1．理解多項式乘以多項式的運算法則，能夠按多項式乘法步驟進(jìn)行簡單的乘法運算；(重點)


2．掌握多項式與多項式的乘法法則的應(yīng)用．(難點)





一、情境導(dǎo)入


某地區(qū)在退耕還林期間，將一塊長m米、寬a米的長方形林區(qū)的長、寬分別增加n米和b米．用兩種方法表示這塊林區(qū)現(xiàn)在的面積．


學(xué)生積極思考，教師引導(dǎo)學(xué)生分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：


這塊林區(qū)現(xiàn)在長為(m＋n)米，寬為(a＋b)米，因而面積為(m＋n)(a＋b)平方米．


另外：如圖，這塊地由四小塊組成，它們的面積分別為ma平方米，mb平方米、na平方米，nb平方米，故這塊地的面積為(ma＋mb＋na＋nb)平方米．





由此可得(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.今天我們就學(xué)習(xí)多項式乘以多項式．


二、合作探究


探究點一：多項式乘以多項式


【類型一】 直接利用多項式乘以多項式法則進(jìn)行計算


計算：


(1)(3x＋2)(x＋2)；


(2)(4y－1)(5－y)．


解析：利用多項式乘以多項式法則計算，即可得到結(jié)果．


解：(1)原式＝3x2＋6x＋2x＋4＝3x2＋8x＋4；


(2)原式＝20y－4y2－5＋y＝－4y2＋21y－5.


方法總結(jié)：多項式乘以多項式，按一定的順序進(jìn)行，必須做到不重不漏；多項式與多項式相乘，仍得多項式，在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)等于原多項式的項數(shù)之積．


【類型二】 混合運算


計算：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)．


解析：根據(jù)整式混合運算的順序和法則分別進(jìn)行計算，再把所得結(jié)果合并即可．


解：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)＝6a2－9a＋2a－3－6a2＋24a＋5a－20＝22a－23.


方法總結(jié)：在計算時要注意混合運算的順序和法則以及運算結(jié)果的符號．














探究點二：多項式乘以多項式的化簡求值及應(yīng)用


【類型一】 化簡求值


先化簡，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.


解析：先將式子利用整式乘法展開，合并同類項化簡，再代入計算．


解：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2.當(dāng)a＝－1，b＝1時，原式＝－8＋2－15＝－21.


方法總結(jié)：化簡求值是整式運算中常見的題型，一定要注意先化簡，再求值，不能先代值，再計算．


【類型二】 多項式乘以多項式與方程的綜合


解方程：(x－3)(x－2)＝(x＋9)(x＋1)＋4.


解析：方程兩邊利用多項式乘以多項式法則計算，移項、合并同類項，將x系數(shù)化為1，即可求出解．


解：去括號，得x2－5x＋6＝x2＋10x＋9＋4，移項、合并同類項，得－15x＝7，解得x＝－eq \f(7,15).


方法總結(jié)：解答本題就是利用多項式的乘法，將原方程轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的方程解答．


【類型三】 多項式乘以多項式的實際應(yīng)用


千年古鎮(zhèn)楊家灘的某小區(qū)的內(nèi)壩是一塊長為(3a＋b)米，寬為(2a＋b)米的長方形地塊，物業(yè)部門計劃將內(nèi)壩進(jìn)行綠化(如圖陰影部分)，中間部分將修建一仿古小景點(如圖中間的正方形)，則綠化的面積是多少平方米？并求出當(dāng)a＝3，b＝2時的綠化面積．





解析：根據(jù)長方形的面積公式，可得內(nèi)壩、景點的面積，根據(jù)面積的和差，可得答案．


解：由題意，得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2＝5a2＋3ab，當(dāng)a＝3，b＝2時，5a2＋3ab＝5×32＋3×3×2＝63，故綠化的面積是63m2.


方法總結(jié)：用代數(shù)式表示圖形的長和寬，再利用面積(或體積)公式求面積(或體積)是解決問題的關(guān)鍵．


【類型四】 多項式乘以單項式后，不含某一項，求字母系數(shù)的值


已知ax2＋bx＋1(a≠0)與3x－2的積不含x2項，也不含x項，求系數(shù)a、b的值．


解析：首先利用多項式乘法法則計算出(ax2＋bx＋1)(3x－2)，再根據(jù)積不含x2的項，也不含x的項，可得含x2的項和含x的項的系數(shù)等于零，即可求出a與b的值．


解：(ax2＋bx＋1)(3x－2)＝3ax3－2ax2＋3bx2－2bx＋3x－2，∵積不含x2的項，也不含x的項，∴－2a＋3b＝0，－2b＋3＝0，解得b＝eq \f(3,2)，a＝eq \f(9,4).∴系數(shù)a、b的值分別是eq \f(9,4)，eq \f(3,2).


方法總結(jié)：解決此類問題首先要利用多項式乘法法則計算出展開式，合并同類項后，再根據(jù)不含某一項，可得這一項系數(shù)等于零，再列出方程解答．














三、板書設(shè)計


多項式與多項式相乘


多項式與多項式相乘的法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．





本節(jié)知識的綜合性較強，要求學(xué)生熟練掌握前面所學(xué)的單項式與單項式相乘及單項式與多項式相乘的知識，同時為了讓學(xué)生理解并掌握多項式與多項式相乘的法則，教學(xué)中一定要精講精練，讓學(xué)生從練習(xí)中再次體會法則的內(nèi)容，為以后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)

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2.1.4 多項式的乘法

版本： 湘教版

年級： 七年級下冊

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