1．理解并掌握三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)，能夠運(yùn)用其解決實(shí)際問題；(重點(diǎn))


2．能夠利用尺規(guī)作出三角形的垂直平分線．











一、情境導(dǎo)入


現(xiàn)在有A、B、C三個(gè)新建的小區(qū)，開發(fā)商為了方便業(yè)主需求，打算在如圖所示的區(qū)域內(nèi)建造一座購物中心，要求購物中心到三個(gè)小區(qū)的距離相等，你能幫購物中心選址嗎？





二、合作探究


探究點(diǎn)一：三角形三邊的垂直平分線


【類型一】 運(yùn)用三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)求角度








如圖，在△ABC中，∠BAC＝110°，點(diǎn)E、G分別是AB、AC的中點(diǎn)，DE⊥AB交BC于D，F(xiàn)G⊥AC交BC于F，連接AD、AF.求∠DAF的度數(shù)．


解析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B＋∠C，根據(jù)線段垂直平分線得出AD＝BD，AF＝CF，推出∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，即可求出答案．


解：在△ABC中，∵∠BAC＝110°，∴∠B＋∠C＝180°－110°＝70°.∵E、G分別是AB、AC的中點(diǎn)，DE⊥AB，F(xiàn)G⊥AC，∴AD＝BD，AF＝CF，∴∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，∴∠DAF＝∠BAC－(∠BAD＋∠CAF)＝∠BAC－(∠B＋∠C)＝110°－70°＝40°.


方法總結(jié)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用．注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．


【類型二】 運(yùn)用三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)求線段








如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝8cm，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)D，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)E，求MN的長．


解析：首先連接AM，AN，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，可求得∠B＝∠C＝30°.又由AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)D，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)E，易得△AMN是等邊三角形，繼而求得答案．


解：連接AM，AN，∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，∴∠C＝∠B＝30°.∵AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)D，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)E，∴AN＝CN，AM＝BM，∴∠CAN＝∠C＝30°，∠BAM＝∠B＝30°，∴∠ANM＝∠AMN＝60°，∴△AMN是等邊三角形，∴AM＝AN＝MN，∴BM＝MN＝CN.∵BC＝8cm，∴MN＝eq \f(8,3)cm.


方法總結(jié)：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法．


【類型三】 三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用


某公園有海盜船、摩天輪、碰碰車三個(gè)娛樂項(xiàng)目，現(xiàn)要在公園內(nèi)建一個(gè)售票中心，使得三個(gè)娛樂項(xiàng)目所處位置到售票中心的距離相等，請(qǐng)?jiān)趫D中確定售票中心的位置．





解析：由三個(gè)娛樂項(xiàng)目所處位置到售票中心的距離相等，可得售票中心是海盜船、摩天輪、碰碰車三個(gè)娛樂場組成三角形的三邊的垂直平分線的交點(diǎn)．


解：如圖，①連接AB，AC，②分別作線段AB，AC的垂直平分線，兩垂直平分線相交于點(diǎn)P，則P即為售票中心．





方法總結(jié)：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握線段垂直平分線的作法．


探究點(diǎn)二：作圖


已知線段c，求作△ABC，使AC＝BC，AB＝c，AB邊上的高CD＝eq \f(1,2)c.








解析：由題意知，△ABC是等腰三角形，高把底邊垂直平分，且高等于底邊長的一半．


解：作法：1.作線段AB＝c；


2．作線段AB的垂直平分線EF，交AB于D；


3．在射線DF上截取DC＝eq \f(1,2)c，連接AC，BC，則△ABC即為所求作的三角形，如圖所示．





方法總結(jié)：已知底邊長作等腰三角形時(shí)，一般可先作底邊的垂直平分線，再結(jié)合等腰三角形底邊上的高確定另一個(gè)頂點(diǎn)的位置．


三、板書設(shè)計(jì)


1．三角形三邊的垂直平分線


三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．


2．作圖





本節(jié)課學(xué)習(xí)了用尺規(guī)作三角形，作圖時(shí)要學(xué)會(huì)分析．一般先畫一個(gè)滿足題目已知條件的草圖，有時(shí)結(jié)合基本作圖和已知條件可作一個(gè)與求作三角形相關(guān)聯(lián)的三角形，然后應(yīng)用有關(guān)條件結(jié)合基本作圖作出其余的圖形.

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初中數(shù)學(xué)北師大版八年級(jí)下冊(cè)電子課本

3 線段的垂直平分線

版本： 北師大版

年級(jí)： 八年級(jí)下冊(cè)

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