北師大版八年級(jí)下冊第一章 三角形的證明4 角平分線第1課時(shí)教案

這是一份北師大版八年級(jí)下冊第一章 三角形的證明4 角平分線第1課時(shí)教案，共4頁。教案主要包含了情境導(dǎo)入，合作探究，板書設(shè)計(jì)等內(nèi)容，歡迎下載使用。
第1課時(shí) 角平分線





1．復(fù)習(xí)角平分線的相關(guān)知識(shí)，探究歸納角平分線的性質(zhì)和判定定理；(重點(diǎn))


2．能夠運(yùn)用角平分線的性質(zhì)和判定定理解決問題．(難點(diǎn))





一、情境導(dǎo)入








問題：在S區(qū)有一個(gè)集貿(mào)市場P，它建在公路與鐵路所成角的平分線上，要從P點(diǎn)建兩條路，一條到公路，一條到鐵路．


問題1：怎樣修建道路最短？


問題2：往哪條路走更近呢？





二、合作探究


探究點(diǎn)一：角平分線的性質(zhì)定理


【類型一】 應(yīng)用角平分線的性質(zhì)定理證明線段相等


如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD＝DF.求證：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.





解析：(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得點(diǎn)D到AB的距離等于點(diǎn)D到AC的距離，即CD＝DE.再根據(jù)Rt△CDF≌Rt△EBD，得CF＝EB；(2)利用角平分線的性質(zhì)證明△ADC和△ADE全等得到AC＝AE，然后通過線段之間的相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行證明．


證明：(1)∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BD＝DF，,DC＝DE，))∴Rt△CDF≌Rt△EBD(HL)．∴CF＝EB；


(2)∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在△ADC與△ADE中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(CD＝DE，,AD＝AD，))


∴△ADC≌△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.


方法總結(jié)：角平分線的性質(zhì)是判定線段相等的一個(gè)重要依據(jù)，在應(yīng)用時(shí)一定要注意是兩條“垂線段”相等．


【類型二】 角平分線的性質(zhì)定理與三角形面積的綜合運(yùn)用








如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是( )


A．6 B．5 C．4 D．3


解析：過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝eq \f(1,2)×4×2＋eq \f(1,2)×AC×2＝7，解得AC＝3.故選D.


方法總結(jié)：利用角平分線的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法．


【類型三】 角平分線的性質(zhì)定理與全等三角形的綜合運(yùn)用


如圖所示，D是△ABC外角∠ACG的平分線上的一點(diǎn)．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F(xiàn).求證：CE＝CF.





解析：由角平分線上的性質(zhì)可得DE＝DF，再利用“HL”證明Rt△CDE和Rt△CDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可．


證明：∵CD是∠ACG的平分線，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(CD＝CD，,DE＝DF，))∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.


方法總結(jié)：全等三角形的判定離不開邊，而角平分線的性質(zhì)是判定線段相等的主要依據(jù)，可作為判定三角形全等的條件．


探究點(diǎn)二：角平分線的判定定理


【類型一】 角平分線的判定





如圖，BE＝CF，DE⊥AB的延長線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且DB＝DC，求證：AD是∠BAC的平分線．


解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分線的判定可知AD是∠BAC的平分線．


證明：∵DE⊥AB的延長線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE與△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BE＝CF，,BD＝CD，))


∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的平分線．


方法總結(jié)：證明一條射線是角平分線的方法有兩種：一是利用三角形全等證明兩角相等；二是角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上．


【類型二】 角平分線的性質(zhì)和判定的綜合





如圖所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F.下面給出四個(gè)結(jié)論，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的點(diǎn)到B、C兩點(diǎn)的距離相等；④到AE、AF距離相等的點(diǎn)，到DE、DF的距離也相等．其中正確的結(jié)論有( )


A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)


解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE＝∠ADF，即①AD平分∠EDF正確；②AE＝AF正確；中垂線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等，故③正確；∵④到AE、AF距離相等的點(diǎn)，在∠BAC的角平分線AD上，到DE、DF的距離相等的點(diǎn)在∠EDF的平分線DA上，兩者同一條直線上，所以到DE、DF的距離也相等正確，故④正確；①②③④都正確．故選D.


方法總結(jié)：運(yùn)用角平分線的性質(zhì)或判定時(shí)，可以省去證明三角形全等的過程，可以直接得到線段或角相等．


【類型三】 添加輔助線解決角平分線的問題


如圖，△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)D.求證：AD是∠BAC的平分線．





解析：分別過點(diǎn)D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分別為E、F、G，然后利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可知DE＝DG，再利用到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上來證明．


證明：分別過D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分別為E、F、G.∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，∴AD是∠BAC的平分線．


方法總結(jié)：在遇到角平分線的問題時(shí)，往往過角平分線上的一點(diǎn)作角兩邊的垂線段，利用角平分線的判定或性質(zhì)解決問題．


【類型四】 線段垂直平分線與角平分線的綜合運(yùn)用


如圖，在四邊形ADBC中，AB與CD互相垂直平分，垂足為點(diǎn)O.





(1)找出圖中相等的線段；


(2)OE，OF分別是點(diǎn)O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關(guān)系．


解析：(1)由垂直平分線的性質(zhì)可得出相等的線段；(2)由條件可證明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OE＝OF.


解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD；


(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AC＝AD，,OC＝OD，,AO＝AO，))∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.


方法總結(jié)：本題是線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)的綜合，掌握它們的適用條件和表示方法是解題的關(guān)鍵．


三、板書設(shè)計(jì)


1．角平分線的性質(zhì)定理


角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．


2．角平分線的判定定理


在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上．





本節(jié)課由于采用了動(dòng)手操作以及討論交流等教學(xué)方法，從而有效地增強(qiáng)了學(xué)生對角以及角平分線的性質(zhì)的感性認(rèn)識(shí)，提高了學(xué)生對新知識(shí)的理解與感悟，因而本節(jié)課的教學(xué)效果較好，學(xué)生對所學(xué)的新知識(shí)掌握較好，達(dá)到了教學(xué)的目的．不足之處是少數(shù)學(xué)生在性質(zhì)的運(yùn)用上還存在問題，需要在今后的教學(xué)與作業(yè)中進(jìn)一步的加強(qiáng)鞏固和訓(xùn)練.