?專題22.11二次函數(shù)中的新定義問題專項訓練（30道）
【人教版】
考卷信息：
本套訓練卷共30題，選擇10題，填空10題，解答10題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學生對新定義函數(shù)的理解！

1．（2021?雅安）定義：min{a，b}=a(a≤b)b(a＞b)，若函數(shù)y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，則該函數(shù)的最大值為（　　）
A．0 B．2 C．3 D．4
【解題思路】根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，通過數(shù)形結(jié)合求解．
【解答過程】解：x+1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝﹣1或x＝2．

∴y=x+1(-1≤x≤2)-x2+2x+3(x＜-1或x＞2)，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴函數(shù)最大值為y＝3．
故選：C．
2．（2021?章丘區(qū)模擬）定義：對于二次函數(shù)y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在自變量x0，使得函數(shù)值等于x0成立，則稱x0為該函數(shù)的不動點，對于任意實數(shù)b，該函數(shù)恒有兩個相異的不動點，則實數(shù)a的取值范圍為（　?。?br /> A．0＜a＜2 B．0＜a≤2 C．﹣2＜a＜0 D．﹣2≤a＜0
【解題思路】設(shè)x為不動點，使y＝x，可得關(guān)系式ax2+bx+b﹣2＝0，由恒有兩個相異的不動點知Δ＞0，即得a的取值范圍．
【解答過程】由題意可知方程x＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），恒有兩個不相等的實數(shù)解，
則△＝b2﹣4a（b﹣2）＝b2﹣4ab+8a＞0，對任意實數(shù)b恒成立，
把b2﹣4ab+8a看作關(guān)于b的二次函數(shù)，
則有△1＝（4a）2﹣4×8a＝16a2﹣32a＝16a（a﹣2）＜0，令16a（a﹣2）＝0，
解得a＝0或a＝2，
①當a≥2時，16a＞0，a﹣2≥0，即16a（a﹣2）≥0，
②當a≤0時，16a≤0，a﹣2＜0，即16a（a﹣2）≥0，
③0＜a＜2時，16a＞0，a﹣2＜0，即16a（a﹣2）＜0，
即16a（a﹣2）＜0的解集，
解得0＜a＜2，
故選：A．
3．（2021?岳陽）定義：我們將頂點的橫坐標和縱坐標互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．如圖，在正方形OABC中，點A（0，2），點C（2，0），則互異二次函數(shù)y＝（x﹣m）2﹣m與正方形OABC有交點時m的最大值和最小值分別是（　?。?br />
A．4，﹣1 B．5-172，﹣1 C．4，0 D．5+172，﹣1
【解題思路】畫出圖象，從圖象可以看出，當函數(shù)從左上向右下運動時，當跟正方形有交點時，先經(jīng)過點A，再逐漸經(jīng)過點O，點B，點C，最后再經(jīng)過點B，且在運動的過程中，兩次經(jīng)過點A，兩次經(jīng)過點O，點B和點C，只需算出當函數(shù)經(jīng)過點A及點B時m的值，即可求出m的最大值及最小值．
【解答過程】解：如圖，由題意可得，互異二次函數(shù)y＝（x﹣m）2﹣m的頂點（m，﹣m）在直線y＝﹣x上運動，

在正方形OABC中，點A（0，2），點C（2，0），
∴B（2，2），
從圖象可以看出，當函數(shù)從左上向右下運動時，若拋物線與正方形有交點，先經(jīng)過點A，再逐漸經(jīng)過點O，點B，點C，最后再經(jīng)過點B，且在運動的過程中，兩次經(jīng)過點A，兩次經(jīng)過點O，點B和點C，
∴只需算出當函數(shù)經(jīng)過點A及點B時m的值，即可求出m的最大值及最小值．
當互異二次函數(shù)y＝（x﹣m）2﹣m經(jīng)過點A（0，2）時，m＝2，或m＝﹣1；
當互異二次函數(shù)y＝（x﹣m）2﹣m經(jīng)過點B（2，2）時，m=5-172或m=5+172．
∴互異二次函數(shù)y＝（x﹣m）2﹣m與正方形OABC有交點時m的最大值和最小值分別是5+172，﹣1．
故選：D．
4．（2020?寧鄉(xiāng)市一模）定義[a，b，c]為函數(shù)y＝ax2+bx+c的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[m﹣1，m+1，﹣2m]的函數(shù)的一些結(jié)論，其中不正確的是（　?。?br /> A．當m＝2時，函數(shù)圖象的頂點坐標為（-32，-254）
B．當m＞1時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長大于3
C．當m＜0時，函數(shù)在x＜12時，y隨x的增大而增大
D．不論m取何值，函數(shù)圖象經(jīng)過兩個定點
【解題思路】A、把m＝2代入[m﹣1，1+m，﹣2m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用頂點坐標公式解答即可；
B、首先求得對稱軸，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；
C、當x大于二分之一時，在對稱軸右側(cè)，又開口向下，所以y隨x增大而減小正確；
B、根據(jù)特征數(shù)的特點，直接得出x的值，進一步驗證即可解答．
【解答過程】解：因為函數(shù)y＝ax2+bx+c的特征數(shù)為[m﹣1，m+1，﹣2m]；
A、當m＝2時，y＝x2+3x﹣4＝（x+32）2-254，頂點坐標是（-32，-254）；此結(jié)論正確；
B、當m＞1時，令y＝0，有（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m＝0，
解得，x1＝1，x2=-2mm-1，
|x2﹣x1|=3m-1m-1＞3，所以當m＞1時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于3，此結(jié)論正確；
C、當m＜0時，y＝（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m是一個開口向下的拋物線，其對稱軸是：x=-m+12(m-1)，在對稱軸的左邊y隨x的增大而增大，
因為當m＜0時，-m+12(m-1)=-m-1+22(m-1)=-12-1m-1＞-12，即對稱軸在x=-12右邊，可能大于12，所以在x＞12時，y隨x的增大而減小，此結(jié)論錯誤；
D、因為y＝（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m＝0 即（x2+x﹣2）m﹣x2+x＝0，
當x2+x﹣2＝0時，x＝1或﹣2，
∴拋物線經(jīng)過定點（1，0）或（﹣2，﹣6），此結(jié)論正確，
故選：C．
5．（2020?市中區(qū)二模）對某一個函數(shù)給出如下定義：如果存在常數(shù)M，對于任意的函數(shù)值y，都滿足y≤M，那么稱這個函數(shù)是有上界函數(shù)；在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的上確界．例如，函數(shù)y＝﹣（x+1）2+2，y≤2，因此是有上界函數(shù)，其上確界是2，如果函數(shù)y＝﹣2x+1（m≤x≤n，m＜n）的上確界是n，且這個函數(shù)的最小值不超過2m，則m的取值范圍是（　?。?br /> A．m≤13 B．m＜13 C．13＜m≤12 D．m≤12
【解題思路】根據(jù)函數(shù)的上確界和函數(shù)增減性得到﹣2m+1＝n，函數(shù)的最小值為﹣2n+1，根據(jù)m＜n，函數(shù)的最小值不超過2m，列不等式求解集即可．
【解答過程】解：∵在y＝﹣2x+1中，y隨x的增大而減小，
∴上確界為﹣2m+1，即﹣2m+1＝n，
∵函數(shù)的最小值是﹣2n+1≤2m，
解得m≤12，
∵m＜n，
∴m＜﹣2m+1．
解得m＜13，綜上，m＜13
故選：B．
6．（2020秋?思明區(qū)校級期末）對于一個函數(shù)：當自變量x取a時，其函數(shù)值y也等于a，我們稱a為這個函數(shù)的不動點，若二次函數(shù)y＝x2+2x+c（c為常數(shù)）有兩個不相等且都小于1的不動點，則c的取值范圍是（　　）
A．c＜﹣3 B．c＞-14 C．﹣3＜c＜﹣2 D．﹣2＜c＜14
【解題思路】設(shè)a是二次函數(shù)y＝x2+2x+c的不動點，則a2+a+c＝0，根據(jù)二次函數(shù)y＝x2+2x+c（c為常數(shù)）有兩個不相等且都小于1的不動點，可知關(guān)于a的方程a2+a+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，且兩個實數(shù)根都小于1，設(shè)這兩個實數(shù)根為a1、a2，則Δ＞0，a1＜1，a2＜1，即有1﹣4c＞0，且（a1﹣1）+（a2﹣1）＜0，（a1﹣1）（a2﹣1）＞0，即可解得﹣2＜c＜14．
【解答過程】解：設(shè)a是二次函數(shù)y＝x2+2x+c的不動點，則a＝a2+2a+c，即a2+a+c＝0，
∵二次函數(shù)y＝x2+2x+c（c為常數(shù)）有兩個不相等且都小于1的不動點，
∴關(guān)于a的方程a2+a+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，且兩個實數(shù)根都小于1，
設(shè)這兩個實數(shù)根為a1、a2，則a1+a2＝﹣1，a1?a2＝c，
∴Δ＞0，a1＜1，a2＜1，
∴1﹣4c＞0①，且（a1﹣1）+（a2﹣1）＜0②，（a1﹣1）（a2﹣1）＞0③，
由①得c＜14，
∵a1+a2＝﹣1，
∴②總成立，
由③得：a1?a2﹣（a1+a2）+1＞0，即c﹣（﹣1）+1＞0，
∴c＞﹣2，
綜上所述，c的范圍是﹣2＜c＜14，
故選：D．
7．（2020秋?亳州月考）定義：在平面直角坐標系中，過一點P分別作坐標軸的垂線，這兩條垂線與坐標軸圍成一個矩形，若矩形的周長值與面積值相等，則點P叫作和諧點，所圍成的矩形叫作和諧矩形．已知點P是拋物線y＝x2+k上的和諧點，所圍成的和諧矩形的面積為16，則k的值可以是（　?。?br /> A．16 B．4 C．﹣12 D．﹣18
【解題思路】根據(jù)和諧點的定義與二次函數(shù)的性質(zhì)列出m，n的方程，求解m，n即可．
【解答過程】解：∵點P（m，n）是拋物線y＝x2+k上的點，
∴n＝m2+k，
∴k＝n﹣m2，
∴點P（m，n）是和諧點，對應(yīng)的和諧矩形的面積為16，
∴2|m|+2|n|＝|mn|＝16，
∴|m|＝4，|n|＝4，
當n≥0時，k＝n﹣m2＝4﹣16＝﹣12；
當n＜0時，k＝n﹣m2＝﹣4﹣16＝﹣20；
故選：C．
8．（2021?河南模擬）新定義：[a，b，c]為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c為實數(shù)）的“圖象數(shù)”，如：y＝x2﹣2x+3的“圖象數(shù)”為[1，﹣2，3]，若“圖象數(shù)”是[m，2m+4，2m+4]的二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，則m的值為（　?。?br /> A．﹣2 B．14 C．﹣2或2 D．2
【解題思路】根據(jù)新定義得到二次函數(shù)的解析式為y＝mx2+（2m+4）x+2m+4，然后根據(jù)判別式的意義得到△＝（2m+4）2﹣4m（2m+4）＝0，從而解m的方程即可．
【解答過程】解：二次函數(shù)的解析式為y＝mx2+（2m+4）x+2m+4，
根據(jù)題意得△＝（2m+4）2﹣4m（2m+4）＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝2，
故選：C．
9．（2021春?江岸區(qū)校級月考）定義：在平面直角坐標系中，若點A滿足橫、縱坐標都為整數(shù)，則把點A叫做“整點”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整點”．拋物線y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）與x軸交于點M，N兩點，若該拋物線在M、N之間的部分與線段MN所圍的區(qū)域（包括邊界）恰有5個整點，則a的取值范圍是（　?。?br /> A．﹣1≤a＜0 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣1≤a＜-12 D．﹣2≤a＜0
【解題思路】畫出圖象，找到該拋物線在M、N之間的部分與線段MN所圍的區(qū)域（包括邊界）恰有5個整點的邊界，利用與y交點位置可得m的取值范圍．
【解答過程】解：拋物線y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）化為頂點式為y＝a（x﹣1）2+2，故函數(shù)的對稱軸：x＝1，M和N兩點關(guān)于x＝1對稱，根據(jù)題意，拋物線在M、N之間的部分與線段MN所圍的區(qū)域（包括邊界）恰有5個整點，這些整點是（0，0），（1，0），（（1，1），（1，2），（2，0），
如圖所示：

∵當x＝0時，y＝a+2
∴0≤a+2＜1
當x＝﹣1時，y＝4a+2＜0
即：0≤a+2＜14a+2＜0，
解得﹣2≤a＜﹣1
故選：B．
10．（2021?深圳模擬）我們定義一種新函數(shù)：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．小麗同學畫出了“鵲橋”函數(shù)y＝|x2﹣2x﹣3|的圖象（如圖所示），并寫出下列五個結(jié)論：其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）
①圖象與坐標軸的交點為（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②圖象具有對稱性，對稱軸是直線x＝1；
③當﹣1≤x≤1或x≥3時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大；
④當x＝﹣1或x＝3時，函數(shù)的最小值是0；
⑤當x＝1時，函數(shù)的最大值是4，

A．4 B．3 C．2 D．1
【解題思路】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐標都滿足函數(shù)y＝|x2﹣2x﹣3|知①是正確的；從圖象可以看出圖象具有對稱性，對稱軸可用對稱軸公式求得是直線x＝1，②也是正確的；根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)當﹣1≤x≤1或x≥3時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，因此③也是正確的；函數(shù)圖象的最低點就是與x軸的兩個交點，根據(jù)y＝0，求出相應(yīng)的x的值為x＝﹣1或x＝3，因此④也是正確的；從圖象上看，當x＜﹣1或x＞3，函數(shù)值要大于當x＝1時的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤時不正確的；逐個判斷之后，可得出答案．
【解答過程】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐標都滿足函數(shù)y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正確的；
②從圖象可知圖象具有對稱性，對稱軸可用對稱軸公式求得是直線x＝1，因此②也是正確的；
③根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)當﹣1≤x≤1或x≥3時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，因此③也是正確的；
④函數(shù)圖象的最低點就是與x軸的兩個交點，根據(jù)y＝0，求出相應(yīng)的x的值為x＝﹣1或x＝3，因此④也是正確的；
⑤從圖象上看，當x＜﹣1或x＞3，存在函數(shù)值要大于當x＝1時的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正確的；
故選：A．


11．（2021?東安縣模擬）“愛心是人間真情所在”！現(xiàn)用“?”定義一種運算，對任意實數(shù)m、n和拋物線y＝ax2，當y＝ax2?（m，n）后都可得到y(tǒng)＝a（x﹣m）2+n．當y＝x2?（m，n）后得到了新函數(shù)的圖象（如圖所示），則nm＝　2?。?br />
【解題思路】此題是閱讀分析題，解題時首先要理解題意，再根據(jù)圖象回答即可．
【解答過程】解：根據(jù)題意得y＝x2?（m，n）是函數(shù)y＝（x﹣m）2+n；
由圖象得此函數(shù)的頂點坐標為（1，2），
所以此函數(shù)的解析式為y＝（x﹣1）2+2．
∴m＝1，n＝2．
∴nm＝21＝2．
故答案是：2．
12．（2021?天寧區(qū)校級模擬）若定義一種新運算：a?b=ab(a≥3b)2a-b-2(a＜3b)，例如：4?1＝4×1＝4；5?4＝10﹣4﹣2＝4．則函數(shù)y＝（﹣x+3）?（x+1）的最大值是　3?。?br /> 【解題思路】根據(jù)新運算的定義，對（﹣x+3）和3（x+1）的大小進行比較，列出不同的情況分類討論，得到不同的函數(shù)表達式求出最值即可．
【解答過程】解：由題可得，
①當﹣x+3≥3（x+1）時，
即：x≤0，
y＝（﹣x+3）（x+1）＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4．
由拋物線性質(zhì)可得，
當x≤1時，y隨x的增大而增大，
∴只有當x＝0時，y的最大值為y＝3；
②當﹣x+3＜3（x+1）時，
即：x＞0，
y＝2×（﹣x+3）﹣（x+1）﹣2
＝﹣3x+3．
∵﹣3＜0，
∴y隨x的增大而減小，當x＝0時，y＝﹣3×0+3＝3．
∵x＞0，
∴y＜3，
綜上①②得y≤3．
故函數(shù)y＝（﹣x+3）?（x+1）的最大值是3．
13．（2020春?江岸區(qū)校級月考）定義符號min{a，b}為：當a≥b時，min{a，b}＝b；當a＜b時，min{a，b}＝a．例如：min{1，3}＝1，min{﹣2，1}＝﹣2．若關(guān)于x的函數(shù)y＝min{﹣x2+4x，kx﹣2k+2}的最大值為3，則k＝　1或﹣1?。?br /> 【解題思路】畫出函數(shù)y＝﹣x2+4x和y＝kx﹣2k+2的圖象，當y＝3時，x＝1或3，得到（1，3）、（3，3），將兩個點坐標代入一次函數(shù)表達式即可求解．
【解答過程】解：畫出函數(shù)y＝﹣x2+4x和y＝kx﹣2k+2的圖象如下：

令y＝﹣x2+4x＝3，解得x＝1或3，
即過點（1，3）、（3，3），
∵函數(shù)y＝min{﹣x2+4x，kx﹣2k+2}的最大值為3，
將（1，3）代入y＝kx﹣2k+2得：3＝k﹣2k+2，解得k＝﹣1，
將（3，3）代入y＝kx﹣2k+2得：3＝3k﹣2k+2，解得k＝1，
故k＝﹣1或1，
故答案為﹣1或1．
14．（2021?武漢模擬）定義x軸上橫坐標為整數(shù)的點叫“整點”，例如（1，0）、（﹣3，0）都是“整點”．已知拋物線y＝2x2﹣3ax+a2與x軸交于A、B兩點，且拋物線對稱軸位于y軸左側(cè)，若線段AB上有2個“整點”（不包含A、B兩點），則a的取值或取值范圍是　a＝﹣6或﹣5≤a＜﹣4或﹣4＜a＜﹣3　．
【解題思路】由拋物線解析式求得xA＝a，xB=12a．根據(jù)“整點”的定義可以得到：n-1≤a＜n?(1)n+1＜12a≤n+2?(2)，解不等式組即可．
【解答過程】解：∵拋物線對稱軸位于y軸左側(cè)，
∴a＜0，假設(shè)A在B左側(cè)，可求得xA＝a，xB=12a．
設(shè)線段AB之間的2個“整點”為n、n+1，則n-1≤a＜n?(1)n+1＜12a≤n+2?(2)，
將（2）化簡得2（n+1）＜a≤2（n+2）……（3），對照（1）、（3）得n﹣1≤2（n+2）且2（n+1）＜n，
∴﹣5≤n＜﹣2，
∴n＝﹣5或﹣4或﹣3，
①當n＝﹣5時，a＝﹣6；
②當n＝﹣4時，﹣5≤a＜﹣4；
③當n＝﹣3時，﹣4＜a＜﹣3．
綜上所述，a的取值或取值范圍是a＝﹣6或﹣5≤a＜﹣4或﹣4＜a＜﹣3．
故答案是：a＝﹣6或﹣5≤a＜﹣4或﹣4＜a＜﹣3．
15．（2021秋?康巴什期中）如下圖，正方形ABCD的邊AB在x軸上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定義：若某個拋物線上存在一點P，使得點P到正方形ABCD四個頂點的距離相等，則稱這個拋物線為正方形ABCD的“友好拋物線”．若拋物線y＝2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好拋物線”，則n的值為　﹣3或6?。?br />
【解題思路】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出另外兩個頂點C、D的坐標，繼而得出對角線的交點P的坐標，代入解析式求解可得．
【解答過程】解：∵點A（﹣4，0）、B（﹣2，0），
∴點C（﹣4，﹣2）、D（﹣2，﹣2），
則對角線AC、BD交點P的坐標為（﹣3，﹣1），
根據(jù)題意，將點P（﹣3，﹣1）代入解析式y(tǒng)＝2x2﹣nx﹣n2﹣1，
得：18+3n﹣n2﹣1＝﹣1，
整理，得：n2﹣3n﹣18＝0，
解得：n＝﹣3或n＝6，
故答案為：﹣3或6．
16．（2021?邗江區(qū)二模）定義：在平面直角坐標系中，O為坐標原點，設(shè)點P的坐標為（x，y），當x＜0時，點P的變換點P'的坐標為（﹣x，y）；當x≥0時，點P的變換點P'的坐標為（﹣y，x）．
拋物線y＝（x﹣2）2+n與x軸交于點C，D（點C在點D的左側(cè)），頂點為E，點P在該拋物線上．若點P的變換點P'在拋物線的對稱軸上，且四邊形ECP'D是菱形，則滿足該條件所有n值的和為　﹣13　．
【解題思路】利用菱形的性質(zhì)，可知E，P′關(guān)于x軸對稱，分兩種情形分別構(gòu)建方程即可解決問題．
【解答過程】解：∵四邊形ECP'D是菱形，
∴點E與點P'關(guān)于x軸對稱．
∵點E的坐標為（2，n），
∴點P'的坐標為（2，﹣n）．
當點P在y軸左側(cè)時，點P的坐標為（﹣2，﹣n）．
代入y＝（x﹣2）2+n，得﹣n＝（﹣2﹣2）2+n．
n＝﹣8．
當點P在y軸右側(cè)時，點P的坐標為（﹣n，﹣2）．
代入y＝（x﹣2）2+n，得﹣2＝（﹣n﹣2）2+n．n1＝﹣2，n2＝﹣3．
綜上所述，n的值是n＝﹣8，n＝﹣2，n＝﹣3．
﹣8﹣2﹣3＝﹣13
故答案為：﹣13．

17．（2021?吳興區(qū)校級三模）定義：如果二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點（﹣1，0），那么稱此二次函數(shù)圖象為“線性曲線”．例如：二次函數(shù)y＝2x2﹣5x﹣7和y＝﹣x2+3x+4的圖象都是“線性曲線”．若“線性曲線”y＝x2﹣mx+1﹣2k與坐標軸只有兩個公共點，則k的值　0或12?。?br /> 【解題思路】拋物線與y軸一定有一個公共點，根據(jù)新定義得到拋物線y＝x2﹣mx+1﹣2k經(jīng)過點（﹣1，0），則分類討論：若拋物線過原點，則1﹣2k＝0，可解得k=12；若點（﹣1，0）為頂點時，利用拋物線對稱軸方程易得m＝﹣2，再根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征得到1+m+1﹣2k＝0，然后把m＝﹣2代入可計算出對應(yīng)k的值．
【解答過程】解：因為拋物線y＝x2﹣mx+1﹣2k經(jīng)過點（﹣1，0），
所以當拋物線過原點時，拋物線y＝x2﹣mx+1﹣2k與坐標軸只有兩個公共點，此時1﹣2k＝0，解得k=12；
當點（﹣1，0）為頂點時，拋物線y＝x2﹣mx+1﹣2k與坐標軸只有兩個公共點，則--m2=-1，解得m＝﹣2，
把（﹣1，0）代入y＝x2﹣mx+1﹣2k得1+m+1﹣2k＝0，
所以2﹣2﹣2k＝0，解得k＝0，
綜上所述，k的值為0或12．
故答案為0或12．
18．（2021?慶云縣二模）在直角坐標系xOy中，對于點P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：若y′=y(x≥0)-y(x＜0)，則稱點Q為點P的“可控變點”．請問：若點P在函數(shù)y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的圖象上，其“可控變點”Q的縱坐標y′的取值范圍是﹣16≤y′≤16，則實數(shù)a的值是　42?。?br /> 【解題思路】根據(jù)新定義，分析函數(shù)y＝﹣x2+16在新定義下點P的“可控變點”橫坐標與縱坐標的對應(yīng)關(guān)系，在分析a的取值范圍．
【解答過程】解：由定義可知：
①當0≤x≤a時，y′＝﹣x2+16，此時，拋物線y′的開口向下，故當0≤x≤a時，y′隨x的增大而減?。ㄈ鐖D）
即：﹣a2+16≤y′≤16，
②當﹣5≤x＜0時，y′＝x2﹣16，拋物線y′的開口向上，故當﹣5≤x＜0時，y′隨x的增大而減?。ㄈ鐖D），
即：﹣16＜y′≤9，
∵點P在函數(shù)y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的圖象上，其“可控變點”Q的縱坐標y′的取值范圍是﹣16≤y′≤16，
∴﹣a2+16≥﹣16
∴a2≤32，
∴﹣42≤a≤42，
又∵﹣5≤x≤a，
∴a＝42，

在函數(shù)y＝﹣x2+16圖象上的點P，當a＝42時，其“可控變點”Q的縱坐標y′的取值范圍是﹣16≤y′≤16，
故答案為42
19．（2021秋?武漢月考）在平面直角坐標系中，將拋物線C1：y＝x2繞點（1，0）旋轉(zhuǎn)180°后，得到拋物線C2，定義拋物線C1和C2上位于﹣2≤x≤2范圍內(nèi)的部分為圖象C3．若一次函數(shù)y＝kx+k﹣1（k＞0）的圖象與圖象C3有兩個交點，則k的范圍是：　﹣2+22＜k≤53或13≤k＜﹣42+6或k≥15　．
【解題思路】如圖，由題意圖象C2的解析式為y＝﹣（x﹣2）2，圖象C3是圖中兩根紅線之間的C1、C2上的部分圖象，分五種情形討論即可．
【解答過程】解：如圖，由題意圖象C2的解析式為y＝﹣（x﹣2）2，圖象C3是圖中兩根紅線之間的C1、C2上的部分圖象．

由﹣2≤x≤2，則A（2，4），B（﹣2，﹣16），D（2，0）．
因為一次函數(shù)y＝kx+k﹣1（k＞0）的圖象與圖象C3有兩個交點
①當直線經(jīng)過點A時，滿足條件，4＝2k+k﹣1，解得k=53，
②當直線與拋物線C1切時，由y=x2y=kx+k-1消去y得到x2﹣kx﹣k+1＝0，∵Δ＝0，
∴k2+4k﹣4＝0，解得k=-2+22或﹣2﹣22（舍棄），
觀察圖象可知當﹣2+22＜k≤53時，直線與圖象C3有兩個交點．
③當直線與拋物線C2相切時，由y=-(x-2)2y=kx+k-1，消去y，得到x2﹣（4﹣k）x+3+k＝0，∵Δ＝0，
∴（4﹣k）2﹣4（3+k）＝0，解得k＝6﹣42或6+42（舍棄），
④當直線經(jīng)過點D（2，0）時，0＝2k+k﹣1，解得k=13，
觀察圖象可知，13≤k＜﹣42+6時，直線與圖象C3有兩個交點．
⑤當直線經(jīng)過點B（﹣2，﹣16）時，﹣16＝﹣2k+k﹣1，解得k＝15，
觀察圖象可知，k≥15時，直線與圖象C3有兩個交點．
綜上所述，當﹣2+22＜k≤53或13≤k＜﹣42+6或k≥15時，直線與圖象C3有兩個交點．
故答案為﹣2+22＜k≤53或13≤k＜﹣42+6或k≥15
20．（2021?九江二模）定義：若拋物線的頂點與x軸的兩個交點構(gòu)成的三角形是直角三角形，則這種拋物線被稱為：“直角拋物線”．如圖，直線l：y=15x+b經(jīng)過點M（0，14），一組拋物線的頂點B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn）?。╪為正整數(shù)），依次是直線l上的點，第一個拋物線與x軸正半軸的交點A1（x1，0）和A2（x2，0），第二個拋物線與x軸交點A2（x2，0）和A3（x3，0），以此類推，若x1＝d（0＜d＜1），當d為　1120或1320或320　時，這組拋物線中存在直角拋物線．

【解題思路】由拋物線的對稱性可知，所構(gòu)成的直角三角形必是以拋物線頂點為直角頂點的等腰三角形，所以此等腰三角形斜邊上的高等于斜邊的一半．又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜邊的長小于2，所以等腰直角三角形斜邊的高一定小于1，即拋物線的頂點縱坐標必定小于1．
【解答過程】解：直線l：y=15x+b經(jīng)過點M（0，14），則b=14；
∴直線l：y=15x+14．
由拋物線的對稱性知：拋物線的頂點與x軸的兩個交點構(gòu)成的直角三角形必為等腰直角三角形；
∴該等腰三角形的高等于斜邊的一半．
∵0＜d＜1，
∴該等腰直角三角形的斜邊長小于2，斜邊上的高小于1（即拋物線的頂點縱坐標小于1）；
當x＝1時，y1=15×1+14=920＜1，
當x＝2時，y2=15×2+14=1320＜1，
當x＝3時，y3=15×3+14=1720＜1，
當x＝4時，y4=15×4+14＞1，
∴直角拋物線的頂點只有B1、B2、B3．
①若B1為頂點，由B1(1，920)，則d=1-920=1120；
②若B2為頂點，由B2(2，1320)，則d=1-[(2-1320)-1]=1320；
③若B3為頂點，由B3(3，1720)，則d=1-{1-[(3-1720)-2]}=320；
綜上所述，d的值為1120或1320或320時．這組拋物線中存在直角拋物線．
故答案為：1120、1320、320．

21．（2020秋?海淀區(qū)校級期末）已知函數(shù)y1＝2kx+k與函數(shù)y2＝x2﹣2x+3，定義新函數(shù)y＝y(tǒng)2﹣y1．
（1）若k＝2，則新函數(shù)y＝　x2﹣6x+1??；
（2）若新函數(shù)y的解析式為y＝x2+bx﹣2，則k＝　5　，b＝　﹣12??；
（3）設(shè)新函數(shù)y頂點為（m，n）．
①當k為何值時，n有大值，并求出最大值；
②求n與m的函數(shù)解析式．
【解題思路】（1）將k＝2代入函數(shù)y1＝2kx+k中得出函數(shù)y1＝4x+2，即可得出結(jié)論；
（2）新函數(shù)y的解析式為y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k，即可得出結(jié)論；
（3）①先得出新函數(shù)y＝（x﹣k﹣1）2﹣k2﹣3k+2，進而得出m=k+1n=-k2-3k+2，即可得出結(jié)論；
②在m=k+1n=-k2-3k+2中消去k即可得出結(jié)論．
【解答過程】解：（1）當k＝2時，y1＝2kx+k＝4x+2，
∵函數(shù)y2=x2-2x+3，定義新函數(shù)y＝y(tǒng)2﹣y1，
∴y＝x2﹣2x+3﹣4x﹣2＝x2﹣6x+1，
故答案為：x2﹣6x+1；
（2）函數(shù)y1＝2kx+k與函數(shù)y2=x2-2x+3，定義新函數(shù)y＝y(tǒng)2﹣y1，
∴新函數(shù)y的解析式為y＝x2﹣2x+3﹣2kx﹣k＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k，
∵新函數(shù)y的解析式為y＝x2+bx﹣2，
∴b＝﹣2（k+1），3﹣k＝﹣2，
∴k＝5，b＝﹣12，
故答案為：5，﹣12；
（3）①由（2）知，新函數(shù)y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k＝（x﹣k﹣1）2﹣k2﹣3k+2，
∵新函數(shù)y頂點為（m，n），
∴m=k+1n=-k2-3k+2，
∴n=-k2-3k+2=-(k+32)2+174，
當k=-32時，n最大值=174；
②由①知，m=k+1n=-k2-3k+2，
將k＝m﹣1代入n＝﹣k2﹣3k+2得：
∴n＝﹣m2﹣m+4．
22．（2021?雨花區(qū)一模）定義：對于給定函數(shù)y＝ax2+bx+c（其中a，b，c為常數(shù)，且a≠0），則稱函數(shù)y=ax2+bx+c，(x≥0)ax2-bx-c，(x＜0)為函數(shù)y＝ax2+bx+c（其中a，b，c為常數(shù)，且a≠0）的“相依函數(shù)”，此“相依函數(shù)”的圖象記為G．
（1）已知函數(shù)y＝﹣x2+2x﹣1．
①寫出這個函數(shù)的“相依函數(shù)”　y=-x2+2x-1，(x≥0)-x2-2x+1，(x＜0)??；
②當﹣1≤x≤1時，此相依函數(shù)的最大值為　2??；
（2）若直線y＝m與函數(shù)y＝﹣x2+2x﹣1的相依函數(shù)的圖象G恰好有兩個公共點，求出m的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)y=-12x2+nx+1（n＞0）的相依函數(shù)的圖象G在﹣4≤x≤2上的最高點的縱坐標為y0，當32≤y0≤9時，求出n的取值范圍．
【解題思路】（1）①根據(jù)“相依函數(shù)”直接可以得到結(jié)果；
②當﹣1≤x＜0時，求出y＝﹣x2﹣2x+1的最大值為2，當0≤x≤1時，求出y＝﹣x2+2x﹣1的最大值為0，即可得函數(shù)y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函數(shù)”最大值是2；
（2）畫出圖象，數(shù)形結(jié)合即可得到答案；
（3）分（1）當n≥4時，（2）當2＜n＜4時，（3）當0＜n≤2時，三種情況，分別比較兩個函數(shù)在﹣4≤x≤2上函數(shù)值的大小，根據(jù)32≤y0≤9列不等式，即可得到答案．
【解答過程】解：（1）①∵函數(shù)y＝ax2+bx+c（其中a，b，c為常數(shù)，且a≠0），則稱函數(shù)y=ax2+bx+c，(x≥0)ax2-bx-c，(x＜0)為函數(shù)y＝ax2+bx+c的“相依函數(shù)”，
∴y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函數(shù)”是y=-x2+2x-1，(x≥0)-x2-2x+1，(x＜0)；
故答案為：y=-x2+2x-1，(x≥0)-x2-2x+1，(x＜0)；
②當﹣1≤x＜0時，y＝﹣x2﹣2x+1＝﹣（x+1）2+2，故當x＝﹣1時，y有最大值為2，
當0≤x≤1時，y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，故x＝1時，y有最大值為0，
綜上所述，當﹣1≤x≤1時，函數(shù)y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函數(shù)”最大值是2，
故答案為：2；
（2）函數(shù)y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函數(shù)”的圖象如圖：

由y＝﹣x2﹣2x+1可得頂點B（﹣1，2），與y軸交點C（0，1）（函數(shù)y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函數(shù)”圖象不包含C），
由y＝﹣x2+2x﹣1可得頂點D（1，0），與y軸交點A（0，﹣1），
當直線y＝m與圖象G恰好有兩個公共點，由圖象知：m＜﹣1或m＝0或1≤m＜2；
（3）由題意知，函數(shù)y=-12x2+nx+1（n＞0）的“相依函數(shù)”為y=-12x2+nx+1=-12(x-n)2+12n2+1，(x≥0)-12x2-nx-1=-12(x+n)2+12n2-1，(x＜0)，且12n2+1＞12n2﹣1，
（1）當n≥4時，y=-12（x+n）2+12n2﹣1圖象的對稱軸在直線x＝﹣4左側(cè)，y=-12（x﹣n）2+12n2+1圖象的對稱軸在x＝4右側(cè)，
當x＝2時，y＝﹣2+2n+1＝2n﹣1，
當x＝﹣4時，y＝﹣8+4n﹣1＝4n﹣9，
∵n≥4，
∴2n﹣1≤4n﹣9，
又32≤y0≤9，
∴32≤4n﹣9≤9，
∴218≤n≤92，
∴4≤n≤92，
（2）當2＜n＜4時，
當x＝2時，y＝﹣2+2n+1＝2n﹣1，
∵2＜n＜4，
∴2n﹣1＞12n2﹣1，
此時由32≤y0≤9，可得32≤2n﹣1≤9，有54≤n≤5，
∴2＜n＜4，
（3）當0＜n≤2時，
而12n2+1＞12n2﹣1，
∴32≤12n2+1≤9，
∴1≤n≤4，
∴1≤n≤2，
綜上所述，n的取值范圍是1≤n≤92．
23．（2021春?東湖區(qū)校級月考）在直角坐標系xOy中，定義點C（a，b）為拋物線y＝ax2+bx（a≠0）的特征點坐標．
（1）已知拋物線L經(jīng)過點A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0），則它的特征點坐標是?。?2，2）??；
（2）若拋物線L1：y＝ax2+bx的位置如圖所示：
①拋物線L1：y＝ax2+bx關(guān)于原點O對稱的拋物線L2的解析式為　y＝﹣ax2+bx??；
②若拋物線L1的特征點C在拋物線L2的對稱軸上，試求a、b之間的關(guān)系式；
③在②的條件下，已知拋物線L1、L2與x軸有兩個不同的交點M、N，當點C、M、N為頂點構(gòu)成的三角形是等腰三角形時，求a的值．

【解題思路】（1）結(jié)合點A、B點的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線L的函數(shù)解析式，再結(jié)合特征點的定義，即可得出結(jié)論；
（2）①由拋物線L1：y＝ax2+bx與拋物線L2關(guān)于原點O對稱，可將y換成﹣y，將x換成﹣x，整理后即可得出結(jié)論；
②根據(jù)拋物線L2的解析式可找出它的對稱軸為：x=b2a，由拋物線L1的特征點C在拋物線L2的對稱軸上可得出a=b2a，變形后即可得出結(jié)論；
③結(jié)合②的結(jié)論，表示出點C、M、N三點的坐標，由兩點間的距離公式可得出MN、MC、NC的長度，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)分三種情況考慮，分別根據(jù)線段相等得出關(guān)于a的一元四次方程，解方程再結(jié)合a的范圍即可得出a的值．
【解答過程】解：（1）將點A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0）代入到拋物線解析式中，得-2=4a-2b0=16a-4b，解得：a=12b=2．
∴拋物線L的解析式為y=12x2+2x，
∴它的特征點為（12，2）．
故答案為：（12，2）；
（2）①∵拋物線L1：y＝ax2+bx與拋物線L2關(guān)于原點O對稱，
∴拋物線L2的解析式為﹣y＝a（﹣x）2+b（﹣x），即y＝﹣ax2+bx．
故答案為：y＝﹣ax2+bx．
②∵拋物線L2的對稱軸為直線：x=-b2(-a)=b2a．
∴當拋物線L1的特征點C（a，b）在拋物線L2的對稱軸上時，有a=b2a，
∴a與b的關(guān)系式為b＝2a2．
③∵拋物線L1、L2與x軸有兩個不同的交點M、N，
∴在拋物線L1：y＝ax2+bx中，令y＝0，即ax2+bx＝0，
解得：x1=-ba，x2＝0（舍去），
即點M（-ba，0）；
在拋物線L2：y＝﹣ax2+bx中，令y＝0，即﹣ax2+bx＝0，
解得：x1=ba，x2＝0（舍去），
即點N（ba，0）．
∵b＝2a2，
∴點M（﹣2a，0），點N（2a，0），點C（a，2a2）．
∴MN＝2a﹣（﹣2a）＝4a，MC=(a+2a)2+4a4，NC=(a-2a)2+4a4．
因此以點C、M、N為頂點的三角形是等腰三角形時，有以下三種可能：
（i）MC＝MN，此時有：(a+2a)2+4a2=4a，即9a2+4a4＝16a2，
解得：a＝0，或a＝±72，
∵a＜0，
∴a=-72；
（ii）NC＝MN，此時有：NC=(a-2a)2+4a4=4a，即a2+4a4＝16a2，
解得：a＝0，或a＝±152，
∵a＜0，
∴a=-152；
（iii）MC＝NC，此時有：(a+2a)2+4a2=(a-2a)2+4a4，即9a2＝a2，
解得：a＝0，
又∵a＜0，
∴此情況不存在．
綜上所述：當以點C、M、N為頂點的三角形是等腰三角形時，a的值為-72或-152．
24．（2021?蘇州二模）定義：如果二次函數(shù)y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則這兩個函數(shù)互為“N”函數(shù)．
（1）寫出y＝﹣x2+x﹣1的“N”函數(shù)的表達式；
（2）若題（1）中的兩個“N”函數(shù)與正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象只有兩個交點，求k的值；
（3）如圖，二次函數(shù)y1與y2互為“N”函數(shù)，A、B分別是“N”函數(shù)y1與y2圖象的頂點，C是“N”函數(shù)y2與y軸正半軸的交點，連接AB、AC、BC，若點A（﹣2，1）且△ABC為直角三角形，求點C的坐標．
【解題思路】（1）利用“N”函數(shù)的定義，求出a，b，c的值，即可求出表達式；
（2）將y＝kx與二次函數(shù)聯(lián)立，得出關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)交點個數(shù)確定△的取值即可求出k的值；
（3）先由“N”函數(shù)的中心對稱性確定點B的坐標，根據(jù)直角位置分情況討論，然后利用勾股定理求出C的坐標．
【解答過程】解：（1）設(shè)y＝﹣x2+x﹣1“N”函數(shù)的表達式為y＝ax2+bx+c．
則a﹣1＝0，b＝1，c﹣1＝0．
∴a＝1，b＝1，c＝1．
∴y＝x2+x+1．
（2）根據(jù)題意得：
y=-x2+x-1y=kx，即x2+（k﹣1）x+1＝0．
判別式△1=(k-1)2-4．
y=x2+x+1y=kx，即x2+（1﹣k）x+1＝0．
判別式△2=(1-k)2-4．
∴△1＝△2．
設(shè)△＝△1＝△2．
若Δ＞0，則“N”函數(shù)與y＝kx有四個交點；
若Δ＝0，則“N”函數(shù)與y＝kx有兩個交點；
若Δ＜0，則“N”函數(shù)與y＝kx有沒有交點；
∴Δ＝0，即（k﹣1）2﹣4＝0，解得k1＝﹣1；k2＝3．
故k＝﹣1或3．
（3）由題意得“N“函數(shù)關(guān)于原點成中心對稱；
∴點B的坐標為（2，﹣1）．
∵△ABC是直角三角形，下面分情況討論：
若∠ACB＝90°，
則AC2+BC2＝AB2，
即（c﹣1）2+22+（c+1）2+22＝42+22，
解得c=±5．
∵c＞0，
∴c=5．
∴C的坐標為（0，5）．
若∠CAB＝90°，
則AC2+AB2＝BC2．
即（c﹣1）2+22+20＝（c+1）2+22，
解得：c＝5．
∴C的坐標為（0，5）．
若∠ABC＝90°，
則C在y的負半軸，故舍去．
∴C（0，5）或C（0，5）．

25．（2021?長沙模擬）定義：若函數(shù)y＝x2+bx+c（c≠0）與x軸的交點A，B的橫坐標為xA，xB，與y軸的交點C的縱坐標為yC，若xA，xB中至少存在一個值，滿足xA＝y(tǒng)C（或xB＝y(tǒng)C），則稱該函數(shù)為“M函數(shù)”．如圖，函數(shù)y＝x2+2x﹣3與x軸的一個交點A的橫坐標為﹣3，與y軸交點C的縱坐標為﹣3，滿足xA＝y(tǒng)C，則稱y＝x2+2x﹣3為“M函數(shù)”．
（1）判斷y＝x2﹣4x+3是否為“M函數(shù)”，并說明理由；
（2）請?zhí)骄俊癕函數(shù)”y＝x2+bx+c（c≠0）表達式中的b與c之間的關(guān)系；
（3）若y＝x2+bx+c是“M函數(shù)”，且∠ACB為銳角，求c的取值范圍．

【解題思路】（1）求出函數(shù)y＝x2﹣4x+3與坐標軸的交點，可直接根據(jù)“M函數(shù)”的定義進行判斷；
（2）當x＝0時，y＝c，即與y軸交點的縱坐標為c，將（c，0）代入y＝x2+bx+c，即可求出b與c之間的關(guān)系；
（3）分情況討論：①當C在y軸負半軸上時，畫出草圖，求出函數(shù)與x軸的一個交點為（1，0），則∠ACO＝45°，所以只需滿足∠BCO＜45°，即可判斷c的取值范圍；②當C在y軸正半軸上，且A與B不重合時，畫出草圖，顯然都滿足∠ACB為銳角，即可寫出c的取值范圍；③當C與原點重合時，不符合題意．
【解答過程】解：（1）y＝x2﹣4x+3是“M函數(shù)”，理由如下：
當x＝0時，y＝3；當y＝0時，x＝1或3，
∴y＝x2﹣4x+3與x軸一個交點的橫坐標和與y軸交點的縱坐標都是3，
∴y＝x2﹣4x+3是“M函數(shù)”；

（2）當x＝0時，y＝c，即與y軸交點的縱坐標為c，
∵y＝x2+bx+c是“M函數(shù)”，
∴x＝c時，y＝0，即（c，0）在y＝x2+bx+c上，
代入得：0＝c2+bc+c，
∴0＝c（c+b+1），
而c≠0，
∴b+c＝﹣1；

（3）①如圖1，當C在y軸負半軸上時，

由（2）可得：c＝﹣b﹣1，即y＝x2+bx﹣b﹣1，
顯然當x＝1時，y＝0，
即與x軸的一個交點為（1，0），
則∠ACO＝45°，
∴只需滿足∠BCO＜45°，即BO＜CO，
∴c＜﹣1；
②如圖2，當C在y軸正半軸上，且A與B不重合時，

∴顯然都滿足∠ACB為銳角，
∴c＞0，且c≠1；
③當C與原點重合時，不符合題意，
綜上所述，c＜﹣1或c＞0，且c≠1．
26．（2020秋?任城區(qū)期末）閱讀以下材料，并解決相應(yīng)問題：
小明在課外學習時遇到這樣一個問題：
定義：如果二次函數(shù)y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則這兩個函數(shù)為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．求函數(shù)y＝2x2﹣3x+1的旋轉(zhuǎn)函數(shù)．小明是這樣思考的，由函數(shù)y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根據(jù)a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能確定這個函數(shù)的旋轉(zhuǎn)函數(shù)．
請思考小明的方法解決下面問題：
（1）寫出函數(shù)y＝x2﹣4x+3的旋轉(zhuǎn)函數(shù)；
（2）若函數(shù)y＝5x2+（m﹣1）x+n與y＝﹣5x2﹣nx﹣3互為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，求（m+n）2021的值．
（3）已知函數(shù)y＝2（x﹣1）（x+3）的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點A，B，C關(guān)于原點的對稱點分別是A1，B1，C1，試求證：經(jīng)過點A1，B1，C1的二次函數(shù)與y＝2（x﹣1）（x+3）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
【解題思路】（1）由二次函數(shù)的解析式可得出a1，b1，c1的值，結(jié)合“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義可求出a2，b2，c2的值，此問得解；
（2）由函數(shù)y＝5x2+（m+1）x+n與y＝﹣5x2﹣nx﹣3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可求出m，n的值，將其代入（m+n）2021即可求出結(jié)論；
（3）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點A，B，C的坐標，結(jié)合對稱的性質(zhì)可求出點A1，B1，C1的坐標，由點A1，B1，C1的坐標，利用交點式可求出過點A1，B1，C1的二次函數(shù)解析式，由兩函數(shù)的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可證出經(jīng)過點A1，B1，C1的二次函數(shù)與函數(shù)y＝2（x﹣1）（x+3）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
【解答過程】（1）解：由函數(shù)y＝x2﹣4x+3知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴y＝﹣x2﹣4x﹣3；

（2）解：根據(jù)題意得：m-1=-nn-3=0，解得m=-2n=3，
∴（m+n）2021＝（3﹣2）2021＝1；

（3）證明：化簡y＝2（x﹣1）（x+3）得y＝2x2+4x﹣6，
則A、B、C三點的坐標分別為A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣6），
∴A、B、C三點關(guān)于原點對稱的點坐標分別為A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6），
∴經(jīng)過A1、B1、C1三點的函數(shù)解析式為y＝﹣2x2+4x+6，
∴y＝﹣2x2+4x+6與原函數(shù)y＝2（x﹣1）（x+3）是旋轉(zhuǎn)函數(shù)．
27．（2021?北侖區(qū)一模）定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．如圖，拋物線C1與拋物線C2組成一個開口向上的“月牙線”，拋物線C1與拋物線C2與x軸有相同的交點M，N（點M在點N的左側(cè)），與y軸的交點分別為A，B且點A的坐標為（0，﹣3），拋物線C2的解析式為y＝mx2+4mx﹣12m，（m＞0）．
（1）請你根據(jù)“月牙線”的定義，設(shè)計一個開口向下的“月牙線”，直接寫出兩條拋物線的解析式；
（2）求M，N兩點的坐標；
（3）在第三象限內(nèi)的拋物線C1上是否存在一點P，使得△PAM的面積最大？若存在，求出△PAM的面積的最大值；若不存在，說明理由．

【解題思路】（1）根據(jù)定義，只要兩個拋物線與x軸有著相同的交點，且a的值為負即可；
（2）在解析式y(tǒng)＝mx2+4mx﹣12m中，令y＝0即可求出M，N的橫坐標，可進一步寫出其坐標；
（3）先求出拋物線C1的解析式，再用含t的代數(shù)式表示出點P的坐標，進一步用含t的代數(shù)式表示出△PAM的面積，即可根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求出其最大值．
【解答過程】解：（1）如圖1，拋物線y＝﹣x2+2x+3與拋物線y=-13x2+23x+1所圍成的封閉曲線即為開口向下的“月牙線”；

（2）在拋物線C2的解析式y(tǒng)＝mx2+4mx﹣12m中，
當y＝0時，mx2+4mx﹣12m＝0，
∵m≠0，
∴x2+4x﹣12＝0，
解得，x1＝﹣6，x2＝2，
∵點M在點N的左邊，
∴M（﹣6，0），N（2，0）；

（3）存在，理由如下：
如圖2，連接AM，PO，PM，PA，
∵拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同，
∴可設(shè)拋物線C1的解析式y(tǒng)＝nx2+4nx﹣12n（n＞0），
∵拋物線C1與y軸的交點為A（0，﹣3），
∴﹣12n＝﹣3，
∴n=14，
∴拋物線C1的解析式為y=14x2+x﹣3，
∴可設(shè)點P的坐標為（t，14t2+t﹣3），
∴S△PAM＝S△PMO+S△PAO﹣S△AOM
=12×6×（-14t2﹣t+3）+12×3×（﹣t）-12×6×3
=-34t2-92t，
=-34（t+3）2+274，
∵-34＜0，﹣6＜t＜0，
∴根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)知，當t＝﹣3時，即點P的坐標為（﹣3，-154）時，△PAM的面積有最大值，最大值為274．


28．（2021?開福區(qū)模擬）定義：對于給定的兩個函數(shù)，任取自變量x的一個值，當x＜0時，它們對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)；當x≥0時，它們對應(yīng)的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個函數(shù)互為相關(guān)函數(shù)．例如：一次函數(shù)y＝x﹣1，它們的相關(guān)函數(shù)為y=-x+1(x＜0)x-1(x≥0)．
（1）已知點A（﹣5，8）在一次函數(shù)y＝ax﹣3的相關(guān)函數(shù)的圖象上，求a的值；
（2）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+4x-12．
①當點B（m，32）在這個函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象上時，求m的值；
②當﹣3≤x≤3時，求函數(shù)y＝﹣x2+4x-12的相關(guān)函數(shù)的最大值和最小值．
【解題思路】（1）寫出y＝ax﹣3的相關(guān)函數(shù)，代入計算；
（2）①寫出二次函數(shù)y＝﹣x2+4x-12的相關(guān)函數(shù)，代入計算；
②根據(jù)二次根式的最大值和最小值的求法解答．
【解答過程】解：（1）y＝ax﹣3的相關(guān)函數(shù)y=-ax+3(x＜0)ax-3(x≥0)，
將A（﹣5，8）代入y＝﹣ax+3得：5a+3＝8，
解得a＝1；
（2）二次函數(shù)y＝﹣x2+4x-12的相關(guān)函數(shù)為y=x2-4x+12(x＜0)-x2+4x-12(x≥0)，
①當m＜0時，將B（m，32）代入y＝x2﹣4x+12
得m2﹣4m+12=32，
解得：m＝2+5（舍去），或m＝2-5，
當m≥0時，將B（m，32）代入y＝﹣x2+4x-12得：
﹣m2+4m-12=32，
解得：m＝2+2或m＝2-2．
綜上所述：m＝2-5或m＝2+2或m＝2-2；
②當﹣3≤x＜0時，y＝x2﹣4x+12，拋物線的對稱軸為x＝2，
此時y隨x的增大而減小，
∴此時y的最大值為432，
當0≤x≤3時，函數(shù)y＝﹣x2+4x-12，拋物線的對稱軸為x＝2，
當x＝0有最小值，最小值為-12，當x＝2時，有最大值，最大值y=72，
綜上所述，當﹣3≤x≤3時，函數(shù)y＝﹣x2+4x-12的相關(guān)函數(shù)的最大值為432，最小值為-12．
29．（2021春?海曙區(qū)校級期末）定義：若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（ac≠0）與x軸的兩個不同交點A、B的橫坐標為xA、xB，與y軸交點的縱坐標為yC，若xA、xB中至少存在一個值，滿足xA＝y(tǒng)C（或xB＝y(tǒng)C），則稱該函數(shù)為和諧函數(shù)．例如，函數(shù)y＝x2+2x﹣3就是一個和諧函數(shù)．
（1）判斷y＝x2﹣4x+3是否為和諧函數(shù)，答：　是　（填“是”或“不是”）；
（2）請?zhí)骄亢椭C函數(shù)y＝ax2+bx+c表達式中的a、b、c之間的關(guān)系；
（3）若y＝x2+bx+c是和諧函數(shù)，當∠ACB＝90°時，求出c的值；
（4）若和諧函數(shù)y＝x2+2x﹣3交x軸于點A、B兩點，點P（0，m）是y軸正半軸上一點，當∠APB＝45°時，直接寫出m的值　2+7?。?br /> 【解題思路】（1）算出y＝x2﹣4x+3的xA、xB、yC即可；
（2）根據(jù)求根公式寫出根與c的關(guān)系式，即可寫出a、b、c之間的關(guān)系；
（3）根據(jù)題意得出AC＝BC，及C為頂點，確定b的值為0，再由AB＝AC得OA＝OB，即c是拋物線的根，代入拋物線的解析式求出c即可；
（4）先作輔助線構(gòu)造一線三等角全等，再利用全等三角形的性質(zhì)列出關(guān)于m的式子，求出m即可．
【解答過程】解：（1）取x＝0，則yC＝3，
取y＝0，則xA＝1，xB＝3（或xA＝3，xB＝1），
∴y＝x2﹣4x+3是和諧函數(shù)，
故答案為：是；
（2）取y＝0，則ax2+bx+c＝0，
∴x=-b±b2-4ac2a，
∴-b±b2-4ac2a=c，
解得：b+ac＝﹣1；
（3）∵∠ACB＝90°，
又∵OA＝OC或OB＝OC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，C為拋物線的頂點，
∴b＝0，
∴OA＝OB＝OC，
∴c是0＝x2+bx+c的根，
即：c2+c＝0，
解得c＝0或c＝﹣1，
∵ac≠0，
∴c≠0，
∴c＝﹣1；
（4）如圖，過點B作BM⊥AP，作NP平行x軸，作NH平行y軸，

∵∠APB＝45°，
∴BM＝PM，
∵∠NMP+∠BMH＝90°，∠NMP+∠NPM＝90°，
∴∠BMH＝∠NPM，
在△NMP和△HBM中，
∠N=∠MHB∠BMH=∠NPMPM=BM，
∴△NMP≌△HBM（AAS），
∴NP＝MH，NM＝HB，
由題意知A（﹣3，0），P（0，m），
∴直線AP的解析式為：y=m3x+m，
設(shè)M（x，m3x+m），
則有：m3x+m=-xm-(m3x+m)=-x+1，
解得：m＝2-7（舍）或m＝2+7，
故答案為2+7．
30．（2021春?渝北區(qū)校級月考）如圖①，定義：直線l：y＝mx+n（m＜0，n＞0）與x、y軸分別相交于A、B兩點，將△AOB繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△COD，過點A、B、D的拋物線P叫作直線l的“糾纏拋物線”，反之，直線l叫做P的“糾纏直線”，兩線“互為糾纏線”．
（1）若l：y＝﹣2x+2，則糾纏拋物線P的函數(shù)解析式是　y＝﹣x2﹣x+2?。?br /> （2）判斷并說明y＝﹣2x+2k與y=-1kx2﹣x+2k是否“互為糾纏線”．
（3）如圖②，若糾纏直線l：y＝﹣2x+4，糾纏拋物線P的對稱軸與CD相交于點E，點F在l上，點Q在P的對稱軸上，當以點C、E、Q、F為頂點的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時，求點Q的坐標．

【解題思路】（1）根據(jù)糾纏線的定義，若l：y＝﹣2x+2，則點A，B，C，D坐標分別為（1，0），（0，2），（0，1），（﹣2，0），則可以設(shè)拋物線為y＝a（x+2）（x﹣1），代入點B坐標即可求解；
（2）由題意可得點A，B，C，D坐標分別為（k，0），（0，2k），（0，k），（﹣2k，0），則拋物線的函數(shù)解析式為y＝a（x+2k）（x﹣k），代入點B坐標即可求解；
（3）根據(jù)題意得到點A，B，C，D坐標分別為（2，0），（0，4），（0，2），（﹣4，0），同理可得拋物線的函數(shù)解析式，以點C，E，Q，F(xiàn)為頂點的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時，由題意得：|xQ﹣xF|＝1，即：m+1＝±1，即可求解．
【解答過程】解：（1）若l：y＝﹣2x+2，
當y＝0時，x＝1；當x＝0時，y＝2，
∴點A、B、C、D的坐標分別為：（1，0）、（0，2）、（0，1）、（﹣2，0），
設(shè)糾纏拋物線P的函數(shù)解析式為：y＝a（x+2）（x﹣1），
將點B的坐標代入上式得：2＝a（0+2）（0﹣1），
解得：a＝﹣1，
∴糾纏拋物線P的函數(shù)解析式為：y＝﹣x2﹣x+2，
故答案為：y＝﹣x2﹣x+2；
（2）同（1）得：點A、B、C、D的坐標分別為：（k，0）、（0，2k）、（0，k）、（﹣2k，0），
設(shè)糾纏拋物線的函數(shù)解析式為：y＝a（x+2k）（x﹣k），
將點B的坐標代入上式得：2k＝﹣2ak2，
解得：a=-1k，
∴糾纏拋物線的函數(shù)解析式為：y=-1k（x+2k）（x﹣k）=-1kx2-x+2k，
∴y＝﹣2x+2k與y=-1kx2-x+2k是“互為糾纏線”；
（3）同（1）得：點A、B、C、D的坐標分別為：（2，0）、（0，4）、（0，2）、（﹣4，0），
同理可得：糾纏拋物線的函數(shù)解析式為：y=-12x2﹣x+4，
則拋物線的對稱軸為：x＝﹣1，
設(shè)點F（m，﹣2m+4），點Q（﹣1，n），
將點C、D的坐標代入一次函數(shù)表達式并求得：
直線CD的表達式為：y=12x+2，
∵點E的橫坐標為﹣1，
∴點E的縱坐標為32，
∴點C、E橫坐標差為1，縱坐標差為12，
以點C、E、Q、F為頂點的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時，
由題意得：|xQ﹣xF|＝1，即：m+1＝±1，
解得：m＝0或m＝﹣2，
當m＝0時，點F（0，4），則點Q（﹣1，72）；
同理當m＝﹣2時，點Q（﹣1，172）；
綜上，點Q坐標為：Q（﹣1，72）或Q（﹣1，172）．

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22.1.1 二次函數(shù)

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