第4課時　指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)課后訓練鞏固提升A組1.化簡的結(jié)果為(　　)A.1 B.2 C.3 D.0解析:==2.答案:B2.關(guān)于函數(shù)f(x)=與函數(shù)g(x)=lo|x|在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)的單調(diào)性的描述正確的是(　　)A.f(x)和g(x)都單調(diào)遞增B.f(x)和g(x)都單調(diào)遞減C.f(x)單調(diào)遞增,g(x)單調(diào)遞減D.f(x)單調(diào)遞減,g(x)單調(diào)遞增解析:f(x)=在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,g(x)=lo|x|為偶函數(shù),當x∈(0,+∞)時,g(x)=lox單調(diào)遞減,所以g(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增.答案:D3.已知f(x)是函數(shù)y=log2x的反函數(shù),則y=f(1-x)的圖象是(　　)解析:因為f(x)是函數(shù)y=log2x的反函數(shù),所以f(x)=2x.所以y=f(1-x)=21-x=,其函數(shù)的圖象可由函數(shù)y=的圖象向右平移1個單位長度得到,故選C.答案:C4.函數(shù)f(x)=πx+log2x的零點所在區(qū)間為(　　)A. B. C. D.解析:因為在4個選項中,只有f<0,又函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,所以函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間為.答案:C5.已知a=log0.60.5,b=ln 0.5,c=0.60.5,則(　　)A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a解析:因為y=log0.6x在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)為減函數(shù),所以log0.60.6<log0.60.5,即a>1.同理,ln0.5<ln1=0,即b<0.又0<0.60.5<0.60,所以0<c<1.所以a>c>b.答案:B6.已知關(guān)于x的方程|3x+1-2|=m有兩個實數(shù)解,則實數(shù)m的取值范圍是(　　)A.(0,+∞) B.[0,2]C.(0,2) D.(2,+∞)解析:畫出函數(shù)f(x)=|3x+1-2|的圖象(圖略),由圖象可知,要使直線y=m與f(x)的圖象有兩個不同的交點,需滿足0<m<2.答案:C7.已知函數(shù)f(x)=則函數(shù)f(x)的零點為　　　　　. 解析:當x≤1時,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;當x>1時,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因為x>1,所以此時方程無解.綜上,函數(shù)f(x)的零點只有0.答案:08.函數(shù)f(x)=log2·lo(2x)的最小值為　　　　　. 解析:由題意得x>0,所以f(x)=log2·lo(2x)=log2x·log2(4x2)=log2x·(log24+2log2x)=log2x+(log2x)2=≥-.當且僅當x=時,有f(x)min=-.答案:-9.已知函數(shù)f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有且僅有兩個零點,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　　. 解析:分a>1與0<a<1兩種情況,畫出函數(shù)y=ax與函數(shù)y=x+a的圖象,如圖所示.由圖知,當a>1時,兩個函數(shù)的圖象有兩個交點;當0<a<1時,兩個函數(shù)的圖象有一個交點.所以實數(shù)a的取值范圍是(1,+∞).答案:(1,+∞)10.已知函數(shù)f(x)=a·2x+b·3x,其中常數(shù)a,b滿足ab≠0.(1)若ab>0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若ab<0,求不等式f(x+1)>f(x)的解集.解:(1)當a>0,b>0時,因為y1=a·2x,y2=b·3x在R上都單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增;當a<0,b<0時,因為y1=a·2x,y2=b·3x在R上都單調(diào)遞減,所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減.綜上可知,當ab>0時,函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增.(2)f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0.①當a<0,b>0時,>-,解得x>lo;②當a>0,b<0時,<-,解得x<lo.故當a<0,b>0時,所求的解集為xx>lo;當a>0,b<0時,所求的解集為xx<lo.11.已知函數(shù)f(x)=log2(2x+1).(1)求證:函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;(2)若g(x)=log2(2x-1)(x>0),且關(guān)于x的方程g(x)=m+f(x)在區(qū)間[1,2]上有解,求m的取值范圍.(1)證明:任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=log2(2x1+1)-log2(2x2+1)=log2.因為x1<x2,所以0<<1,所以log2<0,所以f(x1)<f(x2).所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)解:因為g(x)=m+f(x),所以g(x)-f(x)=m.設h(x)=g(x)-f(x)=log2(2x-1)-log2(2x+1)=log2=log2.設1≤x1<x2≤2,則3≤2x1+1<2x2+1≤5,即,即-≤-,∴≤1-<1-,∴log2≤h(x1)<h(x2)≤log2,即h(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增且值域為.要使g(x)-f(x)=m有解,需m∈log2,log2.故m的取值范圍為.B組1.下列區(qū)間中,函數(shù)f(x)=|ln(2-x)|在其上單調(diào)遞增的是(　　)A.(-∞,1] B. C. D.[1,2)解析:當2-x≥1,即x≤1時,f(x)=|ln(2-x)|=ln(2-x),此時函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,1]上單調(diào)遞減.當0<2-x≤1,即1≤x<2時,f(x)=|ln(2-x)|=-ln(2-x),此時函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2)內(nèi)單調(diào)遞增,故選D.答案:D2.兩個函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合,稱這兩個函數(shù)為“同形”函數(shù),給出下列四個函數(shù):f1(x)=2log2(x+1),f2(x)=log2(x+2),f3(x)=log2x2,f4(x)=log2(2x),則是“同形”函數(shù)的是(　　)A.f2(x)與f4(x) B.f1(x)與f3(x)C.f1(x)與f4(x) D.f3(x)與f4(x)解析:因為f4(x)=log2(2x)=1+log2x,所以f2(x)=log2(x+2)的圖象沿著x軸先向右平移2個單位長度得到y=log2x的圖象,再沿著y軸向上平移1個單位長度可得到f4(x)=log2(2x)=1+log2x的圖象,根據(jù)“同形”函數(shù)的定義,f2(x)與f4(x)為“同形”函數(shù).f3(x)=log2x2=2log2|x|與f1(x)=2log2(x+1)不“同形”,故選A.答案:A3.已知函數(shù)f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),則abc的取值范圍是　　　　　. 解析:畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.設f(a)=f(b)=f(c)=m,不妨設a<b<c,則直線y=m與函數(shù)f(x)的圖象交點的橫坐標從左到右依次為a,b,c.由圖象易知0<a<1<b<e<c<e2,所以f(a)=|lna|=-lna,f(b)=|lnb|=lnb.因此-lna=lnb,lna+lnb=0,lnab=ln1,于是ab=1.所以abc=c∈(e,e2).答案:(e,e2)4.如圖,矩形ABCD的三個頂點A,B,C分別在函數(shù)y=lox,y=,y=的圖象上,且矩形的邊分別平行于兩坐標軸.若點A的縱坐標為2,則點D的坐標為　　　　　. 解析:由題中圖象可知,點A(xA,2)在函數(shù)y=lox的圖象上,所以2=loxA,xA=.點B(xB,2)在函數(shù)y=的圖象上,所以2=,即xB=4.由點B為(4,2),可知點C為(4,yC).又點C(4,yC)在函數(shù)y=的圖象上,所以yC=.又xD=xA=,yD=yC=,所以點D的坐標為.答案:5.已知函數(shù)f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(0<a<1).(1)求函數(shù)f(x)的定義域;(2)若函數(shù)f(x)的最小值為-2,求a的值.解:(1)要使函數(shù)f(x)有意義,則有解得-3<x<1.故函數(shù)f(x)的定義域為(-3,1).(2)函數(shù)f(x)可化為f(x)=loga[(1-x)(x+3)]=loga(-x2-2x+3)=loga[-(x+1)2+4].因為-3<x<1,所以0<-(x+1)2+4≤4.因為0<a<1,所以loga[-(x+1)2+4]≥loga4.所以loga4=-2,即a-2=4,解得a=.6.已知函數(shù)f(x)=+log2.(1)求函數(shù)f(x)的定義域;(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并說明理由;(3)若函數(shù)g(x)=f(1-x2)+f,求函數(shù)g(x)的零點.解:(1)要使函數(shù)f(x)有意義,則有>0,解得-1<x<1,故函數(shù)f(x)的定義域為(-1,1).(2)函數(shù)f(x)為奇函數(shù).理由如下:∵f(x)的定義域為(-1,1),關(guān)于原點對稱,對任意的x∈(-1,1),有f(-x)=+log2-log2=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù).(3)要求函數(shù)g(x)的零點,即求方程g(x)=0的解.由f(1-x2)+f=0及f(x)為奇函數(shù),可得f=-f(1-x2)=f(x2-1),任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,f(x1)-f(x2)==+log2.∵-1<x1<x2<1,<0,(1-x1)(1+x2)-(1+x1)(1-x2)=2(x2-x1)>0,∴0<<1,∴log2<0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在定義域(-1,1)內(nèi)為增函數(shù),∴由f=f(x2-1),得=x2-1,解得x=2或x=-.驗證當x=2時,1-x2<-1,不符合題意,當x=-時,符合題意.∴函數(shù)g(x)的零點為x=-.

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