單元疑難突破練(一)(60分鐘　100分)一、單項(xiàng)選擇題：本題共6小題，每小題5分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若向量，，的起點(diǎn)M和終點(diǎn)A，B，C互不重合且無三點(diǎn)共線，則能使向量，，成為空間一組基底的關(guān)系是(　　)A．＝＋＋B．＝＋C．＝＋＋D．＝2－【解析】選C.對于選項(xiàng)A，由結(jié)論＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四點(diǎn)共面，即，，共面；對于B，D選項(xiàng)，易知，，共面，故只有選項(xiàng)C中，，不共面．2．(2021·寧波高二檢測)已知空間向量a＝，b＝(－2，1，2)，若2a－b與b垂直，則|a|等于(　　)A．    B．    C．    D．【解析】選A.由空間向量a＝(1，n，2)，b＝(－2，1，2)，若2a－b與b垂直，則(2a－b)·b＝0，即2a·b＝b2，即2n＋4＝9，即n＝，即a＝即|a|＝＝.3．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，則等于(　　)A．      B．C．      D．【解析】選B.由·＝0得3＋5－2z＝0，所以z＝4.又因?yàn)?/span>⊥平面ABC，所以即解得所以＝.4．已知A(1，2，1)，B(－1，3，4)，C(1，1，1)，＝2，則||為(　　)A．    B．    C．    D．【解析】選A.設(shè)P(x，y，z)，由＝2得(x－1，y－2，z－1)＝2(－1－x，3－y，4－z)，所以x＝－，y＝，z＝3，即P，所以＝，所以||＝.5．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是所在棱的中點(diǎn)，AB1與平面B1D1EF所成的角的大小是(　　)A.30°    B．45°    C．60°    D．90°【解析】選B.以D1為坐標(biāo)原點(diǎn)，D1A1，D1C1，D1D為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，1)，B1(1，1，0)，D1(0，0，0)，E，設(shè)平面B1D1EF的法向量為n＝(x，y，z)，則，可取n＝，又＝(0，1，－1)，設(shè)AB1與平面B1D1EF所成的角為θ，則sin θ＝|cos 〈n，〉|＝，故AB1與平面B1D1EF所成的角為45°.6．如圖所示，ABCD-A1B1C1D1是棱長為6的正方體，E，F分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝BF.當(dāng)A1，E，F，C1四點(diǎn)共面時(shí)，平面A1DE與平面C1DF夾角的余弦值為(　　)A.    B．    C．    D．【解析】選B.以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，易知當(dāng)E(6，3，0)、F(3，6，0)時(shí)，A1，E，F，C1共面，設(shè)平面A1DE的法向量為n1＝(a，b，c)，依題意得可取n1＝(－1，2，1)，同理可得平面C1DF的一個(gè)法向量為n2＝(2，－1，1)，故平面A1DE與平面C1DF夾角的余弦值為＝.二、多項(xiàng)選擇題：本題共2小題，每小題5分，共10分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分．7．已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1).對于結(jié)論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正確的是(　　)A．①    B．②    C．③    D．④【解析】選ABC.·＝0，·＝0，所以AB⊥AP，AD⊥AP，則A，B正確．又與不平行，所以是平面ABCD的法向量，則C正確．由于＝－＝(2，3，4)，＝(－1，2，－1)，所以與不平行，故D錯(cuò)誤．8．如圖，已知在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F，H分別是AB，DD1，BC1的中點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是(　　)A.C1D1∥平面CHDB．AC1⊥平面BDA1C．三棱錐D-BA1C1的體積為D．直線EF與BC1所成的角為30°【解析】選ABD.由題意，C1D1∥CD，C1D1?平面CHD，CD?平面CHD，所以D1C1∥平面CHD，所以A正確；建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；由AB＝1，則＝(－1，1，1)，＝(－1，－1，0)，＝(1，0，1)；所以·＝1－1＋0＝0，·＝－1＋0＋1＝0，所以⊥，⊥DA1，所以⊥平面BDA1，所以B正確；三棱錐D-BA1C1的體積為V三棱錐D-BA1C1＝V正方體ABCD-A1B1C1D1－4V三棱錐A1-ABD＝1－4×××1×1×1＝，所以C錯(cuò)誤；E，F，所以＝，＝(－1，0，1)，所以cos 〈，〉＝＝＝，所以與所成的角是30°，所以D正確．三、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．請把正確的答案填在題中的橫線上．9．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E為PD中點(diǎn)，若＝a，＝b，＝c，則＝________．【解析】＝(＋)＝(－b＋＋)＝－b＋(－＋－)＝－b＋(a＋c－2b)＝a－b＋c.答案：a－b＋c10．已知空間向量a，b，|a|＝2，|b|＝，a·b＝－2，則〈a，b〉＝________．【解析】因?yàn)閏os 〈a，b〉＝＝－，〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.答案：11．如圖，已知二面角α-l-β的平面角為θ，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β內(nèi)，BC在l上，CD在平面α內(nèi)，若AB＝BC＝CD＝1，則AD的長為________．【解析】＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2cos (π－θ)＝3－2cos θ.所以||＝，即AD的長為.答案：12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AD＝CD＝PD＝2，AB＝1，E，F分別為棱PC，PB上一點(diǎn)，若BE與平面PCD所成角的正切值為2，則(AF＋EF)2的最小值為________．【解析】取CD的中點(diǎn)H，連接BH，EH.依題意可得，BH⊥CD.因?yàn)?/span>PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BH，從而BH⊥平面PCD，所以BE與平面PCD所成角為∠BEH，且tan ∠BEH＝＝＝2，則EH＝1，則E為PC的中點(diǎn)．在Rt△PAB中，cos ∠APB＝＝.因?yàn)?/span>PB＝3，PC＝2，BC＝，所以cos ∠BPC＝，所以∠BPC＝.將△PBC翻折至與平面PAB共面，如圖所示，則圖中cos ∠APC＝cos ＝＝，當(dāng)F為AE與PB的交點(diǎn)時(shí)，AF＋EF取得最小值，此時(shí)，(AF＋EF)2＝AE2＝(2)2＋()2－2×2××＝.答案：13．如圖，已知三棱錐A-BCD的所有棱長均相等，點(diǎn)E滿足＝3，點(diǎn)P在棱AB上運(yùn)動(dòng)，設(shè)EP與平面BCD所成的角為θ，則sin θ的最大值為____________．【解析】設(shè)棱長為4a，PB＝x(0＜x≤4a)，則PE＝.正四面體的高為a，設(shè)P到平面BCD的距離為h，則＝，所以h＝x，所以sin θ＝＝，所以x＝2a時(shí)，sin θ的最大值為.答案：14．已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).則|2a＋b|＝________；在直線AB上，存在一點(diǎn)E，使得⊥b，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為________．(第一空2分，第二空3分)【解析】2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，故|2a＋b|＝＝5.又＝＋＝＋t＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，由⊥b，則·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，因此，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為.答案：5　四、解答題：本大題共3小題，每小題10分，共30分．15．(10分)已知空間中三點(diǎn)A(2，0，－2)，B(1，－1，－2)，C(3，0，－4)，設(shè)a＝，b＝.(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；(2)已知向量ka＋b與b互相垂直，求k的值；(3)求△ABC的面積．【解析】因?yàn)榭臻g中三點(diǎn)A(2，0，－2)，B(1，－1，－2)，C(3，0，－4)，設(shè)a＝，b＝，(1)＝(3，0，－4)－(1，－1，－2)＝(2，1，－2)，因?yàn)閨c|＝3，且c∥，所以c＝m＝m(2，1，－2)＝(2m，m，－2m)，所以|c|＝＝3|m|＝3，所以m＝±1，所以c＝(2，1，－2)或c＝(－2，－1，2).(2)由題得a＝(－1，－1，0)，b＝(1，0，－2)，所以ka＋b＝k(－1，－1，0)＋(1，0，－2)＝(1－k，－k，－2)，因?yàn)橄蛄?/span>ka＋b與b互相垂直，所以(ka＋b)·b＝1－k＋4＝0，解得k＝5.所以k的值是5.(3)＝(－1，－1，0)，＝(1，0，－2)，＝(2，1，－2)，cos 〈，〉＝＝＝－，sin 〈，〉＝＝，所以S△ABC＝×||×||×sin 〈，〉＝×××＝.16．(10分)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中點(diǎn)，且AB＝BC＝BB1＝2.(1)求證：AB1∥平面BC1D；(2)求異面直線AB1與BC1所成的角．【解析】(1)如圖，連接B1C交BC1于點(diǎn)O，連接OD.因?yàn)?/span>O為B1C的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)，所以OD∥AB1.因?yàn)?/span>AB1?平面BC1D，OD?平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D.(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0，0，0)，A(0，2，0)，C1(2，0，2)，B1(0，0，2)，因此＝(0，－2，2)，＝(2，0，2).所以cos 〈，〉＝＝＝，設(shè)異面直線AB1與BC1所成的角為θ，則cos θ＝，由于θ∈，故θ＝.17．(10分)如圖所示，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE與平面ABCD所成角為60°.(1)求證：AC⊥平面BDE；(2)求二面角F-BE-D的余弦值；(3)設(shè)點(diǎn)M是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結(jié)論．【解析】(1)因?yàn)?/span>DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以DE⊥AC，又因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因?yàn)?/span>BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDE.(2)DA，DC，DE兩兩垂直，所以建立如圖空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?/span>BE與平面ABCD所成角為60°，即∠DBE＝60°，所以＝，由AD＝3，可知：DE＝3，所以AF＝.則A(3，0，0)，F(3，0，)，E(0，0，3)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，所以＝(0，－3，)，＝(3，0，－2)，設(shè)平面BEF的法向量為n＝(x，y，z)，則，即令z＝，則n＝.因?yàn)?/span>AC⊥平面BDE，所以為平面BDE的法向量，因?yàn)?/span>＝(3，－3，0)，所以cos 〈n，〉＝＝＝.因?yàn)槎娼菫殇J角，故二面角F-BE-D的余弦值為.(3)依題意，設(shè)M(t，t，0)(t>0)，則＝(t－3，t，0)，因?yàn)?/span>AM∥平面BEF，所以·n＝0，即4(t－3)＋2t＝0，解得t＝2，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，2，0)，此時(shí)＝，所以點(diǎn)M是線段BD靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)．

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