǎn),所以Δ=4k2-4k≥0,即k≤0或k≥1.答案:C6.若函數(shù)f(x)=log2(ax+1)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　　. 解析:由題意得解得a>0.答案:(0,+∞)7.函數(shù)y=log2(x2-1)的單調(diào)遞增區(qū)間為　　　　　. 解析:由x2-1>0可知定義域?yàn)?/span>{x|x<-1或x>1}.又y=log2t在定義域上單調(diào)遞增,t=x2-1在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以函數(shù)y的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞).答案:(1,+∞)8.函數(shù)y=lo(2x+1)的值域?yàn)?/span>　　　　　. 解析:因?yàn)?/span>2x+1>1,函數(shù)y=lo(2x+1)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù),所以lo(2x+1)<lo1=0,即所求函數(shù)的值域?yàn)?/span>(-∞,0).答案:(-∞,0)9.已知x滿足≤x≤8,求函數(shù)f(x)=2(log4x-1)·log2的最大值和最小值.解:由≤x≤8,得≤log2x≤3.因?yàn)?/span>f(x)=2(log4x-1)·log2=(log2x-2)(log2x-log22)=(log2x)2-3log2x+2=,所以當(dāng)log2x=時(shí),f(x)min=-;當(dāng)log2x=3時(shí),f(x)max=2.10.已知f(x)=lo(x2-ax-a).(1)當(dāng)a=-1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間及值域;(2)若f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=lo(x2+x+1).因?yàn)?/span>x2+x+1=,所以lo(x2+x+1)≤lo=2-log23,因此f(x)的值域?yàn)?/span>(-∞,2-log23].又t=x2+x+1在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,y=lot在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)令u=x2-ax-a=-a,因?yàn)?/span>f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,又y=lou在定義域上為減函數(shù),所以u在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,且u>0在區(qū)間內(nèi)恒成立.因此解得-1≤a≤.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.B組1.方程lg(-2x-1)=lg(x2-9)的根為(　　)A.2或-4 B.-4C.2 D.-2或4解析:由已知,得-2x-1=x2-9,即x2+2x-8=0,解得x=-4或x=2.經(jīng)檢驗(yàn)x=2不符合題意,舍去.所以原方程的根為x=-4,故選B.答案:B2.當(dāng)0<x≤時(shí),logax>8x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A. B.C. D.(,2)解析:∵logax>8x,∴logax>0.又0<x≤,∴0<a<1.作出y=8x與y=logax的大致圖象如圖所示,則只需滿足loga=2=logaa2,解得a>,所以<a<1,故選B.答案:B3.已知函數(shù)f(x)=ln,則f(x)是(　　)A.既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增B.奇函數(shù),且在R上單調(diào)遞增C.既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減D.偶函數(shù),且在R上單調(diào)遞減解析:要使函數(shù)有意義,則ex>e-x,解得x>0,即函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),故函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù).又y=在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,故選A.答案:A4.若函數(shù)f(x)=xln(x+)為偶函數(shù),則a=　　　　　. 解析:∵函數(shù)f(x)=xln(x+)為偶函數(shù),∴f(-x)=f(x),∴(-x)ln(-x+)=xln(x+),∴ln(x+)+ln(-x+)=0,∴ln(a+x2-x2)=lna=0,∴a=1.答案:15.若函數(shù)f(x)=ax+loga(x+1)在區(qū)間[0,1]上的最大值和最小值之和為a,則a的值為　　　　　. 解析:當(dāng)a>1時(shí),y=ax與y=loga(x+1)在區(qū)間[0,1]上都單調(diào)遞增,所以f(x)max=f(1)=a+loga2,f(x)min=f(0)=a0+loga1=1,所以a+loga2+1=a,即loga2=-1,故a=(舍去);當(dāng)0<a<1時(shí),y=ax與y=loga(x+1)在區(qū)間[0,1]上都單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(0)=a0+loga(0+1)=1,f(x)min=f(1)=a+loga2,所以a+loga2+1=a,即a=.綜上所述,a=.答案:6.不等式lo(4x+2x+1)>0的解集為　　　　　. 解析:由lo(4x+2x+1)>0,得4x+2x+1<1,即(2x)2+2·2x<1,配方得(2x+1)2<2,所以2x<-1,兩邊取以2為底的對(duì)數(shù),得x<log2(-1).答案:(-∞,log2(-1))7.已知函數(shù)f(x)=lo(a為常數(shù)).(1)若常數(shù)a<2,且a≠0,求f(x)的定義域;(2)若f(x)在區(qū)間(2,4)內(nèi)單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)對(duì)于>0,當(dāng)0<a<2時(shí),解得x<1,或x>;當(dāng)a<0時(shí),解得<x<1.故當(dāng)0<a<2時(shí),f(x)的定義域?yàn)?/span>x<1或x>;當(dāng)a<0時(shí),f(x)的定義域?yàn)?/span>.(2)令u=,x∈(2,4),因?yàn)?/span>y=lou在定義域上為減函數(shù),所以要使f(x)在區(qū)間(2,4)內(nèi)單調(diào)遞減,只需u==a+在區(qū)間(2,4)內(nèi)單調(diào)遞增且恒為正值,故有解得1≤a<2,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,2).8.已知函數(shù)f(x)=lo(x2-2ax+3).(1)若f(x)的定義域?yàn)?/span>R,求a的取值范圍.(2)若f(-1)=-3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間.(3)是否存在實(shí)數(shù)a,使f(x)在區(qū)間(-∞,2)內(nèi)單調(diào)遞增?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.解:(1)∵函數(shù)f(x)=lo(x2-2ax+3)的定義域?yàn)?/span>R,∴x2-2ax+3>0恒成立,∴Δ<0,即4a2-12<0,解得-<a<,∴a的取值范圍為-<a<.(2)∵f(-1)=-3,∴lo(1+2a+3)=lo8,∴4+2a=8,∴a=2.∴f(x)=lo(x2-4x+3).∵x2-4x+3>0,即(x-3)(x-1)>0,∴x<1或x>3.故m(x)=x2-4x+3在區(qū)間(-∞,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(3,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.又f(x)=lom(x)為減函數(shù),∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律可知,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(3,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(3,+∞).(3)不存在實(shí)數(shù)a,使f(x)在區(qū)間(-∞,2)內(nèi)單調(diào)遞增.理由如下:函數(shù)f(x)=lo(x2-2ax+3).設(shè)n(x)=x2-2ax+3,可知函數(shù)n(x)在區(qū)間(-∞,a)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(a,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,從而f(x)在區(qū)間(-∞,a)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(a,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(-∞,2)內(nèi)單調(diào)遞增,所以a≥2,且4-4a+3>0,解得a≥2,且a<.所以沒有符合這種條件的a.故不存在實(shí)數(shù)a,使f(x)在區(qū)間(-∞,2)內(nèi)單調(diào)遞增.

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