1. 反比例函數(shù)的概念
定義：形如________ (k為常數(shù)，k≠0) 的函數(shù)稱(chēng)為反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù)，k是比例系數(shù)．三種表達(dá)式方法： 或 xy＝k 或y＝kx－1 (k≠0)．
【注意】(1)k≠0；(2)自變量x≠0；(3)函數(shù)y≠0.
2. 反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)
(1) 反比例函數(shù)的圖象：反比例函數(shù) (k≠0)的 圖象是 ，它既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心 對(duì)稱(chēng)圖形. 反比例函數(shù)的兩條對(duì)稱(chēng)軸為直線 和 ； 對(duì)稱(chēng)中心是： .
(2) 反比例函數(shù)的性質(zhì)
(3) 反比例函數(shù)比例系數(shù) k 的幾何意義
k 的幾何意義：反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn) (x，y) 具有兩坐標(biāo)之積 (xy＝k) 為常數(shù)這一特點(diǎn)，即過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)，向兩坐標(biāo)軸作垂線，兩條垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形的面積為 .規(guī)律：過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)，向兩坐標(biāo)軸作垂線，一條垂線與坐標(biāo)軸、原點(diǎn)所圍成的三角形的面積為 ．
3. 反比例函數(shù)的應(yīng)用
?利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)：
① 根據(jù)兩變量之間的反比例關(guān)系，設(shè) ；② 代入圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即 x、y 的一組 對(duì)應(yīng)值，求出 k 的值；③ 寫(xiě)出解析式.
?反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)
?利用反比例函數(shù)相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題
過(guò)程：分析實(shí)際情境→建立函數(shù)模型→明確 數(shù)學(xué)問(wèn)題注意：實(shí)際問(wèn)題中的兩個(gè)變量往往都只能取 非負(fù)值.
例1 下列函數(shù)中哪些是正比例函數(shù)？哪些是反比例函數(shù)?
1. 已知點(diǎn) P(1，－3) 在反比例函數(shù) 的圖象上， 則 k 的值是 ( ) A. 3　　　　　　　　B. －3 C. D.
2. 若 是反比例函數(shù)，則 a 的值為 ( ) A. 1 B. －1 C. ±1 D. 任意實(shí)數(shù)
系數(shù)不為0，x的次數(shù)為-1
例2 已知點(diǎn) A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3) 都在反比例函數(shù) 的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是 ( )A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1
解析：方法①分別把各點(diǎn)代入反比例函數(shù)求出y1，y2，y3的值，再比較出其大小即可．方法②：根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較．
方法總結(jié)：比較反比例函數(shù)值的大小，在同一個(gè)象限內(nèi)根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)比較，在不同象限內(nèi)，不能按其性質(zhì)比較，函數(shù)值的大小只能根據(jù)特征確定．
例3 如圖，兩個(gè)反比例函數(shù) 和 在第一象限內(nèi)的圖象分別是 C1 和 C2，設(shè)點(diǎn) P 在 C1 上，PA ⊥ x 軸于點(diǎn)A，交C2于點(diǎn)B，則△POB的面積為 .
S△POB=S△POA-S△BOA
例4 如圖，已知 A (－4， )，B (－1，2) 是一次函數(shù)y =kx+b 與反比例函數(shù) (m＜0)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，AC⊥x 軸于點(diǎn) C，BD⊥y 軸于點(diǎn) D．(1) 根據(jù)圖象直接回答：在第二象限內(nèi)，當(dāng) x 取何值 時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值；
解：當(dāng)－4＜ x ＜－1時(shí)，一 次函數(shù)的值大于反比例 函數(shù)的值.
(2) 求一次函數(shù)解析式及 m 的值；
－k + b =2，
(3) P 是線段 AB 上的一點(diǎn)，連接 PC，PD，若△PCA 和 △PDB 面積相等，求點(diǎn) P 坐標(biāo).
方法總結(jié)：此類(lèi)一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二元一次方程組，三角形面積等知識(shí)的綜合運(yùn)用，其關(guān)鍵是理清解題思路. 在直角坐標(biāo)系中，求三角形或四邊形面積時(shí)，是要選取合適的底邊和高，正確利用坐標(biāo)算出線段長(zhǎng)度.
解：由題意知點(diǎn) P 在正比例函數(shù) y =2x 上， 把 P 的縱坐標(biāo) 2 代入該解析 式，得P (1，2)， 把 P (1，2) 代入 ， 得到
解：把 M (－2，0) 代入 y = kx + b， 得 b= 2k，∴y = kx+2k，
解得 x =－3 或 1.
∴ B (－3，－k)，A (1，3k).
(3) 在第(2)題的條件下，當(dāng) x 取何值時(shí)，一次函數(shù)的 值小于反比例函數(shù)的值？
解：當(dāng) x ＜－3或 0＜x＜1 時(shí)，一次函數(shù)的值小于反 比例函數(shù)的值.
例5 病人按規(guī)定的劑量服用某種藥物，測(cè)得服藥后 2 小時(shí)，每毫升血液中的含藥量達(dá)到最大值為 4 毫克. 已知服藥后，2 小時(shí)前每毫升血液中的含藥量 y (單位：毫克)與時(shí)間 x (單位：小時(shí)) 成正比例；2 小時(shí)后 y 與 x 成反比例 (如圖). 根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題：(1) 求當(dāng) 0 ≤ x ≤2 時(shí)，y 與 x 的函數(shù)解析式；
解：當(dāng) 0 ≤ x ≤2 時(shí)，y 與 x 成正比 例函數(shù)關(guān)系． 設(shè) y ＝kx，由于點(diǎn) (2，4) 在 線段上， 所以 4＝2k，k＝2，即 y＝2x.
(2) 求當(dāng) x > 2 時(shí)，y 與 x 的函數(shù)解析式；
(3) 若每毫升血液中的含藥量不低于 2 毫克時(shí)治療有 效，則服藥一次，治療疾病的有效時(shí)間是多長(zhǎng)？
解：當(dāng) 0≤x≤2 時(shí)，含藥量不低于 2 毫克，即 2x≥2， 解得x≥1，∴1≤x≤2； 當(dāng) x>2 時(shí)，含藥量不低于 2 毫克，
所以服藥一次，治療疾病的有效時(shí)間是 1＋2＝3 (小時(shí))．
如圖，制作某種食品的同時(shí)需將原材料加熱，設(shè)該材料溫度為y ℃，從加熱開(kāi)始計(jì)算的時(shí)間為x分鐘．據(jù)了解，該材料在加熱過(guò)程中溫度y與時(shí)間x成一次函數(shù)關(guān)系．已知該材料在加熱前的溫度為4 ℃，加熱一段時(shí)間使材料溫度達(dá)到28 ℃時(shí)停止加熱，停止加熱后，材料溫度逐漸下降，這時(shí)溫度y與時(shí)間 x 成反比例函數(shù)關(guān)系，已知第 12 分鐘時(shí)，材料溫度是14 ℃．
(1) 分別求出該材料加熱和停止加熱過(guò)程中 y 與 x 的函 數(shù)關(guān)系式（寫(xiě)出x的取值范圍）；
(2) 根據(jù)該食品制作要求，在材料溫度不低于 12℃ 的 這段時(shí)間內(nèi)，需要對(duì)該材料進(jìn)行特殊處理，那么 對(duì)該材料進(jìn)行特殊處理的時(shí)間為多少分鐘?
解：當(dāng)y =12時(shí)，y =4x+4，解得 x=2． 由 ，解得x =14. 所以對(duì)該材料進(jìn)行特殊 處理所用的時(shí)間為 14－2=12 (分鐘)．

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