同學(xué)們，還記得小時(shí)候父母是如何教我們認(rèn)識幾何體的嗎？
“寶寶，這是正方體，這是長方體、這是球、這是圓錐等”父母不會這樣教：“寶寶，這是點(diǎn)，這是線、這是面?！?br/>這說明我們?nèi)祟愓J(rèn)識幾何體的認(rèn)知規(guī)律就是從整體到局部，從外到里，從感性到理性，從具體到抽象，從合情推理到邏輯推理。我們先知道正方體、長方體等，再知道點(diǎn)、線、面。今天我們也按照這樣的認(rèn)知規(guī)律來學(xué)習(xí)立體幾何。
前面我們是從整體的角度對許多幾何體進(jìn)行了認(rèn)識，下面我們主要是從局部角度對幾何體進(jìn)行認(rèn)識。局部角度就是從構(gòu)成幾何體的基本元素：點(diǎn)、直線、面來認(rèn)識。我們從整體到局部，從局部到整體，這也是符合認(rèn)識的規(guī)律。
初中學(xué)習(xí)了點(diǎn)、直線概念。到高中我們首先要學(xué)習(xí)概念：平面。
前面我們也初步認(rèn)識了簡單幾何體的組成元素,知道了頂點(diǎn)、棱(直線段)、平面多邊形是構(gòu)成棱柱、棱錐等多面體的基本元素.我們以直觀感知的方式認(rèn)識了這些基本元素之間的相互關(guān)系,從而得到了多面體的一些結(jié)構(gòu)特征.為了進(jìn)一步認(rèn)識立體圖形的結(jié)構(gòu)特征,需要對點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系進(jìn)行研究.本節(jié)我們先研究平面及其基本性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，研究空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.
溫州市甌海區(qū)三溪中學(xué) 張明
幾何里所說的“平面”就是從這樣的一些物體中抽象出來的.
①用希臘字母表示：平面α、平面β、平面γ等, 并寫在平行四邊形一個(gè)角內(nèi).
②用大寫英文字母表示：平面ABCD、平面AC.
常常把水平的平面畫成銳角為450，橫邊長等于其鄰邊長2倍的平行四邊形.
幾何中許多符號的規(guī)定都是源于將圖形視為點(diǎn)集，以點(diǎn)作為元素，直線和平面都是由點(diǎn)構(gòu)成的集合.
立體幾何中位置關(guān)系常用三種語言來描述：
文字語言； 圖形語言； 符號語言。
點(diǎn)A在平面α內(nèi) 表示為A∈α，
直線c與平面α相交于點(diǎn)C
1、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有什么用？
荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾的，他說：“與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，還不如說是學(xué)習(xí)‘?dāng)?shù)學(xué)化’；與其說是學(xué)習(xí)公理系統(tǒng)，還不如說是學(xué)習(xí)‘公理化’；與其說是學(xué)習(xí)形式體系，還不如說是學(xué)習(xí)‘形式化’?！?
數(shù)學(xué)教育家米山國藏指出：“學(xué)生進(jìn)入社會后，幾乎沒有機(jī)會應(yīng)用它們在初中或高中所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，因而這種作為知識的數(shù)學(xué)，通常在學(xué)生出校門后不到一兩年就忘掉了，然而不管從事什么業(yè)務(wù)工作，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，卻長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著重要作用?！?br/> 所以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)忘記了，但數(shù)學(xué)化不會忘記，學(xué)習(xí)公理，公理忘記了，但公理化不會忘記，學(xué)習(xí)形式體系，形式體系忘記了，但形式化不會忘記。也就是數(shù)學(xué)化、公理化、形式化一輩子都對你產(chǎn)生影響。
中國人的思維缺陷
1、不證而論 比如不懂邏輯學(xué)上的“充足理由律”，給出論點(diǎn)來往往不證而論，只有論點(diǎn)，沒有論據(jù)。
2、以“經(jīng)典、經(jīng)驗(yàn)、想當(dāng)然”作為論據(jù)
參考文章：《中國人思維的五大缺陷》作者：蘆笛
總結(jié)：中國數(shù)學(xué)是經(jīng)驗(yàn)型的，結(jié)構(gòu)松散毫無邏輯，中國人做事也不講邏輯。
擅長邏輯，比如平面幾何的公理系統(tǒng)，從幾個(gè)公理出發(fā)當(dāng)成起點(diǎn)推出定理、性質(zhì)、推論?；蛴梢远ɡ怼⑿再|(zhì)、推論為依據(jù)推出定理、性質(zhì)、推論，每一步都有論據(jù)，這論據(jù)要么是公理要么是定理、性質(zhì)、推論。最后形成嚴(yán)密的公理化系統(tǒng)，注意是嚴(yán)密，或嚴(yán)密的邏輯系統(tǒng)。邏輯學(xué)就是發(fā)達(dá)于西方. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有點(diǎn)就是學(xué)習(xí)西方人如何思維,高考大部分考西方的思維方式。只有算法是考中國人思維方式
下面，我們來研究平面的基本性質(zhì).
自行車用一個(gè)腳架和兩個(gè)車輪著地就可以“站穩(wěn)”,三腳架的三腳著地就可以支撐照相機(jī). 由這些事實(shí)和類似經(jīng)驗(yàn)說明什么？
過不在一條直線上 的三個(gè)點(diǎn)，有且只 有一個(gè)平面.
也可以簡單說成“不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面”.
不在一條直線上三個(gè)點(diǎn)A、B、C所確定平面，可記為平面ABC.
基本事實(shí)1給出了確定一個(gè)平面的依據(jù)
點(diǎn)A在直線l上,記作A∈l;點(diǎn)B在直線l外,記作B?l.點(diǎn)A在平面α內(nèi),記作A∈α；點(diǎn)P在平面α外,記作P?α.
直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn),平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，直線、平面都可以看成是點(diǎn)的集合. 因此，
在實(shí)際生活中，我們有這樣的經(jīng)驗(yàn):如果一根臺球桿上任意兩點(diǎn)在桌面上，那么臺球桿就在桌面上，上述經(jīng)驗(yàn)和類似的事實(shí)可以歸納為以下基本事實(shí):
如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).
基本事實(shí)2表明，可以用直線的“直”刻畫平面的“平”，用直線的“無限延伸”刻畫平面的“無限延展”,由基本事實(shí)1,給定不共線三點(diǎn)A、B、C,它們可以確定一個(gè)平面ABC;連接AB、BC、CA，由基本事實(shí)2,這三條直線都在平面ABC內(nèi)，進(jìn)而連接這三條直線上任意兩點(diǎn)所得直線也都在平面ABC內(nèi)，所有這些直線可以編織成一個(gè)“直線網(wǎng)”，這個(gè)“直線網(wǎng)”可以鋪滿平面ABC.組成這個(gè)“直
利用基本事實(shí)2可以判斷直線是否在平面內(nèi)
線網(wǎng)”的直線的“直"和向各個(gè)方向無限延伸，說明了平面的“平”和“無限延展”.
利用基本事實(shí)1和基本事實(shí)2，再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”， 可以得到下面三個(gè)推論：
推論1 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.
經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)確定一個(gè)平面α.由基本事實(shí)2，
現(xiàn)在我們來證明一下推論1，如右圖.
在直線l上任取兩點(diǎn)B和C，由基本事實(shí)1得，
直線l也在平面α內(nèi),則平面α經(jīng)過直線l和點(diǎn)A，即一條直線和這條直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面.
推論1~3給我們提供了確定“一個(gè)平面的另外幾種方法.
可以用兩根細(xì)繩沿桌子四條腿的對角拉直，如果這兩根細(xì)繩相交，說明桌子四條腿的底端在同一個(gè)平面內(nèi),否則就不在同一個(gè)平面內(nèi),其依據(jù)就是推論2.
想象三角尺所在的無限延展的平面，用它去“穿透”課桌面.可以想象，兩個(gè)平面相交于一條直線.教室里相鄰墻面在地面的墻角處有一個(gè)公共點(diǎn)，這兩個(gè)墻面相交于過這個(gè)點(diǎn)的一條直線.由此我們又得到一個(gè)基本事實(shí):
如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.
基本事實(shí)3告訴我們，如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面一定相交于過這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線.兩個(gè)平面相交成一條直線的事實(shí)，使我們進(jìn)一步認(rèn)識了平面的“平”和“無限延展”.
平面α與β相交于直線l,記作α∩β=l.
在畫兩個(gè)相交平面時(shí),如果其中一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面擋住，通常把被擋住的部分畫成虛線或不畫,這樣可使畫出的圖形立體感更強(qiáng)一些(如下圖).
上述三個(gè)關(guān)于平面的基本事實(shí),是人們長期觀察與實(shí)踐總結(jié)出來的,是幾何推理基本依據(jù),也是我們進(jìn)一步研究立體圖形的基礎(chǔ).
公理3有2個(gè)推論： 推論1：如果兩個(gè)平面有兩個(gè)交點(diǎn)，則有且只有一條過這兩個(gè)交點(diǎn)的交線 推論2：如果一個(gè)點(diǎn)即在一個(gè)平面內(nèi)又在另一個(gè)平面內(nèi)這這點(diǎn)在這兩個(gè)平面的交線上。 注：推論1、推論2由公理3可以推出。
例1 如下圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列命題是否正確， 并說明理由.
(1)直線AC1在平面CC1B1B內(nèi)( )(2)平面AA1C1C與平面BB1D1D的交線為OO1( )(3)由A、O、C確定一個(gè)平面( )(4)由A、C1、B1確定的平面是平面ADC1B1( )(5)由A、C1、B1確定的平面與由A、C1、D確定的平面是同一 平面( )
例2 根據(jù)下列語句畫出圖形，并用符號表示. (1)點(diǎn)A在平面?內(nèi)，點(diǎn)B不在平面?內(nèi)，點(diǎn)A、B都在直線l上； (2)平面?與平面?相交于直線m，直線n在平面?內(nèi)，并且平行 于直線m.
同學(xué)們，書上只介紹了三個(gè)基本事實(shí)即公理，為什么？ 那是因?yàn)橐⒘Ⅲw幾何公理系統(tǒng)，有這三個(gè)公理就足夠了，其它都可以把它推導(dǎo)出來，可以當(dāng)推論或當(dāng)性質(zhì)等。
有的同學(xué)馬上想知道這三個(gè)事實(shí)即三個(gè)公理還有推導(dǎo)到底用在哪里？
公理系統(tǒng)是什么？我們前面提過。 什么是公理？那就是不證自明非常顯然的事實(shí)，公理是我們證明的原點(diǎn)或起點(diǎn)，從原點(diǎn)或起點(diǎn)出發(fā)到達(dá)我們要到的地方。證明先從公理開始。證明的起點(diǎn)是顯而易見的事實(shí)，這事實(shí)就是公理。公理是去證別人而自己是不能證明的。 同學(xué)們很多立體幾何定理結(jié)論實(shí)在是太明顯太顯然了，比公理還顯然，但注意它不是公理而是可以證明出來的性質(zhì)或定理，我們中國人覺得拿過來用就可以了，但西方不然,要證明出它。這在平時(shí)的證明中可以當(dāng)定理使用。注意我們證明題目時(shí)的論據(jù)都是來自于教材，教材之外的不會考到，雖然教材之外補(bǔ)充了許多定理、性質(zhì)。 同學(xué)們有沒有發(fā)現(xiàn)西方人沒事找事做，吃飽了撐著？正因?yàn)槲鞣饺说倪@種刨根究底的精神造就了西方發(fā)達(dá)的科學(xué)。在中國這些是經(jīng)驗(yàn)，沒有證明的跡象。 雖然結(jié)論很顯然但證明卻是不容易。 定理：兩條平行線一條垂直一個(gè)平面另一條也垂直這個(gè)平面 這樣的定理很多。 同學(xué)們注意，以上的定理其實(shí)我們都是不知不覺無意識的在使用它們了，在中國這是顯然的經(jīng)驗(yàn)，在使用這些定理時(shí)我們自己都沒有意識到。西方人不這么干，他把這些不知不覺無意識使用的經(jīng)驗(yàn)?zāi)贸鰜碛霉砘枷胱C明,形成一個(gè)極其嚴(yán)密不是松散的系統(tǒng)。這造就了西方發(fā)達(dá)的科技。 如果我們不學(xué)習(xí)其實(shí)同學(xué)們在證明命題時(shí)自己自動會使用它們，連自己都沒有意識到。因?yàn)樘@然了，比公理還顯然，太常識了，以至于我們沒有注意它們,是熟視無睹啊。 我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)這幾個(gè)定理就是讓無意識的東西進(jìn)入我們的意識。
例：如果一條直線與兩條平行線都相交，那這三條直線是否共面？ 已知a∥b，直線c使a∩c=A，b∩c=B，求證a、b、c三直線共面
分析：同學(xué)們很多立體幾何定理結(jié)論實(shí)在是太明顯太顯然了，比公理還顯然，但注意它不是公理而是可以證明出來的性質(zhì)，我們中國人覺得拿過來用就可以了，但西方不然,要證明出它。這在平時(shí)的證明中可以當(dāng)定理使用。注意我們證明題目時(shí)的論據(jù)都是來自于教材，教材之外的不會考到，雖然教材之外補(bǔ)充了許多定理、性質(zhì)。 同學(xué)們有沒有發(fā)現(xiàn)西方人沒事找事做，吃飽了撐著？正因?yàn)槲鞣饺说倪@種刨根究底的精神造就了西方發(fā)達(dá)的科學(xué)。在中國這些是經(jīng)驗(yàn)，沒有證明的跡象。 雖然結(jié)論很明顯，但證明卻不太容易。
例：已知長方體ABCD-A′B′C′D′中E、F為DD′、BB′中點(diǎn)或一點(diǎn)，求△AEF與下底面的交線
①用希臘字母表示：平面a、平面β、平面γ.
過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

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8.4 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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