1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜邊、直角邊”；(重點(diǎn))


2．經(jīng)歷探究“斜邊、直角邊”判定方法的過(guò)程，能運(yùn)用“斜邊、直角邊”判定方法解決有關(guān)問(wèn)題．(難點(diǎn))











一、情境導(dǎo)入


舞臺(tái)背景的形狀是兩個(gè)直角三角形，工作人員想知道這兩個(gè)直角三角形是否全等，但每個(gè)三角形都有一條直角邊被花盆遮住無(wú)法測(cè)量．


(1)你能幫他想個(gè)辦法嗎？


(2)如果他只帶了一個(gè)卷尺，能完成這個(gè)任務(wù)嗎？


工作人員測(cè)量了每個(gè)三角形沒(méi)有被遮住的直角邊和斜邊，發(fā)現(xiàn)它們分別對(duì)應(yīng)相等，于是他就肯定“兩個(gè)直角三角形是全等的”，你相信他的結(jié)論嗎？





二、合作探究


探究點(diǎn)：直角三角形全等的判定


【類(lèi)型一】 應(yīng)用“HL”證明三角形全等


如圖，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在線段BC上，DE與AF交于點(diǎn)O，且AB＝CD，BE＝CF.


求證：Rt△ABF≌Rt△DCE.





解析：由題意可得△ABF與△DCE都為直角三角形，由BE＝CF可得BF＝CE，然后運(yùn)用“HL”即可判定Rt△ABF與Rt△DCE全等．


證明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF與△DCE都為直角三角形．在Rt△ABF和Rt△DCE中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BF＝CE，,AB＝CD，))


∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．


方法總結(jié)：利用“HL”判定三角形全等，首先要判定這兩個(gè)三角形是直角三角形，然后找出對(duì)應(yīng)的斜邊和直角邊相等即可．


【類(lèi)型二】 利用“HL”證明線段相等


如圖，已知AD，AF分別是兩個(gè)鈍角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求證：BC＝BE.





解析：根據(jù)“HL”證Rt△ADC≌Rt△AFE，得CD＝EF，再根據(jù)“HL”證Rt△ABD≌Rt△ABF，得BD＝BF，最后證明BC＝BE.


證明：∵AD，AF分別是兩個(gè)鈍角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.


方法總結(jié)：證明線段相等可通過(guò)證明三角形全等解決．直角三角形的判定方法最多，使用時(shí)應(yīng)該抓住“直角”這個(gè)隱含的已知條件．


【類(lèi)型三】 利用“HL”證明角相等


如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求證：∠1＝∠2.





解析：要證角相等，可先證明全等．即證Rt△ABC≌Rt△ADC，進(jìn)而得出角相等．


證明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°，∴△ABC與△ACD為直角三角形．在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝AD，,AC＝AC，))∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，∴∠1＝∠2.


方法總結(jié)：證明角相等可通過(guò)證明三角形全等解決．


【類(lèi)型四】 利用“HL”解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題





如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB.P，Q兩點(diǎn)分別在線段AC和過(guò)點(diǎn)A且垂直于AC的射線AM上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合．那么當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，才能使△ABC與△APQ全等？


解析：本題要分情況討論：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此時(shí)AP＝BC＝10，可據(jù)此求出P點(diǎn)的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此時(shí)AP＝AC，P、C重合，不合題意．


解：根據(jù)三角形全等的判定方法HL可知：①當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到AP＝BC時(shí)，∵∠C＝∠QAP＝90°，∴在Rt△ABC與Rt△QPA中，AP＝BC，PQ＝AB，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，即AP＝BC＝10；②當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到與C點(diǎn)重合時(shí)，AP＝AC，不合題意．綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到距離點(diǎn)A為10時(shí)，△ABC與△APQ全等．


方法總結(jié)：判定三角形全等的關(guān)鍵是找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，由于本題沒(méi)有說(shuō)明全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，因此要分類(lèi)討論，以免漏解．


【類(lèi)型五】 綜合運(yùn)用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等


如圖，CD⊥AB于D點(diǎn)，BE⊥AC于E點(diǎn)，BE，CD交于O點(diǎn)，且AO平分∠BAC.求證：OB＝OC.





解析：已知BE⊥AC，CD⊥AB可推出∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°，由AO平分∠BAC可知∠1＝∠2，然后根據(jù)AAS證得△AOD≌△AOE，△BOD≌△COE，即可證得OB＝OC.


證明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°.∵AO平分∠BAC，∴∠1＝∠2.在△AOD和△AOE中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ADC＝∠AEB，,∠1＝∠2，,OA＝OA，))


∴△AOD≌△AOE(AAS)，∴OD＝OE.在△BOD和△COE中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠BDC＝∠CEB，,OD＝OE，,∠BOD＝∠COE，))∴△BOD≌△COE(ASA)．∴OB＝OC.


方法總結(jié)：判定直角三角形全等的方法除“HL”外，還有SSS、SAS、ASA、AAS.


三、板書(shū)設(shè)計(jì)


1．作直角三角形


2．直角三角形全等的判定


斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等．





本節(jié)課的教學(xué)主要通過(guò)分組討論、操作探究以及合作交流等方式來(lái)進(jìn)行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜邊、直角邊”時(shí)，要讓學(xué)生進(jìn)行合作交流．在尋找未知的等邊或等角時(shí)，?？紤]將其轉(zhuǎn)移到其他三角形中，利用三角形全等來(lái)進(jìn)行證明．此外，還要注重通過(guò)適量的練習(xí)鞏固所學(xué)的新知識(shí).

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初中數(shù)學(xué)北師大版八年級(jí)下冊(cè)電子課本

2 直角三角形

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