1．會確定多項式的公因式；(重點)


2．掌握提多項式公因式進行因式分解．(重點、難點)





一、情境導入


1．因式分解：2ax－4a2y.


2．在多項式2ax－4a2y中，如果把其中的a用(a＋b)替換，則可得到多項式：2(a＋b)x－4(a＋b)2y，還可以進行因式分解嗎？如果可以，怎樣進行因式分解？


二、合作探究


探究點一：確定多項式公因式


【類型一】 直接確定公因式


把10a2(x＋y)2－5a(x＋y)3因式分解時，應提取的公因式是( )


A．5a B．(x＋y)2


C．5(x＋y)2 D．5a(x＋y)2


解析：把(x＋y)看作一個整體，系數(shù)10和5的最大公約數(shù)是5，相同字母分別是a和(x＋y)，其中a的最低次冪是1，(x＋y)的最低次冪是2，所以這個多項式的公因式是5a(x＋y)2，故選D.


方法總結(jié)：在確定多項式時，如果多項式中的各部分含有相同的多項式因式，可把這個多項式看作一個整體，然后按照確定單項式公因式的方法確定公因式．即：公因式的系數(shù)取各項系數(shù)的絕對值的最大公因數(shù)，公因式的字母及指數(shù)取各項都含有的相同字母的最低次冪．


【類型二】 通過變形確定公因式


分解2x(－x＋y)2－(x－y)3應提取的公因式是( )


A．－x＋y B．x－y


C．(x－y)2 D．以上都不對


解析：把(x－y)看作一個整體，(－x＋y)2＝(x－y)2，這樣原多項式化為2x(x－y)2－(x－y)3，根據(jù)公因式的確定方法可知其公因式為(x－y)2.故選C.


方法總結(jié)：底數(shù)互為相反數(shù)時，可通過如下兩個等式變形：(a－b)2n＝(b－a)2n，(a－b)2n＋1＝－(b－a)2n＋1(n為正整數(shù))．因此，確定公因式時，原多項式中的部分項的因式可適當變形，在變形時要特別注意符號．


探究點二：提多項式公因式進行因式分解


【類型一】 提公因式進行因式分解


把下列各式因式分解：


(1)x(x－y)－y(x－y)；


(2)6(x＋y)(x－y)－3(y－x)2.


解析：(1)公因式為(x－y)，提取公因式后兩個因式相同，注意寫成乘方的形式；


(2)由于(y－x)2＝(x－y)2，所以多項式可化為6(x＋y)(x－y)－3(x－y)2，確定公因式為3(x－y)，提取公因式后再化簡即可．


解：(1)x(x－y)－y(x－y)＝(x－y)(x－y)＝(x－y)2；


(2)6(x＋y)(x－y)－3(y－x)2＝6(x＋y)(x－y)－3(x－y)2＝3(x－y)[2(x＋y)－(x－y)]＝3(x－y)(x＋3y)．


方法總結(jié)：提取公因式后，每個因式中都要合并同類項，化為最簡形式．一般情況下，最后結(jié)果中最多只能含有小括號，而不能含有中括號或大括號等．


【類型二】 利用因式分解整體代換求值


已知2a＋b＝7，ab＝4，求2a2b＋ab2的值．


解析：原式提取公因式變形后，將2a＋b與ab的值代入計算即可求出值．


解：∵2a＋b＝7，ab＝4，∴原式＝ab(2a＋b)＝4×7＝28.


方法總結(jié)：求代數(shù)式的值，有時要將已知條件看作一個整體代入求值．


【類型三】 因式分解化簡多項式后，求代數(shù)式的值


先因式分解，再求值：


(2x＋1)2(3x－2)－(2x＋1)(3x－2)2－x(2x＋1)(2－3x)，其中x＝eq \f(3,2).


解析：式中除含有公因式(2x＋1)外，將第3項中的(2－3x)改寫成－(3x－2)后，還有公因式(3x－2)，故可提公因式(2x＋1)(3x－2)．


解：原式＝(2x＋1)2(3x－2)－(2x＋1)(3x－2)2＋x(2x＋1)(3x－2)＝(2x＋1)(3x－2)[(2x＋1)－(3x－2)＋x]＝(2x＋1)(3x－2)(2x＋1－3x＋2＋x)＝3(2x＋1)(3x－2)．當x＝eq \f(3,2)時，原式＝3×(2×eq \f(3,2)＋1)×(3×eq \f(3,2)－2)＝3×4×eq \f(5,2)＝30.


方法總結(jié)：當題中含有冪的底數(shù)是多項式時，就要觀察是否要把某些項中的這類因式變形才能找出公因式；變形時則要注意根據(jù)冪的指數(shù)的奇偶性考慮其所在項是否要改變符號；在提取冪的底數(shù)是多項式這樣的公因式時，要把底數(shù)的多項式看作一個整體．


三、板書設計


1．提公因式時，如果多項式的首項符號為負，常提取一個帶“－”號的公因式．


2．(a－b)2n＝(b－a)2n，(a－b)2n＋1＝－(b－a)2n＋1(n為正整數(shù))．





本節(jié)課通過提單項式公因式引導出提多項式公因式，學習時可類比提單項式公因式的方法進行．教學中注意底數(shù)是互為相反數(shù)時的多項式的變形，在式子前面是否要加上負號，并強調(diào)提取公因式后剩下的部分一定要化簡，并注意不要混淆整式乘法與因式分解

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3.2 提公因式法

版本： 湘教版

年級： 七年級下冊

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