方法1 三點(diǎn)定型法


要證明的比例式的四條線段恰好是兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊時(shí)，可直接用“三點(diǎn)定型法”找相似三角形．





1．已知：如圖，∠ABC＝∠ADE.求證：AB·AE＝AC·AD.





證明：∵∠ABC＝∠ADE，∠A＝∠A，


∴△ABC∽△ADE，


∴eq \f(AB,AD)＝eq \f(AC,AE)，


即AB·AE＝AC·AD.





2．如圖，已知△ABC中，點(diǎn)D在AC上，且∠ABD＝∠C，求證：AB2＝AD·AC.





證明：∵∠ABD＝∠C，∠A是公共角，


∴△ABD∽△ACB.


∴eq \f(AB,AC)＝eq \f(AD,AB).


∴AB2＝AD·AC.





3．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，交BC延長(zhǎng)線于F.求證：CD2＝DE·DF.





證明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB中點(diǎn)，


∴∠A＋∠B＝90°，CD＝AD.


∴∠A＝∠DCE.


又∵DF垂直平分AB，


∴∠BDF＝90°.


∴∠B＋∠F＝90°.


∴∠DCE＝∠F.


又∵∠CDE＝∠FDC，


∴△CDE∽△FDC.


∴eq \f(CD,FD)＝eq \f(DE,DC)，即CD2＝DE·DF.





4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別在BC、AB、AC上，∠EDF＝∠B.求證：BD·CD＝BE·CF.





證明：∵△ABC中，AB＝AC，


∴∠B＝∠C.


∵∠B＋∠BDE＋∠DEB＝180°，


∠BDE＋∠EDF＋∠FDC＝180°，∠EDF＝∠B，


∴∠FDC＝∠DEB.


∴△BDE∽△CFD.


∴eq \f(BD,CF)＝eq \f(BE,CD)，


即BD·CD＝BE·CF.





方法2 等線段代換法


從要證的結(jié)論難以找到相似三角形時(shí)，往往可用相等的線段去替換結(jié)論中的某些線段，再用“三點(diǎn)定型法”找相似三角形．





5．已知：如圖，在?ABCD中，E是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE交AB于F.求證：AD·AB＝AF·CE.





證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，


∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD∥BC.


∴∠ADF＝∠E.


∴△ADF∽△CED.


∴eq \f(AD,CE)＝eq \f(AF,CD).


∴eq \f(AD,CE)＝eq \f(AF,AB)，即AD·AB＝AF·CE.








6．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E在邊BC上，且△ADE是等邊三角形，∠BAC＝120°，求證：DE2＝BD·CE.








證明：∵△ADE是等邊三角形，


∴DE＝AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°.


∴∠ADB＝∠AEC＝120°，


∠B＋∠BAD＝60°.


又∵∠BAC＝120°，


∴∠B＋∠C＝60°.


∴∠BAD＝∠C.


∴△ABD∽△CAE.


∴eq \f(BD,AE)＝eq \f(AD,CE).


∴eq \f(BD,DE)＝eq \f(DE,CE)，


即DE2＝BD·CE.








7．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，CF∥BA，BF交AD于P點(diǎn)，交AC于E點(diǎn)．求證：BP2＝PE·PF.





證明：連接PC.


在△ABC中，∵AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，


∴AD垂直平分BC.


∴PB＝PC.


∴∠PBC＝∠PCB.


∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，


∴∠ABC－∠PBC＝∠ACB－∠PCB，


即∠ABP＝∠ACP.


∵CF∥AB，∴∠ABP＝∠F.


∴∠ACP＝∠F.


又∵∠EPC＝∠CPF，∴△PCE∽△PFC.


∴eq \f(PC,PE)＝eq \f(PF,PC).


∵PC＝PB，


∴eq \f(PB,PE)＝eq \f(PF,PB)，即PB2＝PE·PF.





方法3 等比代換法(找中間比)


要證明的比例式無法直接通過平行或相似證出時(shí)，往往要找中間比進(jìn)行過渡．





8．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、Q分別在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點(diǎn)P.求證：eq \f(DP,BQ)＝eq \f(PE,QC).





證明：在△ABQ中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ.


∴DP∶BQ＝AP∶AQ.


同理△AEP∽△ACQ，


∴PE∶QC＝AP∶AQ.


∴DP∶BQ＝PE∶QC，即eq \f(DP,BQ)＝eq \f(PE,QC).








9．如圖，在?ABCD的對(duì)角線BD上任取一點(diǎn)P，過P點(diǎn)引一直線分別與BA、DC兩邊的延長(zhǎng)線交于E、G，又與BC、AD兩邊交于F、H，求證：eq \f(PE,PG)＝eq \f(PF,PH).





證明：在?ABCD中，


∵AB∥CD，AD∥BC，


∴eq \f(PE,PG)＝eq \f(PB,PD)，eq \f(PF,PH)＝eq \f(PB,PD).


∴eq \f(PE,PG)＝eq \f(PF,PH).





10．如圖，已知B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上，△ABC與△DCE都是等邊三角形．其中線段BD交AC于點(diǎn)G，線段AE交CD于點(diǎn)F.求證：


(1)△ACE≌△BCD；


(2)eq \f(AG,CG)＝eq \f(AF,EF).





證明：(1)∵△ABC與△DCE都是等邊三角形，


∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°.


∴∠DCE＋∠ACD＝∠ACB＋∠ACD，


即∠ACE＝∠BCD.


∴△ACE≌△BCD(SAS)．


(2)∵△ABC與△DCE都是等邊三角形，


∴AB＝AC，CD＝ED，∠ABC＝∠DCE＝60°.


∴eq \f(AB,CD)＝eq \f(AC,ED)，AB∥DC.


∴∠ABG＝∠CDG，∠BAG＝∠DCG.


∴△ABG∽△CDG.


∴eq \f(AG,CG)＝eq \f(AB,CD).同理eq \f(AF,EF)＝eq \f(AC,ED)，∴eq \f(AG,CG)＝eq \f(AF,EF).





























方法4 等積代換法(找中間積)





常用到基本圖形的結(jié)論找中間積．





11．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求證：AE·AB＝AF·AC.





證明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，


∴∠ADB＝∠AED＝90°.


又∵∠DAE＝∠BAD，


∴△ADE∽△ABD.


∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AD)，即AE·AB＝AD2.


同理，△ADF∽△ACD，


∴AF·AC＝AD2.


∴AE·AB＝AF·AC.








12．(崇明中考)如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC和AC邊上，點(diǎn)G是BE邊上一點(diǎn)，且∠BAD＝∠BGD＝∠C，連接AG.求證：eq \f(BG,AB)＝eq \f(AB,BE).





證明：∵∠BGD＝∠C，∠DBG＝∠EBC，


∴△BGD∽△BCE.


∴eq \f(BG,BC)＝eq \f(BD,BE)，


即BG·BE＝BC·BD.


又∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠CBA，


∴△ABD∽△CBA.


∴eq \f(AB,CB)＝eq \f(BD,BA)，即BC·BD＝AB2.


∴BG·BE＝AB2，即eq \f(BG,AB)＝eq \f(AB,BE).








13．如圖，在△ABC中，AD、BF分別是BC、AC邊上的高，過D作AB的垂線交AB于E，交BF于G，交AC的延長(zhǎng)線于H，求證：DE2＝EG·EH.





證明：∵AD、BF分別是BC、AC邊上高，DE⊥AB，


∴∠ADB＝∠BED＝90°.


∴∠EBD＋∠EDB＝∠EDB＋∠ADE.


∴∠EBD＝∠EDA.


∴△AED∽△DEB.


∴DE2＝AE·BE.


又∵∠HFG＝90°，∠BGE＝∠HGF，


∴∠EBG＝∠H.


∵∠BEG＝∠HEA＝90°，


∴△BEG∽△HEA.


∴eq \f(EG,AE)＝eq \f(BE,HE)，即EG·EH＝AE·BE.


∴DE2＝EG·EH.


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